Autómata Finito - Resumen - Métodos Formales, Resúmenes de Métodos Matemáticos para Análisis Numérico y Optimización

¡Descarga Autómata Finito - Resumen - Métodos Formales y más Resúmenes en PDF de Métodos Matemáticos para Análisis Numérico y Optimización solo en Docsity! www.datauni.com.ar Metodos Formales P= |(n sin=0 L.L%% mo Autómata Finito (AF) M=(Q,A, d, qo, F)/ Q: conjunto de estados A: Alfabeto de entrada 0: axA > Q Función de transición (9(qo, 1) = 40) do: Estado inicial F: Conjunto de estados de aceptación P(Q): Partes de Q(combinaciones posibles) Fe P(Q) 09 (qaj=|qg sia=A (1) 0" (9(q, a),B) sia=aB B: Sarta remanente a: un símbolo NOTA: si estoy en un estado y viene A me quedo en ese mismo estado. Lenguaje reconocido por un autómata finito L=(a€A*/d*( q) a) € F) siendo F el conjunto de todos los estados de aceptación Autómata finito no deterministico (AFND) e Sin transacciones A: M= (Q, A, t, qo, F)/ Idem AF (qo, a, q1) t C (QxAxQ) € transiciones comunes (do, b, 42) e Contransacciones A: M= (Q, A, t, V, q0, F)/ Idem AF t=( (q0, a, q1) V=( (dá, ye (AA) (Go, b, 42) ) V =( (q1, 92), (93, 94) $ www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar V € transiciones lambda Indistinguibilidad a y a, son indistinguibles (a, = q,) => (para todo a € A”): [9* (q,, a) E FS 0* (q, a) EF] € Distinguibilidad au y a, son distinguibles (384€ A*)/02* (4,,0)€F > 0* (q, a)6 F o viceversa Indistinguibilidad en K pasos a, y a, son indistinguibles en K pasos Los estados a los que llego desde q, con a y desde q; con a deben ser o los 2 de aceptación o los 2 de rechazo (con cada transición que salga de esos estados (q, a) (para todo a € A”): (Ig a < K => [9 (q;, a) € F > d* (q,, a) € FJ) Desmotracion yo qe Y = (para todo a € A”) [1g a.<K=> [9 (q,, ) EF > 9*(q,, 1) EF] =(qeFoOq€eF) dr y si (1) 5 a) (2) (para todo a € A): [A(a;, a) 0(4,, a) ] Distinguibilidad en K pasos au y a, son distinguibles en K pasos > 94€ A*/lgas<Kyd" (q,,a)E F yd” (a, a) 6 F o viceversa Ejemplo: Q1 y q2 son indistinguibles QO y q1 son distinguibles 9 (90, b)=q2€ F y d (qu, b) = q EF www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar y M2 = (Q», Az, t2, Va, 4o, F2) AF que reconoce L> Defino M = (Q4U Q2U [ ho, hy 3, Ay U A, ty U ta, V, ho, £ hy $) AF que reconoce a Ly U Lo. V=V,UV2U | (ho, do), (ho, Po) para todo q € F;: (q, hy) para todo p € Fa: (p, hy) Nuevas transiciones A 2) SiL, y L, son regulares > L; . L, es regular Sea M;, = (Q;, Ay, €, Vs, o, Fs) AF que reconoce L; y M, = (Q,, Az, t2, V2, o, F2) AF que reconoce L>, Defino M = (QU QU (ho, h, y, A4UA,, ty U ta, V, ho, [ hy AF que reconoce a Ly, UL). V=V,UV2U | (ho, q0) para todo q € F;: (q, Po) para todo p € F,: (p, h1) Nuevas transiciones A 3) Si L; y L2 son regulares > Ly N Lo es regular 4) SiL; y L, son regulares > L; - L2 es regular 5) Si L; y L> son regulares > Ly A L, es regular 6) Les regular > L* es regular Sea M= (Q, A, t, V, q, F) un AF para L Defino M' = (Q U (ho, hy), A, t, V”, ho, (hy3) AF que reconoce L*. =VU JS (ho 90) para todo q € F: (q, q0), (q, hx) A 7) Les regular > Les regular Sea M= (Q, A, t, V, qo, F) un AF para L www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar Defino M' = (Q U (ho, hy), A, t, V”, ho, (h1)) AF que reconoce L*. VW=VU _) (ho, 90), (ho, h1) para todo q € F: (q, do), (q, hx) 8) U=1R Si L es regular > L' es regular Sea M =(Q, A, t, V, qo, F) un AF con un unico estado lineal F = ( q). En caso de tener mas de uno (estado final) defina uno equivalente. Defino M' = (Q, A, t', V”, dr, ( %o )) AF que reconoce a LR (4, a, 4) €t3 (4, a, q) EP (4, 4) EV 3 (9), q) EW” para todo q,, ¿€ Q,a€ A Dado un AF dar uno equivalente con un unico estado final. Sea M =(Q, A, t, V, qo, F) un AF para L Defino M' = (Q U ( qr3, A,t, V”, o, ( 93) AF para L. V =VU( para todo q € F: (q, qr) + luego A 9) Les regular > !L es regular Sea M =(Q, A, 9, qo, F) un AFD sintacticamente completo. Defino M' = (Q?, A, 9, 40, Q - F)AF para !L. NOTA: como cuando minimizo. Mando a los a que no tienen transición al tacho. Debe tener estado trampa para todos los casos. www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar 2 Formas de demostrarlo 1ra: Usando propiedades 3) L,N L, Si L, es regular > !L; es regular] > !L¡U IL, es regular > !( !L, U !L>) es regular + L, N L> Si L, es regular R IL, es regular es regular x prop 1 x prop 9 4) Ly - L2= Ly N !L> x prop 9 e Si L, es regular > !L, es regular Si L, es regular R L, N !L, es regular > L;- L, es regular x prop 3 5) Ly AL2= (Ly - La) U (Lo- Ly) , XPrOp 4 x prop 1 e A como L, y L2 son regulares > L; — Lo y L2 — Ly son regulares 3 (Ly - Lo) U (L>- Ly) es regular + L; A L, es regular 2do: 3) L,N L, Sea M; = (Q;, A, ds, 4o, F1) AFD para L;. Sea M; = (Q,, A, 92, Po, F2) AFD para Lo. Defino M = (Q4 xQ», A, d, (qo, Po), F1 X F2) O1(q,, 0) = a, Y O2(Px, 2) = Pp 3 9 (as, Pr), a) = (45, Pr) Para todo q,, q, € Qy, para todo py, pn € Q,, para todo a€ A Ejemplo: a Ls Ec >, 2 EN a Q a a b > —>, 200 CE 00) L, Pp www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar Preguntas de Finales ¿Cómo veo si la gramática G regular genera el lenguaje Y? Cuando luego de eliminar símbolos y producciones inútiles p = Y (no queda ninguna producción). aA + No termina añ queda Y B::=aB/A )termina pero no esta unida a S ¿Cómo se si una G.R.tomaA ? €AEL Porque 3 S ::=A ¿Cómo se si un AF genera el lenguaje 8? CuanddoF=9 osiF Ag 3 no puedo acceder a un final desde q. Idem para AFD. ¿Cómo se si un AF acepta A? Cuando qy4€ F o podemos acceder a un final desde qp, usando transiciones A. ¿Cómo se si un AFD toma A? Cuando qu€ F Vo F. Si L, es regular y L, N L¿no lo es 3 L, es reg. Falso. Si Lo fuera regular Y como Ly es regular $ L, N L> es regular € Absurdo 3 L>no es regular x xprop de L;NL 1 2 Vo F. Si L, es regular y L, N L, también > L, es reg. Falso. Contraejemplo: L,=(a'b/n>0) esregular € ab/aab /aaab Lo=(a"b”/n>0)jnoesregular € ab / aabb / aaabbb / etc... Ly N L>= (ab ) es regular Sean M,, M, y M3 AF"s para L,, L> y L3, dar un AF para L; N L2N L3(similar a L, N L)) Sea M,= (Qy, A, dy, do, F1) AFD para L, Q», A, 92, Po, F2) AFD para Lo Sea M3= (Q3, A, 93, Zo, Fa) AFD para Lg Defino M = (Qy x Q2 Xx Q3, A, 9, (o, Po, 20), F4X F2X Fa) AF que reconoce a LN L2N La. dq, a) = q, y OAPk 2)= Pn Y Óx(2, 2) =2m 2 9 ((a,, Pr 2), 2) = (43, Pm 2m) para todo q,, q, € Qy; Pi Pm € Qy 24 2m € Qa € A ¿Una gramática regular puede ser ambigua? s-" aa