Metodos clasicos de resoluciones de ecuaciones - Trigonometria - Universidad de La Rioja - Apuntes - Parte 2, Apuntes de Trigonometría. Universidad de La Rioja

Trigonometría

Descripción: Apuntes de trigonometría sobre los metodos clasicos de resoluciones de ecuaciones de la Universidad de la Rioja
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E. D. expl´ıcitas de primer orden 7
APARTADO 2.
Ecuaci´on de la forma y0=f(ax +by).
Si a= 0 o b= 0, la ecuaci´on es separable. En otro caso, efectuemos el cambio de
funci´on y(x) por z(x) dado por z=ax +by, de donde z0=a+by0y, por tanto, y0=z0a
b.
Entonces, sustituyendo en la E. D. obtenemos z0a
b=f(z), es decir, z0=a+bf(z), que
es de variables separadas. La escribimos como
dx =dz
a+bf(z),
con lo que, integrando, x=R(a+bf(z))1dz =φ(z, C). As´ı pues, las soluciones de la
E. D. de partida ser´an
x=φ(ax +by, C),
de modo que hemos encontrado ycomo funci´on de xexpresada en forma impl´ıcita.
RECETA 2.Ecuaci´on de la forma y0=f(ax +by).
El cambio de funci´on y(x) por z(x) dado por z=ax +by la
transforma en una de variables separadas.
Ejemplo 2.Resolver
y0exey=1.
Tenemos y0+ 1 = ex+y, con lo que si efectuamos el cambio de funci´on dado por la
sustituci´on z=x+y, la ecuaci´on queda transformada en z0=ez, es decir, dx =ezdz,
ecuaci´on en variables separadas cuya soluci´on es x=ez+C. Volviendo a las variables
iniciales, Cx=exy, de donde log(Cx) = xy, y por tanto la soluci´on de la
E. D. de partida es y=log(Cx)x. (Observar que no nos hemos preocupado —ni lo
haremos de aqu´ı en adelante— de poner m´odulos cuando al calcular una integral aparece
un logaritmo. El lector podr´ıa analizar estos casos con mucho m´as cuidado.)
APARTADO 3.
Homog´eneas.
Supongamos que tenemos la ecuaci´on
y0=fy
x.
8M´etodos cl´asicos de resoluci´on de E. D. O.
Para resolverla, hacemos el cambio de funci´on y(x) por u(x) mediante u=y
x. As´ı, derivando
y=ux tenemos y0=u0x+u, es decir, u0x+u=f(u). Esta ecuaci´on, que podemos poner
como u0x=f(u)u, es de variables separadas. Vamos a solucionarla:
Si f(u)6=u, podemos escribir du
f(u)u=dx
xe, integrando, Rdu
f(u)u= log( x
C).
Despejando xobtenemos x=Ceφ(u)con φ(u) = Rdu
f(u)u. Por tanto, las curvas con
ecuaciones param´etricas (x=Ceφ(u)
y=Cueφ(u)
son soluci´on de la ecuaci´on diferencial para cada CR. (Esto constituye una familia
de curvas homot´eticas: una curva se obtiene de otra mediante una homotecia, es decir,
multiplicando los valores de xeypor una constante.) A veces, es conveniente expresar
estas soluciones de otras formas. Siempre puede ponerse x=Ceφ(y/x), soluci´on dada
mediante una funci´on impl´ıcita. Y, cuando en x=Ceφ(u)se logra despejar de alguna
forma u=H(x, C), la soluci´on de la E. D. queda mucho m´as sencilla: y=xH(x, C).
Supongamos ahora que existe alg´un u0tal que f(u0) = u0. En este caso, es inmediato
comprobar que la recta y=u0xes soluci´on: y0=u0=f(u0) = f(y
x), luego se satisface
la ecuaci´on diferencial. Este tipo de soluciones que no se obtienen con el procedimiento
general suelen denominarse soluciones singulares.
Nota: En general, una funci´on h(x, y) se dice homog´enea de grado αsi h(λx, λy) =
λαh(x, y). Es inmediato comprobar que una E. D. de la forma
P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0
con P(x, y) y Q(x, y) funciones homog´eneas del mismo grado es, efectivamente, una
ecuaci´on diferencial homog´enea (despejar y0=dy
dx =P(x,y)
Q(x,y)=P(x,x(y/x))
Q(x,x(y/x)) y extraer
λ=xde PyQ). De aqu´ı proviene el nombre de este tipo de ecuaciones.
RECETA 3.Homog´eneas.
Son de la forma
y0=fy
x.
Se hace el cambio de funci´on y(x) por u(x) mediante y=ux,
transform´andose as´ı la E. D. en una de variables separadas.
