Ayuda calculo tu mente eres tu mismo, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga Ayuda calculo tu mente eres tu mismo y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity! 2020 Yamil Armando Cerquera Rojas Universidad Surcolombiana 13-7-2020 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Método de Simpson 3/8 Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 1 de 33 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Método de Simpson 3/8 Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas – yacerque@gmail.com1 Docente Universidad Surcolombiana Neiva – Huila-2016-04-23 CONTENIDO DEFINICIÓN .................................................................................................................... 2 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 2 OBJETIVOS ...................................................................................................................... 4 General................................................................................................................................ 4 Específicos .......................................................................................................................... 4 OBSERVACIONES PRELIMINARES ............................................................................ 5 Proposición 1 (Condición necesaria de Integrabilidad). ..................................................... 5 Cálculo de áreas .................................................................................................................. 6 Desarrollo del modelo de Simpson 3/8: ............................................................................. 7 Deducción del modelo ........................................................................................................ 8 Demostración ...................................................................................................................... 8 Generalización del modelo ............................................................................................... 14 Error en la regla de Simpson 3/8 ...................................................................................... 17 Ejercicio 1. 𝑓𝑥 = 𝑥3 − 5; ................................................................................................. 17 Ejercicio 2. 𝟎𝟏. 𝟐𝒆𝒙𝟐 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 .................................................................................... 19 Ejercicio 3. 𝟎𝟐(𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒅𝒙........................................................................................ 20 Ejercicio 4. 𝟎𝟏. 𝟐 )sin()( 2 xexf x= ................................................................................... 23 Ejercicio 5. Elementos Almacenadores de Energía (Capacitores) ................................... 25 Ejercicio 6. Aplicaciones en Electrónica: Amplificador Operacional Integrador ............ 26 RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS .................................................................................. 31 Bibliografía Básica: .......................................................................................................... 31 Bibliografía Complementaria: .......................................................................................... 31 Bibliografía OnLine:......................................................................................................... 