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Cuerpos numéricos - Teoría de números - Apuntes - Capítulo2 - Parte2, Apuntes de Teoría combinatoria

2.3. M´odulos y ´ordenes 27 Ejemplo Consideremos la ecuaci´on x2 5xy 2y2 = 2. Siguiendo la t´ecnica del cap´ıtulo anterior podemos factorizarla como N  x − −5 − √ 17 2 y  = 2. Por lo tanto la ecuaci´on est´a asociada al m´odulo completo M =  1, 5 √ 17 2  , correspondiente al cuerpo num´erico Q √ 17  . Las soluciones de la ecuaci´on se corresponden con los elementos de M de norma 2. Por ejemplo, una soluci´on es evidentemente (x, y) = (0, 1), correspondiente al segundo generador. Con

Tipo: Apuntes

2011/2012

Subido el 15/06/2012

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¡Descarga Cuerpos numéricos - Teoría de números - Apuntes - Capítulo2 - Parte2 y más Apuntes en PDF de Teoría combinatoria solo en Docsity! 2.3. Módulos y órdenes 27 Ejemplo Consideremos la ecuación x2 + 5xy + 2y2 = 2. Siguiendo la técnica del caṕıtulo anterior podemos factorizarla como N ( x− −5− √ 17 2 y ) = 2. Por lo tanto la ecuación está asociada al módulo completo M = 〈 1, 5 + √ 17 2 〉 , correspondiente al cuerpo numérico Q (√ 17 ) . Las soluciones de la ecuación se corresponden con los elementos de M de norma 2. Por ejemplo, una solución es evidentemente (x, y) = (0, 1), correspondiente al segundo generador. Con esto no hemos hecho sino reformular el problema. Veamos una mı́nima muestra de las ventajas del nuevo enfoque. Consideremos el número 4 = 33 + 8 √ 17. Sencillos cálculos nos dan que N(4) = 1 y que 4M ⊂ M . Parte de la teoŕıa que tenemos por delante dará cuenta de cómo se puede llegar a un número con estas propiedades. De momento veamos el interés de estos hechos. Ahora es claro que los números 4n 5 + √ 17 2 , para n = 1, 2, 3, . . . están todos en M y tienen norma 2, luego nos proporcionan nuevas soluciones de nuestra ecuación. Por ejemplo, 4 5 + √ 17 2 = 301 + 73 √ 17 2 = −32 + 735 + √ 17 2 nos lleva a la solución (x, y) = (−32, 73). De este modo hemos encontrado infinitas soluciones de la ecuación. Esto es un fragmento de la técnica que usaremos para resolver el caso general: veremos que todas las soluciones pueden encontrarse de este modo a partir de un número finito de soluciones básicas. Planteando esto en general, una solución de (2.3) esta determinada por un elemento m en un módulo M tal que N(m) = c. Si 4 es un elemento de K tal que 4m ∈ M y N(4) = 1, entonces N(4m) = c, luego 4m es otra solución. Esto nos lleva a la definición de coeficiente de un módulo. Definición 2.12 Sea M un módulo completo de un cuerpo numérico K. Di- remos que α ∈ K es un coeficiente de M si αM ⊂ M . Llamaremos OM al conjunto de todos los coeficientes de M . Es claro que OM es un subanillo de K. Lo llamaremos anillo de coeficientes de M . 28 Caṕıtulo 2. Cuerpos numéricos Notar que para que α sea un coeficiente de M basta con que αm ∈M cuando m recorre una base de M . En estos términos, los elementos de OM de norma 1 satisfacen las propiedades que ped́ıamos a 4 en el ejemplo anterior. Para localizarlos probaremos que las unidades de OM son precisamente los elementos de norma ±1 y aśı el problema se reducirá parcialmente al problema algebraico de determinar las unidades de un anillo. Primero necesitamos el siguiente hecho básico sobre OM . Teorema 2.13 Sea M un módulo completo de K. Entonces OM es también un módulo completo. Demostración: Si γ ∈ M es no nulo, entonces γOM ⊂ M y claramente es un subgrupo abeliano de M , luego es un módulo. Aśı, OM = γ−1(γOM ) es también un módulo. Veamos que es de rango máximo. Sea m1, . . . , mn una base de M . Si α ∈ K es no nulo existen números racio- nales aij tales que αmi = ∑n j=1 aijmj . Sea c el producto de los denominadores de los aij . Entonces c es un entero racional no nulo y cada caij ∈ Z, luego caijmj ∈M , y aśı cαmi ∈M . Como los elementos m1, . . . , mn son una base de M podemos concluir que cα ∈ OM . Ahora aplicamos esto a una Q-base