Teorema De Green - Ejercicios Resueltos - Análisis, Prácticas y ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Analisis

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Análisis sobre el Teorema de Green - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Matemáticas
PROBLEMAS DE TEOREMA DE GREEN
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea
F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas
parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por
C. Entonces:
∫∫ ∫
+==
CD C
QdyPdxdA
y
P
x
QdrF·
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar
+
C
xydxdxx4
,
donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada
positivamente.
SOLUCIÓN:
La gráfica indica la región encerrada por la curva C.
Tenemos:
y
x
Q
xyyxQ
y
P
xyxP
=
=
=
=
);(
0);( 4
Por lo tanto:
( )
( )
6
1
1
1
1
0
3
6
1
2
1
02
1
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
1
4
==
==
==
=+ ∫∫ ∫ ∫
x
dxxdxyydydxdA
y
P
x
Q
xydxdxx
D
xx
C
Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3
integrales con las correspondientes parametrizaciones.
x
y
1
1
y = 1 - x
y
x
1
1
-1
2.) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de
la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2π
SOLUCIÓN:
De la parametrización de la curva tenemos:
x = cos3t x2/3 = cos2t
y = sen3t y2/3 = sen2t
Sumando miembro a miembro tenemos:
( )
( )
( )
( )
∫ ∫
+
==±==+
1
1
2/3
3/2
1
1
1
1
2/3
3/23/23/2
12 11
2/3
3/2
2/3
3/2
dxxdydxAxyyx
x
x
Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de
Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como
trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la
integración. Veamos:
El área de una región D viene dada por
∫∫
=
D
dAA 1
. Por lo tanto, para aplicar
Green deberíamos encontrar funciones P, Q / 1=
y
P
x
Q
. Un par de funciones
sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la
parametrización, escribimos:
x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt
y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt
Luego:
π
π
π
πππ
ππ
8
3
6
2sen
8
4sen
2cos2sen
2
4cos1
)2cos2sen2(sen
4
2sen
2
2cos1
3
4
2sen
cos3
sencos3cossen3cos
2
0
3
2
1
8
3
2
0
2
8
3
2
0
22
8
3
2
0
2
2
0
2
2
2
0
24
2
0
23
=
+=
+
=
=+=
+
==
===+=
=
∫∫
tt
tdttt
t
dttttdt
tt
dt
t
t
tdtttdtttQdyPdxdA
y
P
x
Q
A
CD
De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la
región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas
polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando
tenemos la expresión cartesiana de la curva.
3.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado
F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)
a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1
b) Calcular dA
y
P
x
Q
D
∫∫
, donde D es la región encerrada por la curva del punto
a).
c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.
SOLUCIÓN:
a) Parametricemos el círculo.
π
20 ,
cossen
sencos
==
==
t
tdtdyty
tdtdxtx
tdtQdxtdt
tt
t
tytxQ
tdtPdxtdt
tt
t
tytxP
2
22
2
22
coscos
cossen
cos
))();((
sensen
cossen
sen
))();((
==
+
=
==
+
=
Integrando tendremos, así:
( )
∫ ∫ =+=+
C
dtttQdyPdx
π
π
2
0
22
2cossen
b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:
( ) ( )
( )
( ) ( )
00
2)(
2
2
22
22
2
22
22
2
22
22
2
22
22
=
=
+
=
+
+
=
+
=
+
+
=
∫∫ dA
y
P
x
Q
y
P
x
Q
yx
xy
yx
yyyx
y
P
yx
xy
yx
xxyx
x
Q
D
c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo,
este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no
tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la
región.
4.) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con
agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio
interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
SOLUCIÓN:
Determinaremos el momento de inercia
respecto al diámetro colineal con el eje x.
De Física sabemos que:
∫∫
=
D
xdAyI 2
ρ
Donde
ρ
es la densidad superficial de la
arandela, supuesta constante dado que es
homogénea.
Esta región no es simplemente conexa
pero, como se vio en la teoría, se puede
extender el teorema de Green a este tipo
de regiones con agujeros, siendo:
∫∫ ++=
D C C
QdyPdxQdyPdxdA
y
P
x
Q
1 2
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos
integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:
3
3
1
2
; 0 :ejemplopor , tomamos; yPQy
y
P
x
Q===
Aplicando Green con esta función tenemos:
+=
++== ∫∫
2121
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
200
CCCCD
xdxydxydydxydydxydAyI
ρρρ
(1)
Parametrizando estas curvas tenemos
==
==
==
==
π
π
20 ,
cossen
sencos
20 ,
cossen
sencos
2
1
t
tadytay
tadxtax
C
t
tbdytby
tbdxtbx
C
Reemplazando con esto en (1) tendremos:
( )
==
+= ∫ ∫
ππ π
ρρ
2
0
444
3
1
2
0
2
0
33
3
1
33
3
1sen)sen(sen)sen(sen tdtabdttatadttbtbIx
y
x
a
b
C
2
C
1
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Dirección:
Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Subject: Analisis
Fecha de la carga: 20/08/2012
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