32 1 Ingeniero Agrícola – USCO, Especialista en Sistemas - Unal, Especialista en Administración de la Informática Educativa-UdeS, Magister en Administración de Empresas-UVM, Maestría en Gestión Educativa-UdeS (PG) Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 4 de 33 OBJETIVOS General Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N subáreas para calcular su valor, asumiendo cada subárea como un pequeño arco de parábola. Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada. Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de Simpson. Comprender la aproximación del error por truncamiento de la integración aproximada utilizando el método de Simpson, frente al valor exacto. Resolver problemas de integración numérica y apreciar su aplicación en la solución de problemas de ingeniería, utilizando el método de Simpson. Específicos • Conocer la interpretación geométrica de la integral definida. • Reconocer que el método de Simpson representa, geométricamente, el área bajo una función polinomial de segundo o tercer orden (Cuadrática o cúbica). • Deducir la fórmula de Simpson a partir de la interpretación geométrica de la integral definida. • Acotar el error cometido en la integración numérica por el método de Simpson. • Explicar la obtención de fórmulas más precisas para calcular, numéricamente, integrales definidas. • Aplicar el método de Simpson, para calcular numéricamente, las aproximaciones de algunas integrales definidas. Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 5 de 33 OBSERVACIONES PRELIMINARES Cuando se realiza un experimento, generalmente, se obtiene una tabla de valores que se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realización de cualquier operación matemática sobre la nube de puntos que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con dificultades considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre estas operaciones se encuentra la integración de funciones. Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de integración, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden integrar. Es decir, un gran número de integrales de funciones elementales no puede ser expresado en términos de ellas. Entre estos casos singulares se tienen, a manera de ejemplo: ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥, ∫ 𝑑𝑥𝑙𝑛( 𝑥) , ∫ √1 + 𝑥3𝑑𝑥, ∫ 𝑠𝑖𝑛( 𝑥2)𝑑𝑥, ∫ √1 + 𝑥4𝑑𝑥, ∫ 11 + 𝑥51 0 . 𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑥𝑥2 1 𝑑𝑥, ∫ 𝑙𝑛( 𝑥)𝑥 + 1 𝑑𝑥2 1 , ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛( 𝑥)𝑑𝑥𝜋/4 0 , ∫ √𝑠𝑖𝑛( 𝑥)𝑑𝑥, ∫ (9 − 𝑥2)1 0 𝜋/2 0 1/3 𝑑𝑥 Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que se estudian en lo que sigue; lo primero en considerar se basa en la aproximación de la función f mediante polinomios interpolantes. Para aclarar la contradicción antes señalada, se debe recordar la condición necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición se menciona de inmediato, sin demostración: Proposición 1 (Condición necesaria de Integrabilidad). Si una función 𝑓 es continua en el intervalo [a, b], entonces la función f es integrable en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 6 de 33 No obstante que las condiciones de la proposición 1 son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función 𝑓(𝑥) cualquiera necesaria para obtener la integral definida. Estos apuntes pretenden ilustrar al lector de forma detallada y lo más sencillo posible, una de las técnicas básicas que permiten resolver dicha situación, haciendo uso de los métodos o modelos numéricos, a través de la denominada “INTEGRACIÓN APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE SIMPSON”. Cálculo de áreas Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma entre una función 𝒇(𝒙), el eje x y los límites a y b. