Diccionario Matematico, Apuntes de Análisis Matemático

¡Descarga Diccionario Matematico y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity! Libro de Distribución Gratuita A B CD M N 25 = 32Base Exponente Potencia 25 = 2× 2× 2× 2× 2︸ ︷︷ ︸ 5 factores = 32 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 2007 2008 2009 2010 2011 70 80 90 C al ifi ca ci ón Matemáticas Lenguaje Ciencias α Hi po ten usa C at et o op ue st o Cateto adyacente x X f (x) Yf Función Dominio Contradominio Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función A B A∩B x y y = f (x) ba x y FF′ P(x, y) LR VV′ B B′ O x y y = sin x λ (Versión para Bachillerato) Libro de distribución gratuita Diccionario Ilustrado de Concept s Matemáticos por Efraı́n Soto Apolinar Términos de uso Derechos Reservados © 2011. Todos los derechos reservados a favor de Efraı́n Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraı́n. Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos. Tercera edición. México. 2011. Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este material, bajo las siguientes condiciones: Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su divulgación (impresa, electrónica, en lı́nea, etc.) Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comer- ciales y/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgación de las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin fines de lucro, con la condición de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios finales de este material, sean estos profesores, au- toridades educativas, estudiantes o público en general interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas. No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. Usted tiene permiso para utilizarlo como está y es. No se permite ni agregar, ni elimi- nar, ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones, o capı́tulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro. Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrónico que aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea publicarlo en algún sitio de Internet, primero solicite permiso al autor a través de un men- saje a la cuenta de correo electrónico que aparece en los créditos. No requiere de permiso alguno para imprimir una copia de este material para uso personal. Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgo o daño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de las definiciones que se incluyen en este diccionario. Versión Electrónica de distribución gratuita. Estrictamente prohibido el uso comercial de este material. ÍNDICE v Índice Términos de uso ii Prefacio iii a 1 b 11 c 15 d 33 e 49 f 61 g 69 h 73 i 77 j 85 k 87 l 89 m 93 n 101 o 109 p 113 r 129 s 139 t 147 www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material vi u 157 v 159 Lista de sı́mbolos 162 Referencias 165 Agradecimientos a revisores 166 Créditos 167 Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x A Efrain Soto Apolinar Abierto, conjunto Conjunto cuyo comple- mento es cerrado. En otras palabras, un conjunto es abierto cuando sus valores lı́mite (en frontera) no son elementos del conjunto mismo. Vea la definición de Abierto, intervalo. Abierto, intervalo Intervalo que no incluye sus valores extremos. Si los extremos del intervalo abierto son a y b, entonces, se denota por: (a, b). Geométricamente, el intervalo incluye a todos los puntos de la recta numérica entre a y b, pero excluyendo a estos dos valores. La siguiente figura muestra el intervalo abierto (a, b): x a bO Aceleración (1.) Vector cuya magnitud indica cuánto cambia la velocidad por cada unidad de tiempo y su dirección indica la dirección del movimiento. (2.) En Cálculo, la aceleración se define como la segunda derivada de la posición respecto del tiempo, que equivale a la primera derivada de la rapidez (veloci- dad) respecto del tiempo. A posteriori Declaraciones o afirmaciones que tienen su base en evidencia empı́rica, es decir, que se basan en observaciones, experimentaciones, etc., que dan soporte de su veracidad. A priori Declaraciones o afirmaciones que se dan sin evidencia que apoye su veracidad, pero que pueden demostrarse a partir de razonamientos lógicos. Ábaco Calculadora que se utiliza para contar. El ábaco tiene dispuestas barras de fichas que se utilizan para formar números con ellas. A cada ficha de diferen- tes barras se le asignan unidades, de- cenas, centenas, etc., y de esta manera se pueden usar para realizar cálculos fácilmente. Unidades Decenas Centenas ... Ábaco El ábaco fue inventado en China. Abscisa Para indicar un punto del plano se requieren de dos coordenadas: P(x, y). La primera coordenada (x) se conoce como abscisa. La segunda coordenada (y) se conoce como ordenada. 4 A Ángulos alternos–Ángulos correspondientes Los ángulos α y β tienen un mismo punto por vértice y tienen un lado en común, por eso son adyacentes. Ángulos alternos Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. Si dos ángulos se encuentran en diferente lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son alternos. En la figura mostrada en la definición de Ángulos correspondientes, los pares de ángulos (α, ζ) y (δ, e) son alternos. Ángulo central En una circunferencia, el ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios. En la siguiente figura el ángulo central α mide 60◦: α El ángulo central se define de manera equivalente para el cı́rculo. