Ejercicios resueltos análisis lineal transformada de Fourier, uned análisis, Ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Analisis

Descripción: Ejercicios resueltos para el curso universitario de Análisis de la UNED (Universidad Nacional de Educación a Distancia) sobre el análisis lineal y la transformada de Fourier.
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Matemáticas
ANÁLISIS LINEAL
TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejercicios Resueltos
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la
representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período
infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida
por:
dtetfF ti
ω
ω
=)()(
En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que
antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
ωω
π
ω
deFtf ti
=)(
2
1
)(
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen
relacionar mediante la simbología:
)()(
ω
Ftf
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada,
sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las
propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de
estas propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la
función f dada por
<<
+
=
casos demás02
7
cos1
)(
ππ
π
t
t
tf
SOLUCIÓN
( )
dtedtetfF ti
t
ti
ω
π
π
π
ω
ω
+== 2
7
cos1)()(
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa
practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos
queda:
32
22
22
32
22
22
449
2
7
sen14
2
7
cos1449
449
2
7
sen14
2
7
cos1449
)(
ωωπ
π
πω
π
ωπ
ωωπ
π
πω
π
ωπ
ω
πω
πω
+
+
++
+
+
+
++
=
iie
iie
F
i
i
2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la
transformada de Fourier de la función:
it
tf +
=4
5
)(
SOLUCIÓN
En las tablas encontramos que
. Por lo tanto estamos tratando de
encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en
ω
, sería la
transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la
propiedad de simetría, que expresa que si f(t) F(
ω
), entonces F(t) 2
π
f(–
ω
).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y
la propiedad de linealidad:
ω
i
tue t
+
4
5
)(5 4
. Por lo tanto por la propiedad de
simetría podemos escribir
)(52
4
5)(4
ωπ
ω
+
ue
it
. Veamos que u(–
ω
) es la
imagen especular de u(
ω
), y se puede expresar como u(–
ω
) = 1- u(
ω
).
Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:
[ ]
)(110
4
54
ωπ
ω
ue
it
+
3.) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y
graficar el espectro de amplitud de la función f(t) = 6[u(t3) u(t7)].
SOLUCIÓN
La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de
tablas que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la
transformada de Fourier es GT(
ω
) = Tsinc(
ω
T/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aq
el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que
equivale a 6g4(t 5).
Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite
manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t) F(
ω
),
entonces
)()(
0
0
ω
ω
Fettf
ti
. De esa manera, en nuestro caso particular
tenemos:
)()2(sinc24)2(4sinc6)(6)5(6)(
55
4
5
4
ωωωω
ωωω
FeeGetgtf
iii
====
Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un
número imaginario puro tiene módulo igual a 1, según se deduce de la expresión de
Euler. Tenemos así:
)2(sinc24)2(sinc24)
2(sinc24)( 55
ωωωω
ωω
=== ii eeF
Y la gráfica será:
4.) Convolución. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la función
de respuesta en frecuencia H(
ω
) = 1/(3 + i
ω
). Para una cierta entrada x(t), se
observa que la salida es y(t) = e-3tu(t) e-4tu(t). Calcular la entrada.
SOLUCIÓN
La propiedad de convolución establece que:
)(
)(
)()()()()()()(
)()()()(
)()(
)()( caso nuestroen
ω
ω
ωωωω
ωω
ω
ω
H
Y
XYHXthtxty
GFtgtf
Gtg
Ftf
===
Nuestra estrategia será, entonces, encontrar la transformada de la entrada X(
ω
), y
luego antitransformarla para encontrar la función de entrada x(t). Para eso
debemos conocer Y(
ω
) y H(
ω
). Esta última ya la tenemos; por lo tanto calcularemos
la primera:
)(
4
1
3
1
)()(
4
1
)( ;
3
1
)( 434
tabla
3
ω
ωωωω
Y
ii
tuetue
i
tue
i
tue tttt =
+
+
+
+
Si ahora dividimos este resultado por H(
ω
) para obtener X(
ω
), tendremos:
ωω
ωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ii
ii
i
i
i
ii
H
Y
X+
=
+
++
=
+
+
=
+
+
+
== 4
1
4
34
4
3
1
3
14
1
3
1
)(
)(
)(
Luego, antitransformando según tabla, se obtiene:
x(t) = e-4tu(t)
Nótese que de no haber hecho este proceso nos habríamos visto en figurillas para
determinar la entrada.
5.) Propiedades varias. (i) Sabiendo que
2
1
2
)(
ω
+
=
t
eF
, usar propiedades de la
Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes señales:
22 )1(
4
)(
; )( t
t
tytetx t
+
==
(ii) La función g(t) está definida por
<<
=casos demás0
1
)( 2
1
2
1t
tg
Calcular la Transformada de Fourier de
)6sen(4
10
5
2)( t
t
gtx
π
+
+=
.
SOLUCIÓN
(i) Usamos la propiedad de diferenciación en frecuencia, que establece:
Aplicando esto a nuestra función x(t) tendremos:
( ) ( )
)(
1
4
)(
1
4
1
2
2
2
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
X
i
tetx
d
d
ite tt =
+
=
+
=
+
Para determinar la transformación de y(t), usemos la propiedad de simetría.
Observemos que, despejando de la ecuación anterior:
( ) ( )
)(2)(2
1
4
)(
1
4
2
2
2
2tYieei
t
t
tyite t==
+
=
+
ωω πωπ
ω
ω
(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc(
ω
/2). Aplicaremos las
propiedades de retardo, que expresa
)()(
0
0
ω
ω
Fettf ti
, y de corrimiento, que
establece
a
F
a
atf
ω
1
)(
. Tenemos entonces:
( )
ω
ω
ωω
5sinc10
10
5
2
sinc)5(
505 ii
e
t
getg
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Información del documento
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Dirección:
Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Subject: Analisis
Fecha de la carga: 20/08/2012
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gracias

05/05/16 06:12
paola.castillo - Universidad Latina

muy bueno

04/05/16 00:14
jorge_narganes - Universidad de Valladolid - UVA

tremebundo

03/05/16 12:23
carmen_benavides - Universidad no se define

Muy bueno

25/04/16 21:24
andr_s_acosta1 - Campus Universitario San Alberto Magno

gran ayuda

25/04/16 00:15
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