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la Fig. 1, reiterando que dicha área está por debajo de la función 𝑓(𝑥) entre los límites a y b: Figura 1. Cálculo del área Partiendo del hecho que la función 𝑓(𝑥) y los valores a y b son conocidos. a se considera como el límite inferior y b se considera como límite superior. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones: Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 9 de 33 Ahora para efectos de la demostración, se asume el área a calcular como un intervalo dividido en tres trozos de ancho Δx. Para el caso de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Δx se asume como 0.2, y los tres trozos tienen dominio [1,1.2[ para el primer trozo, [1.2, 1.4] para el segundo trozo y [1.4, 1.6] para el tercer trozo. Para efectos de la demostración se tomará como centro del área el valor de cero. Tal como se muestra en la Figura 5. Figura 5 Teniendo en cuenta lo anterior, los límites que se tendrán ahora para integrar serán 1.5Δx hacia la derecha y 1.5Δx hacia la izquierda. Tenga en cuenta que el valor de Δx sería la Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 10 de 33 tercera parte del intervalo de la subárea que se toma para la demostración, es decir el valor de Δx seria igual a : Δx = (b − a)/(3n), donde b es el límite superior de integración, a es el límite inferior de integración y n es el número de trozos en las que se subdividirá cada subárea que se quiere calcular, en este caso 3 trozos y 1 Subárea. Para el caso de dicho cálculo, es necesario que las constantes se determinen requiriendo que la función de grado 3 pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la Figura 5, es decir los puntos 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 y 𝑦3 , que en coordenadas sería [−3ℎ, 𝑓(−3ℎ)], [−ℎ, 𝑓(−ℎ)], [ℎ, 𝑓(ℎ)] y [3ℎ, 𝑓(3ℎ)], teniendo en cuenta que h = Δx/2 El intervalo de integración es de −3ℎ = − 3Δx2 , 𝑎 3ℎ = 3Δx2 , lo que significa que el cálculo sería así: 𝐴3 𝑠𝑒𝑐 𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = ∫ (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑑𝑥3ℎ −3ℎ Al resolver dicha integral se tiene: 𝐴3 𝑠𝑒𝑐 𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = ∫ (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑑𝑥 = 𝑎𝑥44 + 𝑏𝑥33 + 𝑐𝑥22 + 𝑑𝑥| −3ℎ3ℎ3ℎ−3ℎ Reemplazando los dos límites se tendrá: [𝑎(3ℎ)44 + 𝑏(3ℎ)33 + 𝑐(3ℎ)22 + (3ℎ)] − [𝑎(−3ℎ)44 + 𝑏(−3ℎ)33 + 𝑐(−3ℎ)22 + 𝑑(−3ℎ)] Destruyendo paréntesis se tendrá: 𝑎(3ℎ)44 + 𝑏(3ℎ)33 + 𝑐(3ℎ)22 + (3ℎ) − 𝑎(−3ℎ)44 − 𝑏(−3ℎ)33 − 𝑐(−3ℎ)22 − 𝑑(−3ℎ) Quitando el signo menos 𝑎(3ℎ)44 + 𝑏(3ℎ)33 + 𝑐(3ℎ)22 + (3ℎ) − 𝑎(3ℎ)44 + 𝑏(3ℎ)33 − 𝑐(3ℎ)22 + 𝑑(3ℎ) Sumando y eliminando términos comunes se tendrá finalmente que la integral es: 𝐴𝑖 = ∫ (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑑𝑥 =3ℎ −3ℎ 2 𝑏(3ℎ)33 + 2𝑑(3ℎ) 𝐴3 𝑠𝑒𝑐 𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 18𝑏ℎ3 + 6𝑑ℎ = 𝐴𝑖 Ecuación 1 𝐴𝑖 = 18𝑏ℎ3 + 6𝑑ℎ Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 11 de 33 Ahora, bien. El tema es que el área queda en función de coeficientes b y d de la fórmula cúbica. Ahora bien, puesto que 𝑦𝑖 = 𝑃0(−3ℎ), 𝑦𝑖+1 = 𝑃1(−ℎ), 𝑦𝑖+2 = 𝑃2(ℎ), 𝑦𝑖+3)𝑃3(3ℎ) es el rango de la función evaluada en cada uno de los 4 puntos definidos (−3ℎ, −ℎ, ℎ, 3ℎ). El obligar que la función 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 pase por cada punto se tendrá entonces: Ecuación 2 𝑓(−3ℎ) = 𝑦0 = −27𝑎ℎ3 + 9𝑏ℎ2 − 3𝑐ℎ + 𝑑 Ecuación 3 𝑓(−ℎ) = 𝑦1 = −𝑎ℎ3 + 𝑏ℎ2 − 𝑐ℎ + 𝑑 Ecuación 4 𝑓(ℎ) = 𝑦2 = 𝑎ℎ3 + 𝑏ℎ2 + 𝑐ℎ + 𝑑 Ecuación 5 𝑓(3ℎ) = 𝑦3 = 27𝑎ℎ3 + 9𝑏ℎ2 + 3𝑐ℎ + 𝑑 Sumando la Ecuación 3 y la Ecuación 4 se tiene: Ecuación 6 𝑦1 + 𝑦2 = 2𝑏ℎ2 + 2𝑑 Y sumando la Ecuación 2 y la Ecuación 5 se tiene: Ecuación 7 𝑦0 + 𝑦3 = 18𝑏ℎ2 + 2𝑑 Teniendo el sistema de ecuaciones formado con las Ecuación 6 y Ecuación 7 se tiene: De la Ecuación 6 se despeja b. Ecuación 8 (𝑦1 + 𝑦2) − 2𝑑 = 2𝑏ℎ2 → 𝑏 = (𝑦1 + 𝑦2) − 2𝑑2ℎ2 Reemplazando el valor de b encontrado en la Ecuación 8 en la Ecuación 7 se tiene. 