Teorema Fundamental De Los Integrales De Línea - Ejercicios - Matemáticas, Exercises for . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Description: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Matemáticas sobre el Teorema Fundamental de los Integrales de Línea - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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University: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
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Ejercicios Resueltos Teorema Fundamental De Las Integrales De Línea - Ejercicios - Matemáticas.doc

Matemáticas

PROBLEMAS DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA Ejercicios Resueltos TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), atb. Sea f una función derivable de 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente ∇f es continuo sobre C. Entonces:

))(())((· afbff C

rrdr −=∇∫ TEOREMA 2

C drF · es independiente de la trayectoria en D si y sólo si 0· =∫C drF para toda trayectoria cerrada C en D. TEOREMA 3 Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si

C drF · es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo sobre D; es decir, existe una función f tal que ∇f = F. TEOREMA 4 Si F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que

x Q

y P ∂ ∂ =

∂ ∂

Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional). TEOREMA 5 Sea F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j un campo vectorial sobre una región simplemente conexa D. Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y que:

x Q

y P ∂ ∂ =

∂ ∂

Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables). EQUIVALENCIAS

F conservativo. • ∫C drF · independiente de la trayectoria. • 0· =∫C drF en una trayectoria cerrada. • Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa. PROBLEMAS RESUELTOS 1.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no.

)2;4( ; )1;1( ; 2);( 2 2

−  

 −

 

  = BA

Q x

y

P x

yyx jiF 

SOLUCIÓN a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemos subdividir en las curvas C1 y C2 mostradas en la figura. En tal caso tendremos:

∫∫∫ += 21

CCC

Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples):

( ) ( )

( ) 434923 3

0

2 4 1

2 1

3

02

4 3

3

0

3

0 21

2

1

4 )1(230 ,

1 4

1 1

1 130 ,

1 1

−=−=−= 

   −

=+⇒≤≤ −=

=

= +

−= 

  

+ =+⇒≤≤

= +=

∫ ∫

∫ ∫

ttdttQdyPdxt ty

x C

t dt

t QdyPdxt

y tx

C

C

C

Con lo cual resulta:

( ) 0 - 4343 =+=+∫C QdyPdx

x

y

(1;1)

C1

(4;-2)

C2

b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C3 y C4. Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior, que

∫∫∫ += 43

* CCC

Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo siguiente:

( )

3 1

4 )1(

)2(30 , 2

1

32)1( 1

)1(230 , 1 1

3

0

3

0 2

2

2

3

0

23

03

4

3

= +

−= 

  

+ −

=+⇒≤≤ −= +=

−=−= 

  

− −

−=+⇒≤≤ −=

=

∫ ∫

∫ ∫

t dt

t QdyPdxt

y tx

C

ttdttQdyPdxt ty

x C

C

C

Sumando esto se obtiene:

0 3 3 *

=+−=+∫C QdyPdx Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que vemos que:

x Q

x y

y P

∂ ∂ ==

∂ ∂

2

2

Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.ν

x

y

(1;1) C3

(4;-2)

C4

2.) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial. Calcular la integral de línea del campo vectorial F(x;y) = P(x;y)i + Q(x;y)j = eyi + xeyj a lo largo de la trayectoria: r(t) = (senh(5t4)/senh5; t4 + 5t3 - 3t2 - 2t) , =0 ≤ t ≤ 1 SOLUCIÓN

x Qe

y P y

∂ ∂ ==

∂ ∂

F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el

gradiente de una función potencial f; esto es: ∇f = F. Si obtenemos tal función f, podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea. Para ello notemos que:

)(ygxefeP x f yy +=⇒== ∂ ∂

(1),

donde g(y) es una función que depende solamente de la variable y. Si ahora derivamos la función f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresión equivalente a la otra función coordenada, esto es, Q.