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo recto. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 90◦, entonces los ángulos son complementa- rios. α β En la figura anterior, los ángulos α y β son complementarios. Ángulos congruentes Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Ángulos conjugados Dos ángulos son conju- gados si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo perigonal. En otras palabras, dos ángulos son conjuga- dos si la suma de sus medidas es igual a 360◦. Ángulos consecutivos En un polı́gono, dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común. En el siguiente pentágono, los ángulos A y B son consecutivos. A B Ángulos correspondientes Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. Si dos ángulos no adyacentes se encuentran del mismo lado respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, entonces los ángulos son correspondientes. En la figura se muestran los pares de ángulos correspondientes: (α, e), (β, ζ), (γ, η) y (δ, θ). α e γ η β ζ δ θ `2 `1 `1 ‖ `2 www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Ángulo de depresión–Ángulo inscrito A 5 Ángulo de depresión Ángulo formado por la horizontal y la lı́nea que une a un obser- vador con un objeto situado por debajo del nivel de observación. En la siguiente figura, el ángulo α corres- ponde al de depresión de la persona que observa la bicicleta desde el punto donde la mano apunta. ® Z α Ángulo de elevación Ángulo formado por la horizontal y la lı́nea que une a un obser- vador con un objeto situado por encima del nivel de observación. En la siguiente figura, el ángulo α corres- ponde al de elevación de la persona que observa el balón desde el punto donde la mano apunta. o Z α Ángulo de rotación Ángulo que se rota una figura o que cambia en su orientación respecto de un eje fijo. En la siguiente figura se muestra un plano que se ha rotado 30◦, es decir, el ángulo de rotación en este caso es de 30◦. x y x′ y′ θ = 3 0◦ Ángulo entrante Ángulo que mide más que un ángulo llano, pero menos que un ángulo perigonal. En otras palabras, el ángulo entrante mide más de 180◦, pero menos que 360◦. En la figura, el ángulo α es entrante: α Ángulo externo En un polı́gono, un ángulo externo es el que se forma por uno de sus lados y la prolongación de un lado adyacente. En la siguiente figura se muestra un ángulo α externo del pentágono mostrado: D E A B C α Ángulos externos Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. Los cuatro ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas son los ángulos externos. En la siguiente figura los cuatro ángulos marcados (α, β, γ, δ) son externos. α β γ δ E F A B C D AB ‖ CD Ángulo inscrito Ángulo que tiene su vértice sobre una circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 6 A Ángulos internos– Ángulo recto α Ángulo inscrito Ángulos internos (1.) Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. Los cuatro ángulos que quedan entre las rec- tas paralelas son los ángulos internos. En la figura mostrada en la definición de Ángulos correspondientes, los cuatro ángulos: γ, δ, e y ζ son internos. (2.) En un polı́gono, un ángulo interno es el ángulo que se forma por dos lados consecutivos del polı́gono. i La medida del ángulo interno de un polı́gono regular se denota por la literal i. Vea la definición de Polı́gono regular. Ángulo llano Ángulo que mide exactamente lo mismo que dos rectos. En otras pala- bras, un ángulo llano mide 180◦. α En la figura anterior, el ángulo α es llano. Como puedes ver, los lados del ángulo llano están sobre la misma recta. Ángulo obtuso Ángulo que mide más que un ángulo recto, pero menos que un ángulo llano. En otras palabras, un ángulo obtuso mide más de 90◦, pero menos que 180◦. α En la figura anterior, el ángulo α es obtuso. Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice si la prolon- gación de los lados de uno son los lados del otro. En la siguiente figura, los ángulos α y β son opuestos por el vértice: α β Ángulos opuestos por el vértice Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Ángulo perigonal Ángulo que mide lo mismo que cuatro ángulos rectos. En otras palabras, el ángulo perigonal mide 360◦. α En la figura anterior, el ángulo α es perigonal. Ángulo recto Ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales. En otras palabras, el ángulo recto mide 90◦. α www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Asimétrico– Azar A 9 Asimétrico Una figura geométrica es asimétrica cuando no presenta algún tipo de simetrı́a. La siguiente figura es asimétrica: Figura asimétrica Ası́ntota 1. Se dice que una curva tiene una ası́ntota si se acerca mucho a una recta, pero sin llegar a tocarla. La recta representa la ası́ntota de la curva. x 0 1 2 3 4 5 y 1 2 Ası́ntota y = 1 x + 1 2. En una hipérbola, las ası́ntotas son las rectas que pasan por el centro de la hipérbola y que son diagonales del rectángulo con lados de longitud igual al eje transverso y al eje conjugado. Ver definición de Ecuación de la Hipérbola. Asociativa La propiedad asociativa para la suma es la siguiente: (a + b) + c = a + (b + c) y para la multiplicación: (a · b) · c = a · (b · c) En la definición de Propiedades de