𝑦0 + 𝑦3 = 18ℎ2 ((𝑦1 + 𝑦2) − 2𝑑2ℎ2 ) + 2𝑑 𝑦0 + 𝑦3 = 9((𝑦1 + 𝑦2) − 2𝑑) + 2𝑑 𝑦0 + 𝑦3 = 9𝑦1 + 9𝑦2 − 16𝑑, de donde Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 14 de 33 En estos términos entonces el área será: ∫ sin (𝑥)𝑑𝑥𝜋 0 ≅ ∫ (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑑𝑥𝜋 0 ∫ sin (𝑥)𝑑𝑥𝜋 0 ≅ 3Δ𝑥8 [𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3] Donde 𝑦0 = 𝑓𝑥(0) 𝑦1 = 𝑓 (𝜋3) 𝑦2 = 𝑓(2𝜋3 ) 𝑦3 = 𝑓(𝜋) De esta manera el área será: 3Δ𝑥8 [𝑓𝑥(0) + 3𝑓 (𝜋3) + 3𝑓(2𝜋3 ) + 𝑓(𝜋)] 3Δ𝑥8 [𝑠𝑖𝑛(0) + 3𝑠𝑖𝑛 (𝜋3) + 3𝑠𝑖𝑛(2𝜋3 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝜋)] 3Δ𝑥8 [0 + 3 (√32 ) + 3(√32 ) + 0] Si Δ𝑥 = 𝜋3 entonces 3𝜋/38 [3√3] 3𝜋√38 = 2.0405243 Ahora, por calculo integral la integral de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑑𝑥, entre 0 y pi es de 2. El error absoluto será 𝑒𝑎 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜| 𝑒𝑎 = |2 − 2.0405243| 𝑒𝑎 = 0.045243 El anterior error se debe a que la forma de la curva 𝑠𝑖𝑛(𝑥) y la curva 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, no son iguales. Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 15 de 33 Generalización del modelo Para evitar el error anterior se debe subdividir el área en más secciones con el fin de minimizar al máximo el error que se pueda cometer. Para el caso de la generalización acá presentada se subdivide el área en 4 secciones. Así las cosas, Se toma como base para generalizar el modelo, la función 𝑓(𝑥), dividida en 4 subáreas en el intervalo a integrar comprendido por los límites a y b. Figura 7 Para el caso general del modelo y como se mencionó anteriormente se tiene como Δ𝑥 de cada sección lo siguiente: Δ𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/(3𝑛) Donde 𝑏 es el límite superior, 𝑎 es el límite inferior y n es el número de subáreas o secciones que se desean calcular. En el caso de la figura anterior n sería igual a 4 (Area1, Area2, Area3, Area4), a igual a 0 y b igual a 4, con lo cual se pretende calcular la siguiente integral: 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏 𝑎 = (𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 𝐴𝑟𝑒𝑎3 + 𝐴𝑟𝑒𝑎4) = 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑎1 = 38 Δ𝑥(𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3) = 𝐴1 𝐴𝑟𝑒𝑎2 = 38 Δ𝑥(𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + 𝑦6) = 𝐴2 Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 16 de 33 𝐴𝑟𝑒𝑎3 = 38 Δ𝑥(𝑦6 + 3𝑦7 + 3𝑦8 + 𝑦9) = 𝐴3 𝐴𝑟𝑒𝑎4 = 38 Δ𝑥(𝑦9 + 3𝑦10 + 3𝑦11 + 𝑦12) = 𝐴4 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 𝐴𝑟𝑒𝑎3 + 𝐴𝑟𝑒𝑎4 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 = ∑ 𝐴𝑖𝑛 𝑖=1 Con 𝑛 igual al número de subáreas: 𝐴 = 38 Δ𝑥(𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + 𝑦6 + 𝑦6 + 3𝑦7 + 3𝑦8 + 𝑦9 + 𝑦9 + 3𝑦10 + 3𝑦11 + 𝑦12) Si se aumenta y se resta el valor de 𝑦12 a la ecuación anterior se tiene: 𝐴 = 38 Δ𝑥(𝑦0 − 𝑦12 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 2𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + 2𝑦6 + 3𝑦7 + 3𝑦8 + 2𝑦9 + 3𝑦10 + 3𝑦11 + 2𝑦12) El valor de 𝑦0 es la función calculada en el límite inferior (a) y el valor de 𝑦12 es la función calculada en el límite superior (b), por lo tanto, el área total será: 𝐴 = 