KygygxeQygxe y f yy =⇒=′⇒==′+= ∂ ∂ )(0)()(

Reemplazando este último resultado en (1), tenemos:

Kxef y += (2) Ya tenemos la función potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea:

))0(())1((· · rrdrdrF fff CC

−=∇= ∫∫ Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parámetro tenemos:

 

  

 − −

=  

   ⋅−⋅−⋅+=

=  

  =

1;1213151; 5senh 1senh)1(

)0;0(0; 5senh 0senh)0(

55

1 234

ee eer

r

Aplicando ahora la función f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:

Ke ee eef

Kf

+ − −

=

+=

55

1

))1((

0))0((

r

r

Y finalmente:

e ee eeff

C 55

1

))0(())1((· − −

− −

=−=∫ rrdrF De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de línea sumamente engorrosa.ν

3.) Cálculo de un trabajo mediante una función potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas

F(x;y;z) =4xez i + cosy j + (2x2ez + z) k , a) Determinar una función f tal que ∇f = F. b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partícula desde el punto ( ) ( )0;;0 al ;; 23222222 siguiendo el camino más corto sobre la esfera

2 3222 =++ zyx , expresándolo con 3 cifras decimales.

SOLUCIÓN a) La función f que buscamos debe cumplir con las condiciones: (i) fx = 4xez (ii) fy = cosy (iii) fz = 2x2ez Integrando la condición (i) tenemos:

∫ +== );(24 12 zygexdxxef zz Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la ecuación (ii) tenemos:

)(sencos 211 zgygyy g

y f

+=⇒= ∂ ∂ =

∂ ∂

Y ahora podemos introducir esta expresión en la correspondiente a f, y derivarlo con respecto a z e introducir el resultado en (iii):

Kzzgzexzgexfzgyexzyxf zzz z +=⇒+=′+=⇒++= 22

1 2

2 2

2 2

2 )(2)(2)(sen2);;( Con esta expresión para g2, tenemos ahora la expresión final de f:

Kzyexzyxf z +++= 221 2 sen2);;(

b) Por el teorema fundamental de las integrales de línea, podemos ahora calcular el trabajo como la diferencia de valores de la función potencial entre sus extremos final e inicial:

987,19278,294072,0 );;(

94072,0)0;;0(

2 1

2 1

2 1

2 3

−=−=

+

+=

W Kf

Kf

-2,269 es un resultado incorrecto que se obtiene con la calculadora puesta en grados.ν

x

y

(-1;0)

C1

(1;0)

C2

4.) Limitaciones en la aplicación del Teorema Fundamental de las integrales de línea.

Sea 22);( yx xyyx

+ +−

= jiF

a) Probar que x Q

y P ∂ ∂ =

∂ ∂

en todo el dominio.

b) Calcule ∫∫ ⋅⋅ 21

y CC

drFdrF , donde C1 y C2 son las mitades superior e inferior

de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1;0) a (-1;0). ¿Cómo se explica que la integral dependa del camino en vista del resultado de (a)? SOLUCIÓN a)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y Q

y P

yx xy

yx xxyx

y Q

yx xQ

yx xy

yx yyyx

y P

yx yP

∂ ∂ =

∂ ∂

  

 

+

− =

+

−+ =

∂ ∂

⇒ +

=

+

− =

+

−−+− =

∂ ∂

⇒ + −

=

222

22

222

22

22

222

22

222

22

22

)2(1

)(2)1(

Nótese que este resultado es válido en todo el dominio, ya que, si bien las derivadas parciales no están definidas en el (0;0), este último no pertenece al dominio. b) Las curvas están indicadas en la figura. Parametrizando C1 e integrando F se tiene:

  

≤≤ = =

t0 , sen cos

1 πty tx

C

∫∫ =+−−=

=+=⋅

π π

0 coscos)sen(sen

11

tdttdttt

QdyPdx CC

drF

Haciendo un trabajo similar para C2 es:

  

≤≤ = =

t0 , sen cos

1 πty tx

C

02cos)cos(cos)sen(sen 0011

=−=−+−−=+=⋅ ∫∫∫∫ ππ

tdtdtttdtttQdyPdx CC

drF

La explicación es que cualquier región que abarque ambos caminos necesariamente debe ser no simplemente conexa (debe excluirse alguna subregión que incluya el (0;0), que no pertenece al dominio), y por ende no vale el teorema 5.ν

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