Ejemplo 3.Resolver
y0=2xy y2
x2.
E. D. expl´ıcitas de primer orden 9
Con el cambio y=ux podemos poner y0= 2 y
x(y
x)2= 2uu2. Como y0=u0x+u,
sustituyendo tenemos u0x+u= 2uu2, es decir, xu0=uu2.
Si u6=u2, podemos poner du
uu2=dx
x. Para integrar, descomponemos 1
uu2=A
u+B
1u,
lo que se satisface para A=B= 1. Entonces, integrando, log ulog(1 u) = log x
C, es
decir, u
1u=x
C; y sustituyendo u=y
xtenemos y/x
1y/x =x
C, de donde Cy =x(xy). De
aqu´ı es acil despejar expl´ıcitamente ysi as´ı se desea.
Por otra parte, a partir de u0= 0 y u0= 1 (para las cuales u=u2), se tienen las
soluciones singulares y= 0 e y=x.
APARTADO 30.
Reducibles a homog´eneas.
Consideremos la ecuaci´on
y0=fa1x+b1y+c1
ax +by +c.
Para resolverla, hay que distinguir dos casos:
30.1.Supongamos en primer lugar que las rectas ax +by +c= 0 y a1x+b1y+c1= 0
se cortan en el punto (x0, y0). As´ı, tendremos que ax +by +c=a(xx0) + b(yy0) y
a1x+b1y+c1=a1(xx0) + b1(yy0). Hagamos ahora el cambio de variable y de funci´on
X=xx0,Y=yy0, con lo cual
Y0=y0=fa1(xx0) + b1(yy0)
a(xx0) + b(yy0)=fa1X+b1Y
aX +bY =f a1+b1Y
X
a+bY
X!,
es decir, hemos reducido la ecuaci´on a una homog´enea.
30.2.En segundo lugar, supongamos que ax+by+c= 0 y a1x+b1y+c1= 0 son rectas
paralelas, con lo cual podr´a ponerse (a1, b1) = K(a, b) para alg´un KR. Efectuemos ahora
el cambio de funci´on z=ax +by. Derivando, z0=a+by0, o sea, y0=z0a
b. Si sustituimos
en la E. D. original obtenemos
dz
dx =a+bf Kz +c1
z+c,
que es de variables separadas.
10 M´etodos cl´asicos de resoluci´on de E. D. O.
RECETA 30.Reducibles a homog´eneas.
Son de la forma
y0=fa1x+b1y+c1
ax +by +c.
30.1.Si las rectas ax +by +c= 0 y a1x+b1y+c1= 0 se cortan
en (x0, y0), se hace el cambio de variable y de funci´on X=xx0,
Y=yy0. La ecuaci´on se reduce a una homog´enea.
30.2.Si ax+by +c= 0 y a1x+b1y+c1= 0 son rectas paralelas, se
hace el cambio de funci´on z=ax +by. La nueva ecuaci´on que aparece
es de variables separadas.
Ejemplo 30.1.Resolver
y0=2x+ 4y6
x+y3.
Las rectas 2x+ 4y6 = 0 y x+y3 = 0 se cortan en el punto (x, y) = (1,2), con
lo que efectuamos el cambio X=x1, Y=y2, Y0=y0. Sustituyendo, obtenemos la
ecuaci´on homog´enea
Y0=2X+ 4Y
X+Y=2+4Y/X
1 + Y/X .
Para resolverla, hacemos un nuevo cambio u=Y/X, de donde Y=uX,Y0=u0X+u.
Tras sustituir, tenemos u0X+u=2+4u
1+uque, a la postre, podemos poner como Xdu
dX =
u23u+2
u+1 .
Tenemos ahora que distinguir cu´ando, y cu´ando no, se anula la expresi´on u23u+ 2.
Resolviendo u23u+ 2 = 0, esto ocurre para u= 1 y u= 2.
Analicemos en primer lugar el caso u23u+ 2 6= 0. As´ı, podemos escribir
dX
X=(u+ 1) du
u23u+ 2 =A
u1du +B
u2du =2
u1du 3
u2du
de donde, integrando, 2 log(u1) 3 log(u2) = log(KX) y, consiguientemente,
(u1)2
(u2)3=KX. Sustituyendo ahora u=Y/X llegamos f´acilmente a (YX)2=K(Y2X)3;
y volviendo a las variables originales xeyobtenemos las soluciones (yx1)2=K(y2x)3
de la E. D. de partida.
Finalmente, con u0= 1 y u0= 2 tenemos, respectivamente, las soluciones Y=Xe
Y= 2Xque, sustituyendo XeYpor su valor, se traducen en y=x+ 1 y y= 2x.
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Universidad: Universidad de La Rioja
Fecha de la carga: 24/06/2012
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