Teorema Fundamental De Los Integrales De Línea - Ejercicios - Matemáticas, Prácticas y ejercicios de Matemáticas. Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Matemáticas

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Matemáticas sobre el Teorema Fundamental de los Integrales de Línea - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Matemáticas
PROBLEMAS DEL TEOREMA
FUNDAMENTAL DE LAS
INTEGRALES DE LÍNEA
Ejercicios Resueltos
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a t b. Sea f una
función derivable de 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente f es continuo sobre C.
Entonces:
))(())((· afbff
Crrdr =
TEOREMA 2
C
drF·
es independiente de la trayectoria en D si y sólo si
0· =
C
drF
para toda
trayectoria cerrada C en D.
TEOREMA 3
Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si
C
drF·
es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial
conservativo sobre D; es decir, existe una función f tal que f = F.
TEOREMA 4
Si F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q
tienen derivadas parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces
en todo D tenemos que
x
Q
y
P
=
Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional).
TEOREMA 5
Sea F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j un campo vectorial sobre una región simplemente
conexa D. Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y
que:
x
Q
y
P
=
Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables).
EQUIVALENCIAS
F conservativo.
C
drF·
independiente de la trayectoria.
0· =
C
drF
en una trayectoria cerrada.
Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a
cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un
camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino
compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado
es lógico o no.
)2;4( ; )1;
1( ;
2
);( 2
2
=BA
Q
x
y
P
x
y
yx jiF
SOLUCIÓN
a) Si llamamos C a la curva indicada, la
podemos subdividir en las curvas C1 y C2
mostradas en la figura. En tal caso
tendremos:
+=
21 CCC
Ejecutando ambas integrales por separado
tendremos (escogiendo parametrizaciones
simples):
( ) ( )
( )
4
3
4
9
2
3
3
0
2
4
1
2
1
3
0
2
4
3
3
0
3
02
1
2
1
4
)1(2
3
0 ,
1
4
1
1
1
1
30 ,
1
1
==
=
=+
=
=
=
+
=
+
=+
=
+=
∫ ∫
∫ ∫
ttdt
t
Qdy
Pdxt
ty
x
C
t
dt
t
QdyPdxt
y
tx
C
C
C
Con lo cual resulta:
( )
0 -
4
3
4
3
=+=+
C
QdyPdx
(1;1)
C
1
(4;-2)
C
2
b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que
lo podemos separar en dos tramos C3 y C4.
Tendremos entonces, igual que en el apartado
anterior, que
+=
43
*CCC
Realizando parametrizaciones parecidas a las
ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo
siguiente:
( )
3
1
4
)1(
)2(
30 ,
2
1
32)1(
1
)1(2
30 ,
1
1
3
0
3
02
2
2
3
0
2
3
0
3
4
3
=
+
=
+
=+
=
+=
==
=+
=
=
∫ ∫
∫ ∫
t
dt
t
QdyPdxt
y
tx
C
ttdt
t
QdyPdxt
ty
x
C
C
C
Sumando esto se obtiene:
0 3 3
*=+=+
CQdyPdx
Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que vemos que:
x
Q
x
y
y
P
==
2
2
Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no
ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos
analizados. Por lo tanto, por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos
deben ser iguales.ν
(1;1)
C
3
(4;-2)
C
4
2.) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial. Calcular la
integral de línea del campo vectorial F(x;y) = P(x;y)i + Q(x;y)j = eyi + xeyj a lo
largo de la trayectoria:
r(t) = (senh(5t4)/senh5; t4 + 5t3 - 3t2 - 2t) , =0 t 1
SOLUCIÓN
x
Q
e
y
Py
==
F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el
gradiente de una función potencial f; esto es: f = F. Si obtenemos tal función f,
podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea.
Para ello notemos que:
)(ygxefeP
x
fyy +===
(1),
donde g(y) es una función que depende solamente de la variable y. Si ahora
derivamos la función f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresión
equivalente a la otra función coordenada, esto es, Q.
KygygxeQygxe
y
f
yy
==
==
+=
)(0)()(
Reemplazando este último resultado en (1), tenemos:
Kxefy+=
(2)
Ya tenemos la función potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de
las integrales de línea:
))0(())1((· · rrdrdrFfff
CC
==
Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del
parámetro tenemos:
=
+=
=
=
1;1213151;
5senh
1senh
)1(
)0;0(0;
5senh
0senh
)0(
55
1
234
ee
ee
r
r
Aplicando ahora la función f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:
Ke
ee
ee
f
Kf
+
=
+=
55
1
))1((
0))0((
r
r
Y finalmente:
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Dirección:
Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Fecha de la carga: 20/08/2012
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