Question

come lo risolvereste?

"siano dati iseguenti sottospazi vettoriali di R^4
S1=((x,y,z,t)di R^4;x+y-z=0,x+y+z=0)
S2=((x,y,z,t)di R^4; x+y=0;x+z=0)

stabilire se S1=S2 "

e sapete dove posso trovare esercizi simili?Grazie
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Il mio prof usa risolverlo vedendo se i vettori delle basi si possono scrivere come combinazione lineare,e se i vettori risultano Lin Dip,allora i due spaz vett sono uguali.

In questo caso,io ho risolto così:
S1=L[(1,-1,0,0),(0,0,0,1)];
S2=L[(1,-1,-1,0),(0,0,0,1)];

quindi scrivendo una comb lin dei vett di S1 con i vett di S2,mi risulta che sono Lin Ind.Sbaglio?
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Altri esempi che ho a disposione sono:
a)

S={(x1,x2,x3,x4)di R^4;x1+x3=0}
S'=L[(1,0,-1,0),(0,1,0,1),(2,-1,0,0)]

So che S è diverso da S'

b)

S1=L[(1,0,-1),(2,1,1),(0,-1,-3)]
S2=L[(3,1,0),(1,1,2)]

Di questo so che S1=S2

la teoria usata per risolvere questi es è che:Sia S1 uno spaz vett e sia S2 spaz vett.Se dimS1=dimS2 e S1 compreso o uguale a S2,allora S1=S2.

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Spero che tu possa aiutare,perchè navigo ancora in acque alte!
Grazie(anche per la risposta datami)

Answer 1

come prima cosa devi verificare che siano effettivamente dei sottospazi:
Enunciato: S è sottospazio di R^4 se:
1)Se due vettori appartengono a R^4 anche la loro somma deve appartenere a R^4
2)se x appartiene a R^4 e y appartiene a R, allora x*y deve appartenere a R^4
3)(0,0,0,0) deve appartenere a R^4

In tal caso sono entrambi dei sottospazi.

Poi io procederei così per la risoluzione:
A.Consideriamo S1:
   se si devono verificare le relazioni x+y-z=0 e  x+y+z=0, allora si deve avere che x+y=z e che x+y=-z
   ma ciò è possibile solo se z=0 (da cui risulta, se vai a sostituire z=0 nelle relazioni sopra scritte, che x=-y), di conseguenza S1 è     formato da quaterne del tipo (x,-x,0).

B.Consideriamo S2; procedendo in modo analogo si nota che per soddisfare le relazioni x+y=0 e x+z=0 devi avere che x=-y e x=-z. Ciò vuol dire che S2 contiene quaterne del tipo (x,-x,-x)

concludendo si ha che S1=S2 solo se x=0.
Hai ancora dubbi?se si chiedi pure!ciao!!

Answer 2

S1=L[(1,0,-1),(2,1,1),(0,-1,-3)]
S2=L[(3,1,0),(1,1,2)]
questo lo risolvi così:
devi dimpostrare che ogni vettore di s1 lo puoi scrivere come c.l. dei vettori di s2, quindi fai così:
devi vedere se esistono x e y appartenenti a R tali che:
(1,0,-1)=x(3,1,0)+y(1,1,2)=(3x+y,x+y,2y)
da questa relazione ottieni un sistema di equazioni:
3x+y=1
x+y=0
2y=-1 ---> y=-1/2

a sto punto sostituisci il valore trovato per y nella seconda equazione(x+y=0) e ottieni che x=1/2
poi sostituisci i valori di x e y nell prima equazione(3x+y=0) e vedi che è verificata perchè viene 3/2-1/2=1=1

quindi il primo vettore di s1 lo puoi scrivere come c.l. di s2. procedi così per gli altri vettori di s1 e vedi che si verifica sempre!
perciò concludi che s1=s2.

quindi si, il modo in cui hai risolto l'es della domanda iniziale è corretto secondo me.
spero di essermi spiegata:)
ancora dubbi?