de K, digamos α1, . . . , αn, y encontramos números racionales no nulos c1, . . . , cn tales que c1α1, . . . , cnαn ∈ OM , luego OM contiene n elementos linealmente independientes, por lo que su rango es n. Definición 2.14 Diremos que O es un orden de un cuerpo numérico K si es un módulo completo de K que además es un anillo unitario. El teorema anterior prueba que el anillo de coeficientes de un módulo com- pleto de K es un orden de K. Todo orden es el anillo de coeficientes de un módulo completo (al menos de śı mismo). Los órdenes son módulos muy especiales. Por lo pronto su estructura de anillo nos permite argumentar en términos de divisibilidad, unidades, ideales, etc. Otra caracteŕıstica muy importante es que los elementos de un orden han de ser enteros. Recogemos éste y otros hechos importantes en el próximo teorema. Teorema 2.15 Sea O un orden de un cuerpo numérico K de grado n. 1. Si α ∈ O entonces α es un entero y N(α), Tr(α) son enteros racionales. Por lo tanto tenemos aplicaciones N : O −→ Z y Tr : O −→ Z. 2. Si α, β ∈ O y α | β, entonces N(α) | N(β). En particular si α y β son asociados N(α) = ±N(β). 3. Si a y b son enteros racionales, entonces a | b en Z si y sólo si a | b en O. 4. Si α ∈ O entonces α | N(α) (en O). 5. Un número 4 ∈ O es una unidad si y sólo si N(4) = ±1. 2.3. Módulos y órdenes 31 Es importante señalar que la prueba del teorema anterior no es constructiva, es decir, no nos da un método para encontrar un conjunto maximal de elementos no asociados de una norma dada. Más adelante daremos una versión efectiva de este resultado. Por el momento hemos conseguido perfilar nuestro objetivo: Para resolver el problema de las ecuaciones diofánticas determinadas por formas completas hemos de dar un algoritmo para determinar un conjunto maximal (finito) de elementos no asociados de una norma dada en un módulo completo y otro para calcular un generador del grupo de las unidades de norma +1 de un orden numérico (que también veremos que es finito). Terminamos la sección con un resultado fundamental a la hora de trabajar con órdenes numéricos. Partimos de unas consecuencias elementales de 2.7. Teorema 2.20 Sea K un cuerpo numérico. 1. Si O es un orden de K, entonces ∆[O] ∈ Z. 2. Si O ⊂ O′ son dos órdenes de K, entonces ∆[O] = m2∆[O′], para cierto natural m. Además m = 1 si y sólo si O = O′. Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema 2.7. 2) Los elementos de una base de O se expresan como combinación lineal de los elementos de una base de O′ con coeficientes enteros racionales. Por lo tanto la matriz D de cambio de base tiene coeficientes enteros racionales y su determinante es un entero racional. Por el teorema 2.7 concluimos que ∆[O] = |D|2∆[O′]. Además los órdenes coinciden si y sólo si D es de hecho una matriz de cambio de base en O′, lo que sucede si y sólo si |D| = ±1. El último apartado del teorema anterior implica que no es posible formar ca- denas ascendentes de órdenes en un cuerpo numérico (esto es falso para módulos: basta pensar en M ⊂ (1/2)M ⊂ (1/4)M ⊂ (1/8)M ⊂ · · ·). Aśı pues, cada orden está contenido en un orden maximal por encima del cual no hay más órdenes. Vamos a probar que de hecho todos los órdenes de K están contenidos en un mismo orden maximal. El teorema anterior nos dice también que dicho orden tendrá un discriminante menor que el de cualquier otro orden, y éste va a ser el criterio con el que lo encontraremos. Definición 2.21 Llamaremos orden (maximal) de un cuerpo numérico K al conjunto OK = K ∩ E. Claramente es un anillo que contiene a todos los demás órdenes de K. No es evidente que OK sea él mismo un orden. Para probarlo notemos primero que del teorema 2.5 se sigue inmediatamente que K es el cuerpo de cocientes de OK , aśı como que existe un ζ ∈ OK tal que K = Q(ζ), es decir, que siempre podemos tomar un elemento primitivo que sea entero. Las n primeras potencias de este elemento primitivo constituyen una base de K formada por enteros. 