Ejercicios Resueltos - Teorema De Stokes - Ejercicios - Análisis, Ejercicios de Analisis. Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Analisis

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Análisis sobre el Teorema de Stokes - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Matemáticas
TEOREMA DE STOKES
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a
trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta
en R3 que contiene a S. Entonces:
∫∫∫∫×==
SSC
dSFdSFdrF rot
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el
campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z
= 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada
hacia arriba.
SOLUCIÓN
Cálculo como integral de línea: La curva C es en
este caso una circunferencia de radio 3 centrada en
el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla
como:
πθθ
θ
20 ,
0
sen3
cos3
=
=
=
z
y
x
Con esta parametrización tenemos:
F(
θ
) = 9sen
θ
i + 0j 18cos
θ
k
r´(
θ
) = 3sen
θ
i + 3cos
θ
j + 0k
r´(
θ
) = 27sen2
θ
π
θ
θ
θθ
θ
θθθθθ
π
πππ
27
2
2sen
2
2cos1
27sen27)()(
2
0
2
27
2
0
2
0
2
2
0
=
=
=
==
=∫ ∫ ddd
CrFdrF
Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.
3
y
z
x
C
S
3
9
kji
kji
Frot 364
643
+=
=
xzy zyx
Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su
proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece
lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:
πθ
θ
θ
θ
20
30
,
9
sen
cos
);(
2
=
=
=r
rz
ry
rx
rr
El producto vectorial fundamental será:
Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la
parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces esta parametrización, tenemos:
π
θθθθ
π
π
θ
27
2
3
)3sen12cos8()(rot rot
2
0
3
0
2
2
0
3
0
22
=
=+=×=
∫ ∫∫∫∫∫
r
drdrrrdrd
D
r
S
rrFdSF
Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando
de esa manera el teorema de Stokes.
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Información del documento
Uploaded by: flordeverano
visitas: 56913
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Dirección: Matemáticas
Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Subject: Analisis
Fecha de la carga: 20/08/2012
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ulisesalberto - Universidad no se define

La verdad el contenido es excelente por que es muy detallado y es lo que necesito.
!Gracias¡

30/04/16 19:10
levy_el_gato_jazz - Instituto Tecnológico de Celaya

este ejercicio es muy bueno hoy me va aservir para exponerlo hoy en mi materia de mecanica de los medios continuos esta muy bien explicado me agrado mucho

21/04/16 19:17
1234mariarosa - Universidad Nacional de Asunción

excelent

05/04/16 04:24
dreppert1 - Universidad de Córdoba

dfgh

09/05/13 08:32
dreppert1 - Universidad de Córdoba

werftghyjukildfgh

09/05/13 08:31
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