38 Δ𝑥(𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 2𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + 2𝑦6 + 3𝑦7 + 3𝑦8 + 2𝑦9 + 3𝑦10 + 3𝑦11 + 2𝑦12) 𝐴 = 38 Δ𝑥(𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) + 3𝑦1 + 3𝑦4 + 3𝑦7 + 3𝑦10 + 3𝑦2 + 3𝑦5 + 3𝑦8 + 3𝑦11 + 2𝑦3 + 2𝑦6 + 2𝑦9 + 2𝑦12) Ecuación 12 𝐴 = 38 Δ𝑥 (𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) + ∑(3𝑦3𝑖−2 + 3𝑦3𝑖−1 + 2𝑦3𝑖)𝑛 𝑖=1 ) Como las alturas 𝑦𝑘 son valores obtenidos al evaluar la función en cada valor 𝑥𝑘 , en la siguiente tabla se hace un resumen de los valores generalizados para cada grupo de 𝑦𝑘 de la ecuación 12. Tabla 1. Correspondencia entre 𝑦, y la función evaluada en un punto dado 𝑖 𝑦3𝑖−2 𝑦3𝑖−1 𝑦3𝑖 1 𝑦1 𝑓(𝑎 + 1Δ𝑥) 𝑦2 𝑓(𝑎 + 2Δ𝑥) 𝑦3 𝑓(𝑎 + 3Δ𝑥) 2 𝑦4 𝑓(𝑎 + 4Δ𝑥) 𝑦5 . . . 𝑦6 . . . 3 𝑦7 . . . 𝑦8 . . . 𝑦9 . . . 4 𝑦10 𝑓(𝑎 + (3𝑖 − 2)Δ𝑥) 𝑦11 𝑓(𝑎 + (3𝑖 − 1)Δ𝑥) 𝑦12 𝑓(𝑎 + 3𝑖Δ𝑥) Reemplazando los valores de 𝑦𝑘 de la tabla 1 por los correspondientes valores en términos de función 𝑓(𝑥𝑘), se tiene como fórmula general del método de Simpson 3/8 la siguiente. Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 19 de 33 𝐴1 = 3(1)8 [−6 + 3(−5) + 3(−4) + 3] 𝐴1 = 38 [−30] = −908 = −11.25 𝐴1 = −11.25 Ahora realizando el cálculo de la integral de forma analítica se tiene que: ∫ (𝒙𝟑 − 𝟓)𝑑𝑥2−1 = 𝑥44 − 5𝑥|−12 = (244 − 5(2)) − (−144 − 5(−1)) = −6 − 5.25 = −11.25 Ejercicio 2. ∫ 𝒆𝒙𝟐𝟏.𝟐𝟎 ∗ 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒅𝒙 Calcular la integral de la función 𝑒𝑥2 ∗ sin (𝑥) ente los límites 0 y 1.2, aplicando el modelo de Simpson 3/8 con una sola Subárea. De lo anterior se induce que lo que va a realizar es: 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥21.2 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 cuya gráfica es la siguiente Figura 9. Cálculo de la función 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥21.20 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 20 de 33 Si se pretende calcular el valor de dicha integral (Cálculo del área) con un solo subintervalo (𝑛 = 1) por el método de Simpson 3/8 se tendría lo siguiente: 𝑛 = 1 𝑎 = 0 𝑏 = 1.2 Ecuación 15 𝐴𝑖 = 3Δ𝑥8 [𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3] 𝐴𝑖 = 3Δ𝑥8 [𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] Si ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/(3 ∗ 1), y teniendo que 3Δ𝑥8 = 3(𝑏−𝑎)8*3*1 = 𝑏−𝑎8 entonces la fórmula de la Ecuación 15, quedará así: 𝐴𝑖 = (𝑏 − 𝑎)8 [𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] Los valores que toman las 𝑥 son en proporción e iguales, en el rango entre 0 𝑦 1.2, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑥0 = 0, 𝑥1 = 0.4, 𝑥2 = 0.8 𝑦 𝑥3 = 1.2, por tanto, el cálculo sería: 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥21.2 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = (1.2 − 0)8 ∗ [𝑓(0) + 3𝑓(0.4) + 3𝑓(0.8) + 𝑓(1.2)] Evaluando para cada valor la función a integrar 𝑓(0) = 0 𝑓(0.4) = 0.456 ⟹ 3 ∗ 𝑓(0.4) = 1.37 𝑓(0.8) = 1.36 ⟹ 3 ∗ 𝑓(0.8) = 4.08 𝑓(1.2) = 3.93 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥21.2 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = (1.2 − 0) {0 + 1.37 + 4.08 + 3.933}8 = 1.40745 Ejercicio 3. ∫ (𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐√𝒙))𝒅𝒙𝟐𝟎 Aplicar el modelo de Simpson 3/8 para resolver la integral de ∫ (2 + cos(2√𝑥) 𝑑𝑥20 . Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 21 de 33 Si se toman 𝑛 = 1 subáreas, y se tienen como límites 𝑎 = 0 y 𝑏 = 2, entonces se tiene que: 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎3 ∗ 𝑛 o sea 𝑑𝑥 = (2 − 0)/(3 ∗ 1) = 2/3 = 0.666 Figura 10. ∫ (𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐√𝒙))𝒅𝒙𝟐𝟎 Para resolver el problema de la Función 𝑓(𝑥) = (2 + 𝑐𝑜𝑠(2√𝑥))𝑑𝑥, con una sola Subárea se tendrá que: 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑐𝑜𝑠(2√𝑥) 𝐴𝑖 = 3Δ𝑥8 [𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] Δ𝑥 =2/3 𝐴1 = 3*28*3 [𝑓(0) + 3𝑓(23) + 𝑓(43) + 𝑓(2)] 𝐴1 = 14 [3 + 3*(1.9378 + 1.3267) + 1.04686)] 𝐴1 = 3.4606. Ahora resuelva el mismo ejercicio con dos subáreas 𝐴1 𝑦 𝐴2 así: Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana 24 de 33 s=s+(3*f1 + 3*f2 + 2*f3); i=i+1; end AT= 3/8*dx*(farea(a)-farea(b)+s); format long disp('Area Total :');disp(AT) function y=farea(x) y=exp(x^2)*sin(x); Aplicando el modelo con Scilab se tiene function y=farea(x) y=exp(x^2)*sin(x); endfunction a=input ('digite el límite inferior: '); b=input ('digite el límite superior: '); n=input ('digite el número de sub-areas: ') dx=(b-a)/(3*n); s=0; i=1; while(i<=n) f1=farea(a+(3*i-2)*dx); f2=farea(a+(3*i-1)*dx); f3=farea(a+(3*i)*dx); s=s+(3*f1 + 3*f2 + 2*f3); i=i+1; end AT= 3/8*dx*(farea(a)-farea(b)+s); disp('Area Total :');disp(AT) Para 6 subáreas: A1 = 0.0295 A2 = 0.0975 A3 = 0.1970 A4 = 0.3679 A5 = 0.6927 Área Total = 1.3846 u2 Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 25 de 33 Para 8 subáreas: A1 = 0.0114 A2 = 0.0354 A3 = 0.0636 A4 = 0.0996 A5 = 0.1487 A6 = 0.2190 A7 = 0.3235 A8 = 0.4835 Área Total = 1.38457641228599 u2 Ejercicio 5. Elementos Almacenadores de Energía (Capacitores) Un capacitor es un elemento pasivo que almacena energía en virtud de un campo eléctrico. Estos dispositivos son al igual que las resistencias de gran uso en el área de electrónica ya que se emplean en al área de comunicaciones, control, automatización etc. Cuando un capacitor se une a una fuente de tensión V, la cantidad de carga aplicada es directamente proporcional al voltaje de la fuente y se relacionan mediante la ecuación; Ecuación 16 "𝑑𝑞 = 𝐶𝑑𝑣" Donde q es la carga dada en coulomb, y C es la capacitancia dada en Faradios. Como 𝑖 = 𝑑𝑞𝑑𝑡 entonces 𝑑𝑞 = 𝑖 𝑑𝑡 Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 26 de 33 Reemplazando en la Ecuación 16 se tiene: Ecuación 17 𝑖 = 𝐶 𝑑𝑣𝑑𝑡 Para hallar la relación voltaje y corriente del condensador se despeja voltaje en Ecuación 17, obteniendo la siguiente expresión: 𝑣 = (1𝐶) ∫ 𝑖 𝑑𝑡𝑡1 𝑡0 Ejercicio 6. Aplicaciones en Electrónica: Amplificador Operacional Integrador En un circuito de amplificador operacional cuya salida es proporcional a la integral de la señal de entrada. La ecuación que relaciona el voltaje de salida 𝑉𝑜 viene dada por: 𝑉𝑜 = − ( 1𝑅𝐶) ∫ 𝑉𝑖(𝑡)𝑑𝑡𝑡 0 Si hay más de una señal de entrada en el amplificador operacional, el circuito quedaría de la forma: Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 29 de 33 end t=(fa-fb+s)*(3/8)*(dx); fprintf('\n el valor aproximado de la integral es: %12.10e \n',t) fprintf('\n se va hacer el cálculo del error al aplicar el método.\n por favor presione una tecla:') pause; erf=(b-a)^5/(n^4*180); fprintf('\n el error relativo al emplear el método es de: %5.6f por ciento\n',erf) c=input('ingrese valor de C :'); vo=-(1/c)*t; fprintf('el valor de Vo=: %12.10e \n voltios',vo) % función a integrar %(0.5*sin(2*x)/47e3)+(3.5*sin(x).*cos(1.5*x)/20e3)+(exp(-2.5*x).