los números puede encontrar las demás propiedades de los números reales. Áurea, proporción Número irracional denotado por la letra griega φ, e igual a: φ = 1 + √ 5 2 Este número aparece en la naturaleza frecuentemente. Los griegos lo utilizaron para que sus obras tuvieran un mejor aspecto estético. Se dice que un rectángulo está en pro- porción aurea cuando al multiplicar la longitud de un lado por φ obtenemos como resultado la longitud del otro lado. A B CD M N Si dividimos: ∣∣AB ∣∣ entre ∣∣BC ∣∣ obtenemos el mismo resultado que dividir ∣∣BC ∣∣ entre∣∣BM ∣∣: φ = ∣∣AB ∣∣ ∣∣BC ∣∣ = ∣∣BC ∣∣ ∣∣BM ∣∣ = 1 + √ 5 2 Las dimensiones de los rectángulos ABCD y MBCN están en proporción áurea. Axioma Una verdad tan evidente que no requiere demostrarse. Por ejemplo, la suma de dos números reales es otro número real, es un axioma. Axioma de existencia Axioma que supone la existencia de un objeto o varios objetos matemáticos. Axiomático, sistema Una forma secuencial y sistemática de organizar una teorı́a de las ciencias exactas. Azar Decimos que un experimento o evento tiene azar cuando no es posible predecir su resultado. Por ejemplo, el hecho de que el dı́a en que el equipo de fútbol soccer de la escuela tendrá su próximo juego lloverá, no se puede predecir, ası́ que es un evento que tiene azar. Al lanzar una moneda el resultado también tiene azar, pues puede ser sol o águila. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 10 A Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x B Efrain Soto Apolinar Baricentro El baricentro de un triángulo es el punto donde se intersectan sus tres medianas. Baricentro El baricentro es el centro de gravedad del triángulo. Base (Álgebra) La base es el número que se multiplicará el número de veces indicado por el exponente. 25 = 32Base Exponente Potencia 25 = 2× 2× 2× 2× 2︸ ︷︷ ︸ 5 factores = 32 (Aritmética) 1. La base de un sistema de numeración es el número que se uti- liza para formar los números. Los mayas usaban la base 20, es decir, contaban de 20 en 20. Nosotros usamos la base 10, por eso decimos que usamos una base deci- mal. 2 375 = 2× 103 + 3× 102 + 7× 10 + 5 El número 10 es la base de nuestro sistema de numeración. 2. La base de un logaritmo es el número que se utiliza para su cálculo. Por ejemplo, en log5 125 = 3, la base es 5. Podemos cambiar la base de un logaritmo utilizando la siguiente fórmula: loga M = logb M logb a Por ejemplo, para calcular, log5 10 puedes usar la fórmula anterior y escribir en la calculadora cientı́fica: log 10 ÷ log 5 con lo que obtendrás: 1.430676558. En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5. (Geometrı́a) 1. La base de un polı́gono es el lado sobre el cual éste descansa. Base 2. La base de un triángulo es uno de sus lados a partir del cual se puede medir la altura. 14 B Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x C Efrain Soto Apolinar C Sı́mbolo que representa el conjunto de los números complejos. Cabrı́ Geometré Software para realizar construcciones geométricas y resolver problemas de geometrı́a plana. Cadena Unidad de longitud utilizada en la antigüedad equivalente a 22 yardas, o bien a 20.1168 metros. Calculadora Dispositivo o aparato que se usa para realizar cálculos. Calcular Obtener o encontrar el resultado de una operación. Cálculo Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las cantidades que varı́an continuamente y las relaciones entre ellas. En el Cálculo se estudian los conceptos de lı́mite, continuidad, derivada e integral y sus aplicaciones. El Cálculo también se denomina Cálculo infinitesimal. Cancelación Decimos que hemos cancelado un número o una expresión algebraica cuando aplicamos una de las siguientes propiedades de los números reales: a + (−a) = 0 a · 1 a = 1 Por ejemplo, cuando simplificamos la fracción: 12 21 = (
3)(4) (
3)(7) = 4 7 decimos que hemos cancelado el 3, porque hemos aplicado la segunda propiedad enlistada antes. Canónico Estándar o usual. Se utiliza general- mente para indicar que vamos a tomar el caso convencional. Por ejemplo, al decir que usamos un sistema de coordenadas canónico, entendemos que usamos un sistema de coordenadas donde los ejes son mutua- mente perpendiculares y ambos tienen la misma unidad de medida. Capacidad En matemáticas la palabra capaci- dad nos indica el valor del volumen que ocupa un sólido. Por ejemplo, un cubo con una capacidad de un litro, indica que el cubo ocupa un volumen de un litro. Cara En un poliedro, una cara es cada uno de los polı́gonos que lo delimitan. En el cubo cada uno de los cuadrados que lo delimita es una cara del poliedro. 16 C Caracterı́stica–Centro C ar a Caracterı́stica La parte entera de un logaritmo, es decir, la parte que está a la izquierda del punto decimal. Por ejem- plo, sabiendo que ln(π) ≈ 1.1447, su car- acterı́stica es 1. Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto, denotado por el sı́mbolo ν, es el número de elementos que éste contiene. Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es 10. Cartesiano, plano Sistema de coordenadas en el cual los ejes son mutuamente perpendi- culares y ambos utilizan la misma unidad de medida. La siguiente figura muestra un plano cartesiano: x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 Cartesiano, producto El producto cartesiano de los conjuntos A y B denotado por A×B es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Por ejemplo, sean A = {0, 1, 2} y B = {4, 5, 6}. Entonces, A×B = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} Centésimo (1.) Un centésimo es equivalente a una de las partes de un entero que ha sido dividido en cien partes del mismo tamaño. (2.) En un número con decimales, el dı́gito de los centésimos es el dı́gito que se encuentra en la segunda posición a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, en el número 3.1416, el dı́gito 4 corresponde a los centésimos. Centi- Prefijo que denota centésima parte. Por ejemplo, centı́metro indica la centésima parte de un metro. Central, ángulo En una circunferencia, el ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios. En la siguiente figura el ángulo central α mide 60◦: α Centro El centro de una figura es el punto de simetrı́a de la misma. CC En las figuras mostradas, C es el centro. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Circunscrito, polı́gono–Compás C 19 A la circunferencia no le podemos medir el área, pues es un segmento de lı́nea curva, pero sı́ podemos calcular su lon- gitud o perı́metro (C): C = 2 π r Circunscrito, polı́gono Se dice que un polı́gono es circunscrito cuando todos sus lados son tangentes a una misma circunferencia. Hexágono circunscrito Cociente Resultado de la división de dos números. Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, el cociente es el número 2, el dividendo es el número 10 y el divisor es el número 5. Coeficiente Es un número que multiplica a una literal. Es decir, es el factor numérico de un término. Por ejemplo, en 2 x, el número 2 es el coeficiente. Cofunción Para cada una de las funciones trigonométricas básicas, seno, secante y tangente, se define una cofunción: Función Cofunción Seno (sin x) Coseno (cos x) Secante (sec x) Cosecante (csc x) Tangente (tan x) Cotangente (cot x) Colineal Se dice que varios puntos son colineales cuando están sobre una misma recta. ` P Q R S En la figura anterior, los puntos P, Q, R y S son colineales, pues todos están sobre la misma recta `. Columna En una matriz, una columna es una lı́nea vertical de sus elementos. En la siguiente matriz A, la primera columna está formada por los elementos a, d y g: A =   a b c d e f g h i   Combinación Una combinación C(n, r) es una selección de r (uno o más) objetos de un conjunto de n objetos, independiente- mente del orden. C(n, r) se lee: una combinación de n elemen- tos, tomando r a la vez, y se calcula con la fórmula: C(n, r) = P(n, r) r! = n! r! (n− r)! donde P(n, r) son las permutaciones de n tomando r a la vez y n! es el factorial del número n. Vea la definición de Permutación. Compás Instrumento utilizado en geometrı́a para dibujar circunferencias y para com- parar longitudes de segmentos. La siguiente figura muestra un compás: www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 20 C Complejo, número–Composición Complejo, número Número que tiene una parte real y una parte imaginaria: z = a + i b En el número complejo z, a es la parte real y b su parte imaginaria. Por ejemplo, si z = 3− 2 i, 3 es la parte real de z y −2 su parte imaginaria. Algunas ecuaciones tienen por raı́ces números complejos. Complejo, plano Plano que asigna el eje horizontal a los números reales y el eje vertical a los números imaginar- ios de manera que podamos representar gráficamente los números complejos. R I z = 3 + 2 i El plano complejo también se conoce como el Plano de Gauss. Complementarios, ángulos Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medi- das es igual a la medida de un ángulo recto. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 90◦, entonces los ángulos son complementarios. α β En la figura, los ángulos α y β son complementarios. Complemento de un conjunto El comple- mento del conjunto A, denotado por A′, o bien por Ac, respecto del conjunto uni- verso U está definido por: U−A. En palabras, el complemento del conjunto A es el conjunto formado por los elemen- tos que están en el universo U que no están en A. Completar el cuadrado Proceso de factoriza- ción para expresar un trinomio cuadrado no perfecto como la suma de un binomio al cuadrado más un término constante. Para completar el cuadrado de un tri- nomio cuadrado se calcula la mitad del coeficiente del término lineal y se suma y resta el cuadrado de ese número. Por ejemplo, para completar el cuadrado de: x2 + 6 x + 10, sacamos la mitad de 6, (que es 3) y sumamos y restamos su cuadrado (que es 9): x2 + 6 x + 10 = x2 + 6 x + 10+9− 9 = (x2 + 6 x + 9) + 10− 9 = (x + 3)2 + 1 Componente Las componentes de un vector ~v = (v1, v2, · · · , vn), son cada uno de los números v1, v2, · · · , vn. La primera com- ponente es v1, la segunda componente es v2, y ası́ sucesivamente. Composición Dadas las funciones: y = f (x) y y = g(x), la composición de f en g, denotado por f ◦ g, significa sustituir g(x) en la función y = f (x): f ◦ g = f (g(x)) Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, y g(x) = 2 x− 3, entonces, f ◦ g = f (g(x)) = (2 x− 3)2 = 4 x2 − 12 x + 9 www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Compuesto, número–Condición suficiente C 21 Compuesto, número Un número natural que tiene más de dos divisores. Por ejemplo, el número 9 es compuesto, porque sus