Ss i. Ej: aA|aB . oO NS aAla]b *sambigua a A a B aBla | l a a www.datauni.com.ar 10 www.datauni.com.ar Si aplica el pasaje de GR a AF, ¿el AF puede ser no deterministico? Si. Ej: aA]aB aA|A bA ¿puede tener transiciones A? No. Hay 2 tipos de producciones en la gramática: www.datauni.com.ar 11 www.datauni.com.ar Lenguajes independientes del contexto (C. F. L.) Definición: derivación simple axg > alg > sustituyo un símbolo no terminal x lo q corresponda, una producción x ejemplo a, BE (VU V,)" XE Va Xo= Definición: derivación compuesta Ay > 04 > 02>... > Mn A*3 a De a,se deriva en a, Lenguaje generado por la Gramatica Conjunto de sartas de símbolos terminales que pueden ser generados por S. (AE V/S" a) Definición: Arbol de derivación + Hayun símbolo que llamamos raiz, que es un no terminal. e Las hojas son símbolos terminales o A. e Los nodos internos son aquellos que aparecen a la derecha de una producción de P / hay un no terminal del lado izquierdo que es su padre: S := aAb Ss izq der DI a A b Gramática libre de contexto (C.F.G) G =(V;, Vo, P, S) V, y V, son alfabetos formados por simbolos terminals y no terminals, respectivamente. vMNV,=9 P es un conjunto finito de producciones SEV, PC Vx (Vi U Vo)" www.datauni.com.ar 12 www.datauni.com.ar 1 Va a haber una cierta cantidad de pasos. Ese camino va a tener h aristas, cada w h Una de ellas va a ser un nodo no terminal > si o si algun simbolo no terminal se repite, (xq h > H+V,) ya que todos los nodos intermedios son no terminales, su | cantidad es h, y h >+V,. Por ejemplo w=w subárbol a partir de w subárbol a partir de w u Puedo generar subárboles a partir de w, w' hasta w, w' etc. 3 Puedo considerar a, p, u, r, KB subárboles aizq aizq vw ader ader dew dew dew dew prál oserp*AyriA (no pueden ser nulos ambos) 3 v y w al ser iguales pueden generar los mismos árboles. ap"ur?g 3 puedo generar ap"ur"f (h > 1) 3 Para CFL infinito (???), toda sarta cuya longitud supere un determinado valor puede escribirse de la forma apurf donde pr 4 A con la propiedad de que ap'ur"g tambien pertenece al lenguaje para cualquier h > 1. prál oserp*AyriA (no pueden ser nulos ambos) Demostración Si considero que ambos son A > Ss Ss ————> Ambos w y —> w' generan u A P (xq w=w a B a u B e ) 0 www.datauni.com.ar 15 www.datauni.com.ar 3 el 1er árbol ( 1) no era el de menor altura. 3 Eso nos muestra que p y r no pueden ser al mismo tiempo A, ya que se contradice con lo que dice el lema de bombeo de que el árbol sea mínimo. Dado un AP que reconoce por estado de aceptación, dar el AP equivalente que reconoce por pila yg Demostración Para todo a É Zo AP que reconoce x estado de aceptación Sea M = (Q, Ag, Ap, 9, do, Zo, F) AP que reconoce a L. Defino M' = (Q U fho, ha, ha), Ag, Ap, 2”, ho, Zo, [h2)) AP que reconoce por pila Z a L. 9=9U [(ho, A, A) (qo.A )) Para todo q € F: ((q, A, A) (hx, A) ((h,, A, a) (h1,A)) (ha, A, zo) (hz, 2o)) Propiedades de CFL 1) L; y L¿son CFL 3 L, UL, es CFL > Verdadero Demostración: Sean G; = (S;, Vi, Vn1, P1) CFG que genera Ly G2= (Sz, Vi, Vn2, P2) CFG que genera Lo Se define G, = (Sn, Vi, Vi U Vn2U ( S, ), P4U P2U ( S,::= S¡ | S2)) CFG que genera L,UL, 2) Li y L¿son CFL>3 L,. Les CFL > Verdadero Demostración: Idem anterior; Se define G, = (So, Vi, Vr U Vin2U [ S¿ ), P4U P2U ([ S.::= Sy. S>)) CFG que genera L4.La 3) Lesun CFL > L'es CFL > Verdadero Demostración: Sea G = (Vi, Vu, P, S) una gramatica CFG que genera L Se define G- = (V;, VU (S- ), P U(S= SS- | Aj) CFG que genera L*; 4) Les un CFL > L' es CFL > Verdadero Demostración: Idem anterior; www.datauni.com.ar 16 www.datauni.com.ar Se define G. = (Vi VJU(S, J, P U(S, ::= SS, | 0 j) CFG que genera L”. 