*sin(0.75*x)/33e3) Ejecución del código anterior Escriba la función que desea integrar 𝑓(𝑥) = (0.5 ∗ 𝑠𝑖𝑛(2 ∗ 𝑥)/47𝑒3) + (3.5 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑠(1.5 ∗ 𝑥)/20𝑒3) + (𝑒𝑥𝑝(−2.5 ∗ 𝑥) ∗ 𝑠𝑖𝑛(0.75 ∗ 𝑥))/33𝑒3 Digite límite inferior: 0 Digite límite superior: 0.025 Digite número de subáreas: 15 El número de subáreas que se usaran para mantener el error es: 15 El delta para cada subárea es: 5.556e-004 i X3i X3i-1 X3i-2 F1(X3i) F2(X3i-1) F3(X3i-2) 2F1+3F2+3F3 1 0.00167 0.00111 0.00056 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 2 0.00333 0.00278 0.00222 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 3 0.00500 0.00444 0.00389 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 4 0.00667 0.00611 0.00556 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 5 0.00833 0.00778 0.00722 0.00000 0.00000 0.00000 0.00004 6 0.01000 0.00944 0.00889 0.00000 0.00000 0.00000 0.00005 7 0.01167 0.01111 0.01056 0.00000 0.00000 0.00000 0.00007 8 0.01333 0.01278 0.01222 0.00000 0.00000 0.00000 0.00010 Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 30 de 33 9 0.01500 0.01444 0.01389 0.00000 0.00000 0.00000 0.00012 10 0.01667 0.01611 0.01556 0.00000 0.00000 0.00000 0.00015 11 0.01833 0.01778 0.01722 0.00000 0.00000 0.00000 0.00018 12 0.02000 0.01944 0.01889 0.00000 0.00000 0.00000 0.00021 13 0.02167 0.02111 0.02056 0.00000 0.00000 0.00000 0.00025 14 0.02333 0.02278 0.02222 0.00001 0.00000 0.00000 0.00029 15 0.02500 0.02444 0.02389 0.00001 0.00001 0.00001 0.00033 El valor aproximado de la integral es: 6.8125948073e-008 El error relativo al emplear el método es de: 0.000000 por ciento Ingrese valor de C :0.01e-6 El valor de Vo=: -6.8125948073e+000 voltios El valor de Vo=: -6.8125948073e+000 voltios Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 31 de 33 RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS Bibliografía Básica: MATHEUS. John H. Fink Kurtis D. Métodos Numéricos con MATLAB. Editorial Prentice Hall Bibliografía Complementaria: ALTZ, Franz L. Electronic. Digital. computers: Their use in science and Engineering. 1958 Academic Press inc. New York. BURDEN Richard L., J. Douglas Faires; Análisis numérico. tr. Efrén Alatorre Miguel; Revisión Técnica. Ildefonso. 1998 (Biblioteca USCO. Nro Topográfico: 515 / B949a.) CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P, Numerical Methods for engineers. McGraw Hill, Inc. 1988. 839p. ISBN 0-07-909944-0. CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P. Métodos numéricos para ingenieros: con aplicaciones en computadoras personales. 1988 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 519.5 / C467m) CONDE S. D, Carl de Boor. Análisis numérico elemental: Un enfoque algorítmico. Mc. Graw- Hill 1972, (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.8 / C761 Biblioteca). CORMICK MC., John M. and SALVADOR M.C. Numerical Methods in FORTRAN. 1964. Prentice-Hall Inc Englewood Cliffs N:J. CURTIS, F. Gerald, WHEATLEY, O. Patrick. Análisis numérico con aplicaciones. Tr. Hugo Villagomez Vasquez. 6 Ed. Pearson Educación. 2000, 698p. ISBN 968-444-393-5 FADDEEVA, V.N. Computacional methods of linear algebra, Dover Publications. 1969, New York. GASTINEL Noél; Análisis numérico lineal. tr. Javier Ruiz Fernández de Pinedo. 1975. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / G255). GREENSPAN, D. Theory and solutions of Ordinary Differencial Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York. KINCAID David y Ward Cheney; Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. tr. Rafael. 1994 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / K51a). LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antonio, SCHUTZ Fernando, Métodos numéricos. 1986 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / L973m). McCRACKEN, Daniel D., Métodos numéricos y programación fortran: con aplicaciones en ingeniería y ciencias. 1986. Editorial Limusa. México. (Biblioteca USCO Nro. Topográfico: 001.6424 / M117).