divisores son: 1, 3, y 9. El número 5 no es un número compuesto, pues solamente tiene dos divisores. El único número natural par que no es compuesto es el número 2. Importante: No solamente los números pares son compuestos. Computadora Máquina electrónica capaz de aceptar y procesar información, aplicar procesos a ésta y devolver resultados. La computadora está conformada por dispositivos de entrada (teclado, ratón, escáner, etc.), de procesamiento, cálculo aritmético y control, de almacenamiento (disco duro, etc.) y de salida (monitor, im- presora, etc.) Computadora, programa de Conjunto de instrucciones que indican a una computa- dora el procedimiento para resolver un problema. Cóncavo Un polı́gono es cóncavo si al menos uno de sus ángulos internos es entrante. El siguiente polı́gono es cóncavo: Si es posible dibujar un segmento de recta con extremos dentro del polı́gono, pero parte del segmento fuera de la figura, entonces el polı́gono es cóncavo. Una curva es cóncava cuando su cur- vatura está dirigida hacia el punto desde donde se observa. En la siguiente figura se muestra una curva cóncava: CóncavoConvexo Concéntrico Se dice que dos o más objetos geométricos son concéntricos cuando el centro de cada uno de ellos es el mismo punto para todos. Por ejemplo, en la siguiente figura, el hexágono y la circunferencia son concéntricos, pues ambos tienen por centro al punto C: C Conclusión Es el resultado de una implicación lógica. Por ejemplo, considerando las premisas: Todos los hombres son mortales, y Luis es hombre, la conclusión es: Luis es mortal, pues es el resultado de la implicación lógica de las premisas iniciales. Condición necesaria En la implicación: p→ q, q es la condición necesaria. Por ejemplo, una condición necesaria para que un cuadrilátero sea cuadrado es que todos sus ángulos midan lo mismo. Sin embargo, esta condición no es sufi- ciente. Condición suficiente Condición que requiere cumplir un objeto matemático para satis- facer una implicación en ambos sentidos. p↔ q Por ejemplo, una condición suficiente para que un cuadrilátero sea cuadrado es www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 24 C Conmutativa–Constante de proporcionalidad Los números irracionales no son conmen- surables con los números racionales. Conmutativa La propiedad conmutativa para la suma es la siguiente: a + b = b + a y para la multiplicación: a · b = b · a En la definición de Propiedades de los números puede encontrar las demás propiedades de los números reales. Cono Figura geométrica que se obtiene al hacer girar una recta respecto de un punto fijo y alrededor de otra recta fija que pasa por el punto fijo. La recta que gira se llama generatriz, el punto fifo es el vértice del cono y la recta fija es el eje del cono. EjeGe ne rat riz O Cono truncado Sólido que se obtiene cuando se corta a un cono en dos punto de su eje, con planos perpendiculares a éste. h r R El volumen V y el área superficial S del cono truncado se calculan con las siguien- tes fórmulas: V = π 3 ( r2 + rR + R2 ) A = π ( r2 + R2 + s(r + R) ) donde: s = √ (R− r)2 + h2. Consecuente El consecuente de la razón a : b es b. Por ejemplo, en la razón 5 : 7, el número 5 es el antecedente y el 7 es el consecuente. Consecutivo El consecutivo del número natural n es n + 1. Por ejemplo, el consecutivo del número 9 es 10. Consecutivos, ángulos En un polı́gono, dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común. En el siguiente pentágono, los ángulos A y B son consecutivos. A B Consecutivos, vértices En un polı́gono, dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. En la figura mostrada en el concepto Con- secutivos, ángulos, los vértices A y B son consecutivos. Consistente Un conjunto de axiomas es con- sistente cuando no es posible demostrar una proposición y su negativo. Constante Una expresión matemática que no cambia de valor. Por ejemplo, el número π ≈ 3.14159265 es constante. Constante de proporcionalidad Una constante de proporcionalidad k es el número que hace que se cumpla una relación de igual- dad entre dos cantidades que varı́an de manera proporcional. Por ejemplo, si un balón cuesta $35.00 pesos, x es la cantidad de balones que www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Construcción–Converger C 25 queremos comprar y M es el importe que debemos pagar, entonces, M = 35 x La constante de proporcionalidad en este caso es k = 35. Este ejemplo muestra una proporcionali- dad directa, aunque también puede ser inversa. Construcción Método para construir una figura utilizando solamente regla y compás. Continuidad Se dice que una función f es continua en un intervalo dado [a, b] si toma todos los valores entre f (a) y f (b) y se puede dibujar en ese intervalo sin despegar la punta del lápiz del papel sobre el cual se le dibuja. En la siguiente figura, la función y = f (x) es continua en el intervalo [a, b]: x y y = f (x) ba f (b) f (a) Más formalmente, se dice que una función y = f (x) es continua en el punto x = a si el lı́mite de la función cuando x tiende a a es igual al valor de la función evaluada en x = a. Esto es, si lim x→a f (x) = f (a), entonces la función f es continua en x = a. Continuo Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier valor real dentro de ese intervalo. Cuando la variable no puede tomar todos los posibles valores dentro del intervalo, sino que toma valores en forma de saltos, decimos que la variable es discreta. Contorno Lı́nea o curva cerrada que delimita una figura. El perı́metro de una figura geométrica plana representa la medida de su con- torno. Vea la definición de Perı́metro. Contradicción Sentencia que resulta falsa. Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una con- tradicción. Contradicción, demostración por Demostra- ción en la cual se supone falsa la premisa inicial y se llega a una contradicción o a una premisa falsa, concluyendo, entonces, que la suposición es falsa, haciendo la premisa inicial verdadera. La demostración por contradicción también se llama demostración por re- ducción al absurdo. Contradominio El contradominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que la función puede tomar. Vea la definición de Función. Contraejemplo Argumento que sirve para descartar una hipótesis. Por ejemplo, si suponemos que todos los números impartes son primos, el número 21 es un contraejemplo, pues el 21 por tener 4 divisores (1, 3, 7 y 21), y por tanto, no es primo. Converger Acercarse cada vez más a un valor. Por ejemplo, si damos valores a x cada vez más grandes y los sustituimos en 1/x, la sucesión de valores que vamos obteniendo se acercan cada vez más a cero; decimos entonces que la sucesión es convergente y que converge a cero. 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , · · · converge a 0 www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 26 C Convexo–Coordenadas polares Convexo Un polı́gono es convexo cuando todos sus ángulos internos miden menos que un ángulo llano (ninguno de sus ángulos internos es entrante). El siguiente polı́gono es convexo: Es decir, un polı́gono es convexo si todos sus ángulos internos miden menos de 180◦. Más formalmente, se dice que una figura geométrica es convexa si todo segmento con extremos dentro de la figura, todo (el segmento) está dentro de la figura. Cuando un polı́gono no es convexo se dice que es cóncavo. El siguiente polı́gono es cóncavo: Una curva es convexa cuando su cur- vatura está dirigida hacia afuera del punto desde donde se observa. En la siguiente figura se muestra una curva convexa: CóncavoConvexo Coordenada Una coordenada es el número al cual al cual le corresponde un punto de una recta numérica. En otras palabras, las coordenadas son números que indican la ubicación de un punto en el plano: P(x, y). x 1 2 3 4 1 2 3 y P(3, 2) En la figura, la primera coordenada del punto P es: x = 3 y la segunda: y = 2. A cada punto del plano le corresponde un par de coordenadas y a cada par de coordenadas le corresponde un punto del plano. Coordenadas rectangulares Las coordenadas rectangulares se refieren a un sistema de ejes coordenados mutuamente perpendi- culares que comparten la misma unidad de medida en todos sus ejes. En la figura mostrada en la definición de Coordenada se encuentra un sistema de coordenadas rectangulares con dos ejes. Coordenadas polares Las coordenadas polares del punto P del plano se definen a partir de la distancia al origen y el ángulo que forma la recta que pasa por el origen y el punto P con el eje horizontal: P(r, θ) r θ Las coordenadas polares de un punto P(r, θ) pueden transformarse en coordenadas rectangulares P(x, y), a través de las siguientes fórmulas: x = r · cos θ y = r · sin θ www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Crı́tico, punto–Cuadrado mágico C 29 3 entre 4 si el número formado por sus últimas dos cifras es un múltiplo de 4. 3 entre 5 si termina en 5 ó en 0. 3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3. 3 entre 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 3 entre 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. 3 entre 10 si termina en cero. Vea la definición de Divisibilidad. Crı́tico, punto En una curva, el punto crı́tico es el punto donde una recta tangente a la curva es horizontal. En la siguiente figura, el punto P indicado es un punto crı́tico de la función y = f (x) x y y = f (x) P1 -1 Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de un número es el resultado de multiplicarlo por sı́ mismo. Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9, porque 3× 3 = 9. Importante: elevar al cuadrado no significa multiplicar por dos, sino por sı́ mismo. (Geometrı́a) Polı́gono regular de cuatro lados. El cuadrado es un rectángulo que tiene la propiedad de que sus 4 lados miden lo mismo. Cuadrado El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la vez. Cuadrado latino Arreglo rectangular de n× n sı́mbolos de manera que en cada renglón y en cada columna aparezca cada sı́mbolo exactamente una vez. El siguiente arreglo rectangular es un cuadrado latino: α β γ δ β γ δ α γ δ α β δ α β γ Cuadrado mágico Arreglo rectangular de números naturales de manera que en todas sus columnas y todos sus renglones sumen lo mismo. Un cuadrado mágico de 3× 3 es: 2 9 4 7 5 3 6 1 8 La suma de cada renglón, cada columna y las diagonales es 15. Un cuadrado mágico de 4 × 4 es el siguiente: 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 La suma de cada renglón, cada columna y cada diagonal en este cuadrado mágico www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 30 C Cuadrante–Cúbico es 34. Además observa que: 8 + 13 + 10 + 3 = 34 4 + 14 + 9 + 7 = 34 11 + 2 + 5 + 16 = 34 1 + 12 + 15 + 6 = 34 Cuadrante En un sistema de coordenadas rectangulares, el plano queda dividido en 4 regiones. Cada una de esas regiones es un cuadrante. x y Cuadrante ICuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV Cuadrático De grado dos o elevado al cuadrado. Por ejemplo, una ecuación cuadrática es una ecuación de grado dos: ax2 + bx + c = 0 donde a , 0. Cuadrilátero Polı́gono de cuatro lados. La siguiente figura geométrica es un cuadrilátero porque tiene 4 lados. Cuartil Valores que dividen a las mediciones realizadas en cuatro partes iguales. Para hacer el cálculo de los cuartiles se requiere que los datos estén ordenados de manera creciente. El primer cuartil es el valor que es mayor al 25% y menor al 75% de todos los valores; el segundo cuartil es mayor al 50% de la población y menor al otro 50% de todos los datos; el tercer cuartil es mayor al 75% de todos los valores y menor al 25% estrato más alto de todos los datos y el cuarto cuartil es el mayor de todos los valores. Cuarto Cuando dividimos un entero en cuatro partes iguales, cada una de ellas es un cuarto, o bien, una cuarta parte del entero. 1 4 1 4 1 4 1 4 Cubo (Aritmética) El cubo de un número es el resultado de multiplicarlo por sı́ mismo tres veces. Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque 2× 2× 2 = 8. (Geometrı́a) Sólido geométrico regular cuyas 6 caras son cuadrados. Cubo Cubo unitario Cubo con aristas de medida igual a la unidad. Cúbico Unidad de volumen que se denota escribiendo el número 3 como su- perı́ndice de la unidad considerada. Por ejemplo, un litro equivale a un www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Cuerda–Curvatura C 31 decı́metro cúbico, que se denota como 1 dm3. Es decir, una caja de un decı́metro de arista, contiene un volumen de un litro. Cuerda Segmento de recta que tiene sus puntos extremos sobre la misma circunferencia. Cuerda Cuerpo geométrico Objetos (reales o ideales) que ocupan un volumen y que tienen tres dimensiones: alto, largo y ancho. También lea la definición de Sólido. Curva Una lı́nea trazada en un plano o en el espacio. En álgebra y análisis matemático también se llama curva a una ecuación re- firiéndose a que cualquier punto sobre su gráfica satisface a la ecuación. En matemáticas, frecuentemente uti- lizamos la palabra curva para referirnos a una función. Curvas, familia de Conjunto de curvas que tienen un mismo patrón de construcción o que se obtienen al variar un parámetro de su ecuación. Curvatura Una medida del cambio de di- rección de una curva en un punto. Una lı́nea recta tiene curvatura cero, pues nunca cambia su dirección. Una circunferencia tiene curvatura constante, pues cambia de dirección una misma cantidad siempre que avanzamos la misma distancia. Una circunferencia con un radio pequeño tiene mayor curvatura que una circunferencia con radio más grande. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 34 D Decimal, punto–Décimosegundo potencia de 10. Por ejemplo, 0.25 puede expresarse como: 0.25 = 25 100 = 25 102 Por otra parte, el número 3.06 puede escribirse como: 3.06 = 3 + 0.06 = 3 + 6 100 = 3 + 6 102 Decimal, punto Signo matemático que sirve para separar la parte entera de un número de su parte decimal. Por ejemplo, en el número: 3.1416, la parte entera es: 3, y la parte decimal es: 0.1416. En algunos paı́ses se acostumbra escribir una coma decimal en lugar del punto. Decimal, sistema métrico El sistema métrico decimal es el que utiliza los prefijos para indicar múltiplos y submúltiplos de las unidades. Los prefijos de los múltiplos usados en este sistema y sus significados son: Prefijo Sı́mbolo Múltiplo exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 hecto h 102 deca da 10 Los prefijos de los submúltiplos y sus significados son: Prefijo Sı́mbolo Submúltiplo deci d 10−1 centi c 10−2 mili m 10−3 micro µ 10−6 nano n 10−9 pico p 10−12 femto f 10−15 atto a 10−18 Los prefijos de los múltiplos y submúltiplos de utilizan con cualquiera de las unidades de las magnitudes fı́sicas. Por ejemplo, kilogramo es equivalente a mil gramos y un nanómetro equivale a una mil millonésima parte de un metro. Décimo (1.) Un décimo es equivalente a una de las partes de un entero que ha sido dividido en diez partes del mismo tamaño. 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 (2.) En un número con decimales, el dı́gito de los decimos es el dı́gito que se encuentra a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, en el número 1.73205, el dı́gito 7 corresponde a los décimos. Décimoprimero Número ordinal correspon- diente al lugar número once. Por ejemplo, en un maratón, el corredor que llega en el lugar número once, tiene el décimoprimer lugar. Frecuentemente en el lenguaje colo- quial se dice (incorrectamente) on- ceavo refiriéndose al número ordinal décimoprimero. Onceavo es una fracción, no un número ordinal. Undecimo es sinónimo de decimo- primero. Vea la definición de Número ordinal. Décimosegundo Número ordinal correspon- diente al lugar número doce. Por ejemplo, en un maratón, el corredor que llega en el lugar número doce, tiene el décimosegundo lugar. Frecuentemente en el lenguaje colo- quial se dice (incorrectamente) do- ceavo refiriéndose al número ordinal