Teorema Fundamental De Los Integrales De Línea - Ejercicios - Matemáticas, Ejercicios de Matemáticas. Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Matemáticas

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Matemáticas sobre el Teorema Fundamental de los Integrales de Línea - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Matemáticas
PROBLEMAS DEL TEOREMA
FUNDAMENTAL DE LAS
INTEGRALES DE LÍNEA
Ejercicios Resueltos
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a t b. Sea f una
función derivable de 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente f es continuo sobre C.
Entonces:
))(())((· afbff
Crrdr =
TEOREMA 2
C
drF·
es independiente de la trayectoria en D si y sólo si
0· =
C
drF
para toda
trayectoria cerrada C en D.
TEOREMA 3
Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si
C
drF·
es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial
conservativo sobre D; es decir, existe una función f tal que f = F.
TEOREMA 4
Si F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q
tienen derivadas parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces
en todo D tenemos que
x
Q
y
P
=
Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional).
TEOREMA 5
Sea F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j un campo vectorial sobre una región simplemente
conexa D. Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y
que:
x
Q
y
P
=
Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables).
EQUIVALENCIAS
F conservativo.
C
drF·
independiente de la trayectoria.
0· =
C
drF
en una trayectoria cerrada.
Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a
cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un
camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino
compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado
es lógico o no.
)2;4( ; )1;
1( ;
2
);( 2
2
=BA
Q
x
y
P
x
y
yx jiF
SOLUCIÓN
a) Si llamamos C a la curva indicada, la
podemos subdividir en las curvas C1 y C2
mostradas en la figura. En tal caso
tendremos:
+=
21 CCC
Ejecutando ambas integrales por separado
tendremos (escogiendo parametrizaciones
simples):
( ) ( )
( )
4
3
4
9
2
3
3
0
2
4
1
2
1
3
0
2
4
3
3
0
3
02
1
2
1
4
)1(2
3
0 ,
1
4
1
1
1
1
30 ,
1
1
==
=
=+
=
=
=
+
=
+
=+
=
+=
∫ ∫
∫ ∫
ttdt
t
Qdy
Pdxt
ty
x
C
t
dt
t
QdyPdxt
y
tx
C
C
C
Con lo cual resulta:
( )
0 -
4
3
4
3
=+=+
C
QdyPdx
(1;1)
C
1
(4;-2)
C
2
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Información del documento
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Dirección: Matemáticas
Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Fecha de la carga: 20/08/2012
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