Ejercicios Resueltos - Teorema De Stokes - Ejercicios - Análisis, Ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Analisis

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Análisis sobre el Teorema de Stokes - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Matemáticas
TEOREMA DE STOKES
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a
trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta
en R3 que contiene a S. Entonces:
∫∫∫∫×==
SSC
dSFdSFdrF rot
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el
campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z
= 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada
hacia arriba.
SOLUCIÓN
Cálculo como integral de línea: La curva C es en
este caso una circunferencia de radio 3 centrada en
el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla
como:
πθθ
θ
20 ,
0
sen3
cos3
=
=
=
z
y
x
Con esta parametrización tenemos:
F(
θ
) = 9sen
θ
i + 0j 18cos
θ
k
r´(
θ
) = 3sen
θ
i + 3cos
θ
j + 0k
r´(
θ
) = 27sen2
θ
π
θ
θ
θθ
θ
θθθθθ
π
πππ
27
2
2sen
2
2cos1
27sen27)()(
2
0
2
27
2
0
2
0
2
2
0
=
=
=
==
=∫ ∫ ddd
CrFdrF
Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.
3
y
z
x
C
S
3
9
kji
kji
Frot 364
643
+=
=
xzy zyx
Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su
proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece
lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:
πθ
θ
θ
θ
20
30
,
9
sen
cos
);(
2
=
=
=r
rz
ry
rx
rr
El producto vectorial fundamental será:
Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la
parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces esta parametrización, tenemos:
π
θθθθ
π
π
θ
27
2
3
)3sen12cos8()(rot rot
2
0
3
0
2
2
0
3
0
22
=
=+=×=
∫ ∫∫∫∫∫
r
drdrrrdrd
D
r
S
rrFdSF
Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando
de esa manera el teorema de Stokes.
2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el
Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del
rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S
consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no
el fondo) del cubo con vértices (±1; ±1; ±1), orientado hacia afuera.
SOLUCIÓN
La geometría descrita en el enunciado
está representada en la figura. Se
requiere calcular el flujo de rot F a
través de todas las caras del cubo
menos la de abajo. Observemos que
esa región de integración está
limitada por la curva orientada
indicada en la figura; llamémosla C.
(La orientación dada se corresponde
con normales con la componente z
mayor o igual que 0, que es lo
necesario para que las normales
apunten hacia el exterior del cubo.) El
teorema de Stokes nos asegura que:
∫∫ =×
CS
drFdSF)(
,
lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en
lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo
deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de
línea.
Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del
cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la
integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su
rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:
dSFdrFdSF×==×∫∫∫∫ )()(
'SCS
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base.
Parametrizando esta última tenemos, pues:
T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1 x 1, -1 y 1 (1)
y su producto vectorial fundamental es:
k
kji
TTN ==×=
010
001
yx
Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en
que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el
rotacional del campo escalar viene dado por:
z
1
O
y
x
1
1
kjikji
kji
F)()()()2(
22
2
(1) param. la por reemp.
xyxyxxzyxyzxyzx
yzxxyxyz zyx ++=++=
=×
Por lo tanto la integral que buscamos será:
∫ ∫∫∫∫∫∫∫ − − ==+=×=×1
1
1
1
'
2
''
0)())(( dxdyxydSxyxyxdS
SSS
kkjiNFdSF
En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una
integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de
superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones
dependerá del problema particular.
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Información del documento
Uploaded by: flordeverano
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Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Subject: Analisis
Fecha de la carga: 20/08/2012
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ulisesalberto - Universidad no se define

La verdad el contenido es excelente por que es muy detallado y es lo que necesito.
!Gracias¡

30/04/16 19:10
levy_el_gato_jazz - Instituto Tecnológico de Celaya

este ejercicio es muy bueno hoy me va aservir para exponerlo hoy en mi materia de mecanica de los medios continuos esta muy bien explicado me agrado mucho

21/04/16 19:17
1234mariarosa - Universidad Nacional de Asunción

excelent

05/04/16 04:24
dreppert1 - Universidad de Córdoba

dfgh

09/05/13 08:32
dreppert1 - Universidad de Córdoba

werftghyjukildfgh

09/05/13 08:31
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