32 Caṕıtulo 2. Cuerpos numéricos Teorema 2.22 Si K es un cuerpo numérico, entonces OK es un orden de K que contiene a todos los órdenes. Demostración: Según acabamos de comentar, K tiene una base B for- mada por enteros. Los discriminantes de estas bases son enteros racionales, luego podemos tomar una base de K formada por enteros tal que el número natural ∣∣∆[B]∣∣ sea mı́nimo. Digamos B = {b1, . . . , bn}. Vamos a probar que entonces B es una base de OK como módulo. Obviamente sus elementos son linealmente independientes sobre Z, pues lo son sobre Q. Basta probar que generan OK . Supongamos, por el contrario, que existe un elemento d ∈ OK que no pertenezca al submódulo generado por {b1, . . . , bn}. Como en cualquier caso {b1, . . . , bn} es una base de K, se cumplirá que d = a1b1 + · · ·+ anbn, (2.4) para ciertos números racionales a1, . . . , an no todos enteros. Podemos suponer que a1 /∈ Z. Sea a1 = a + r, donde a ∈ Z y 0 < r < 1. Sustituyendo en (2.4) obtenemos que rb1 + a2b2 + · · ·+ anbn = d− ab1 ∈ OK . Si llamamos c1 a este elemento y ci = bi para i = 2, . . . , n obtenemos una nueva base C de K formada por enteros tal que la matriz de cambio de base es DBC =   r a2 a3 · · · an 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · 1   . Claramente ∣∣DBC ∣∣ = r y en consecuencia∣∣∆[C]∣∣ = r2∣∣∆[B]∣∣ < ∣∣∆[B]∣∣, en contra de la elección de B. Por lo tanto B es una base de OK como Z-módulo. Definición 2.23 Llamaremos discriminante de K a ∆K = ∆[OK ] ∈ Z. Una base entera de K es una base de OK como módulo. Aśı, si α1, . . . , αn es una base entera de K, tenemos que K = {a1α1 + · · ·+ anαn | a1, . . . , an ∈ Q}, OK = {a1α1 + · · ·+ anαn | a1, . . . , an ∈ Z}. En otros términos, los enteros de K son los elementos cuyas coordenadas son enteras. 2.4. Determinación de bases enteras 33 Es importante tener claro que una base de un cuerpo K formada por enteros no es necesariamente una base entera. Basta pensar que si v1, . . . , vn es una base entera de K, entonces 2v1, . . . , vn sigue siendo una base de K formada por enteros, pero ya no es una base entera, pues v1 es un entero algebraico y no tiene coordenadas enteras respecto a esta segunda base. En general, si C es una base de K formada por enteros y B es una base entera, entonces los mismos argumentos empleados en el teorema 2.20 nos dan que ∆[C] = m2∆[B], para cierto número natural m, de manera que C es una base entera si y sólo si m = 1. Esto nos da de nuevo que una base entera es simplemente una base formada por enteros con discriminante mı́nimo, como de hecho hemos visto en la prueba del teorema 2.22. 2.4 Determinación de bases enteras Para encontrar una base entera de un cuerpo numérico K basta dar un procedimiento para obtener a partir de una base formada por enteros otra base formada por enteros con discriminante menor, siempre que exista, pues aśı, partiendo de la base formada por las potencias de un elemento primitivo entero, tras un número finito de pasos llegaremos a una base de discriminante mı́nimo, que será una base entera según las últimas consideraciones de la sección anterior. Antes de abordar el asunto en general veamos lo que ocurre con los cuerpos cuadráticos. Enteros cuadráticos En K = Q (√ d ) el elemento primitivo √ d es obvia- mente un entero, que da lugar al orden Z [√ d ] = {a + b √ d | a, b ∈ Z}, una de cuyas bases es { 1, √ d } . Su discriminante vale ∆ [√ d ] = ∣∣∣∣ 1 1√d −√d ∣∣∣∣ 2 = ( −2 √ d )2 = 4d. El teorema 2.20 nos da que ∆K se diferencia de 4d en un cuadrado. Como d es libre de cuadrados, si Z [√ d ] no fuera el orden maximal éste tendŕıa que tener discriminante d. Ahora bien, por el teorema 2.7 esto sólo puede ocurrir si d ≡ 1 (mód 4), pues ciertamente, 4  d. Supongamos, pues, d ≡ 1 (mód 4). Entonces el número α = 1 + √ d 2 cumple pol mı́nα = x2 − x + 1− d 4 ∈ Z[x], luego es un entero. El orden, Z[α] tiene discriminante ∆[α] = ∣∣∣∣ 1 11+√d 2 1− √ d 2 ∣∣∣∣ 2 = ( − √ d )2 = d.
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