5) Lesun CFL > Li es CFL > Verdadero Demostración: Idem anterior; Se define Gr = (Vi, Vu, Pr, S) CFG que genera LA Si A::= ay 4203... Any ApenP Y A ::= An Ap: .... Ag a204 en Pr. Para todo A € Va, para todo a; € (V¿ U Vy) 6) L;, y L¿son CFL 3 L,¡N L¿es CFL > Falso (no siempre) Contraejemplo: Li=(ab'/k,h>1) L=(ab”P/np>1) LN L¿= (able /¡> 1) > no es CFL 7) Lesun CFL 3 !L es un CFL > Falso Absurdo: Supongo que !L es un CFL. Si L, es CFL 3 !L; es CFL >» !Li U!L2 es CFL 3 !(IL; U !L2) es CFL Si L¿ es CFL 3 !L2 es CFL 3 L,N L, es CFL. Esto no es cierto, asi que !L no es CFL. 8) L1yL2son CFL>3 L1-L2son CFL > Falso IL2=(a'b'e /k,1>1)CFL Lo=(a"b"e /121,m kn3CFL?NO Ly =(a'bibl /k,j¡> 1) CFL L1N1IL2=(a'b'e"/h> 1) Para tener en cuenta para el final: L>, es CFL 3 !L> no necesariamente es CFL 3 L,N !L> no necesariamente es CFL 3 L,-—L2no necesariamente es CFL www.datauni.com.ar 17 111) www.datauni.com.ar Sea M= (Q, A, 9, do, F) AFD para L. Defina: M' = (Q U (qr), A, A U [b), 2”, do, b, (qr) ) MT que permite solo movimientos a la derecha. Sid (q. a)= q > 9a., a) = (a, a, R) Siq € F 3 (q, b) = (ar, b, R) para todo q,, q, € Q, paratodoa € A O Mostrar ........ a derecha > es reconocido por un aceptor de 2 pilas y viceversa P,= 2221 Zo blajajajas| ..| ..| b A P>=aza,as... Zo a) vaa la derecha P,=Xa, a, Zo Á P>= asas... Zo b) vaa la izquierda P,= 2120 O blaja|Xfa.jas | ..| b A P>=a,X asas... Zo Si es posible pasar de (1) a (2) usando op de pila desafila en P, y apila X en P,. O Para pasar de (1) a (3) desapila en P,, apila X en P,, desapila en P, y dicho tope lo apila en Pz. Cc) se queda ahi P,= aa Zo blaja|X|asjas| ...] b P),=X asas Á (1) a (4) desapilo en P, y apilo X en P, . €>) P,¡=a1a>... Zo C= C4 2... Cn P>= bi b>... Zo AA bje|cz|ca|..[/ [a |bi[a>|b>|as|ba|...| b IXAIV__A en las posiciones impares > P;, en las posiciones pares > P> www.datauni.com.ar 20 www.datauni.com.ar Halting Problem o problema de la parada Enunciado: Sea M una MT y C una cinta de entrada, ¿es posible decidir si la MT parara o no ante C? No Demostración Por absurdo: Supongamos que 3 un algoritmo que valida lo anterior; H(M, C) = O Mse detiene ante C 1 Mnose detiene ante C Supongo que H es computable y total (3 H(M, C) para todo M MT y para todo C cinta de entrada) Defino £(M, D(M)) = OsiM se detiene ante D(M) 1 si Mno se detiene ante D(M) Les computable y total pues H lo es. Sea K(M, D(M)) = £ bsif=1 Ñ sitk1 indeterminado Sea K' la MT que computa a la funcion K. K' se detiene € £(M) = 1 €3 Mno se detiene Como M es cualquiera, en particular tomo M = K' K' se detiene ante D(M) €3 K' no se detiene ante D(M) Abs: Supuse que H 3 3 no existe un algoritmo que valide lo pedido. www.datauni.com.ar 21 Indice www.datauni.com.ar www.datauni.com.ar 22