www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Declinación–Densidad D 35 décimosegundo. Doceavo es una fracción, no un número ordinal. Vea la definición de Número ordinal. Declinación Diferencia entre el norte ge- ográfico y el norte magnético. Decreciente Decimos que una función f es decreciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera valores u, v que estén en ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v, se cumple: f (u) ≥ f (v). Por ejemplo, la función y = 2 − x2 es decreciente en el intervalo (0, 2): D ecreciente x 0 0.5 1 f (x) 1 2 Observa que f (0.5) > f (1.0), y también se cumple que: 0.5 ≤ 1.0. Deducción Proceso de derivar una conclusión a partir de las propiedades de los objetos matemáticos con los que se trabaja o de un principio general. Deficiente, número Número que tiene la propiedad que sus divisores propios suman menos que él. Por ejemplo, el número 32 es deficiente, porque sus divisores propios suman 31: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 < 32 Definición Sentencia que enlista las propiedades de un objeto matemático. Descripción de las caracterı́sticas que identifican de manera exacta a un objeto matemático en cuanto a su naturaleza o significado. Demostración Justificación de una afirmación, premisa o sentencia de una manera es- tructurada, lógica e irrefutable a partir de otras sentencias verdaderas. El proceso de demostración en matemáticas es muy importante, pues cada nuevo teorema debe demostrarse en base a los axiomas conocidos y a otros teoremas ya demostrados. Demostración indirecta Demostración a través de probar que lo contrario guia a una contradicción. También se conoce como reducción al absurdo. Demostración por contradicción Demostra- ción en la cual se supone falsa la premisa inicial y se llega a una contradicción o a una premisa falsa, concluyendo, entonces, que la suposición es falsa, haciendo la premisa inicial verdadera. La demostración por contradicción también se llama demostración por re- ducción al absurdo. Denominador En una fracción, el denomina- dor indica en cuántas partes se dividirá un entero y el numerador indica cuántas de esas partes vamos a tomar. Fracción = numerador denominador En una fracción el numerador se escribe arriba y el denominador abajo. Denominador común Sinónimo de Mı́nimo común denominador. Vea la definición de Mı́nimo común denominador. Densidad (Análisis) Decimos que un conjunto de números es denso, si para cada par de números dentro de ese conjunto existe otro número del mismo conjunto entre ellos. Por ejemplo, los números racionales son densos, porque no importa qué tan cerca www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 36 D Dependencia funcional–Desarrollo se encuentren dos números, siempre podemos encontrar uno entre ellos (en particular, el promedio de los dos cumple con eso). Los números reales también son densos. (Fı́sica) El resultado de dividir la masa de un objeto entre su volumen. Por ejemplo, un litro (1 dm3) de mercu- rio tiene una masa de 13.7 kilogramos, entonces su densidad δ es: δ = 13.7 kg 1 L = 13.7 kg/L Dependencia funcional Se dice que la varia- ble y depende funcionalmente de la varia- ble x si es posible escribir la relación que existe entre ellas en forma de ecuación. En ese caso, y es la variable dependiente (depende de x) y x es la variable indepen- diente. Si la ecuación que relaciona a las varia- bles {x, y} no es una función decimos que tenemos una función implı́cita de y en x. Dependiente, variable Una variable es dependiente si su valor depende del valor de otra u otras variables. Por ejemplo, en la función: y = x2, la variable dependiente es y, pues su valor depende del valor que tome la variable x. Dependientes, eventos Dos eventos son de- pendientes cuando el resultado de uno es afectado por el resultado del otro. Derivación Proceso por el cual se calcula la derivada de una función. El proceso más común consiste en aplicar directamente una regla o fórmula de derivación aplicable a la función que se desea derivar. Las reglas de derivación se deducen a partir de la regla de los cuatro pasos. Vea la definición Regla de los cuatro pasos. Derivada En Cálculo, la derivada es la mejor aproximación lineal a una función en un punto. Por ejemplo, para la gráfica de la función y = x2, en el punto P(1, 1) que está sobre esta curva, la mejor aproximación lineal es la recta: y = 2 x − 1. La siguiente gráfica muestra la función y su derivada en el punto P(1, 1): x y 1 2 1 2 3 y = 2x − 1 y = x2 La derivada de una función evaluada en un punto siempre es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Formalmente, la derivada se define como el siguiente lı́mite: f ′(x) = lim ∆x→0 f (x + ∆x)− f (x) ∆x La derivada se interpreta como una razón de cambio instantánea con respecto a la variable independiente, es decir, la derivada nos dice cómo crece la función en un punto. Derivable, función Una función y = f (x) es derivable en un punto x0 de su dominio si la derivada de la función y′(x0) = f ′(x0) está definida en ese punto. Decimos que una función es derivable en un intervalo (a, b) si es derivable en cada punto de ese intervalo. Desarrollo (Álgebra) Un desarrollo se refiere a la realización de las operaciones que están indicadas en una expresión algebraica. Por ejemplo, el desarrollo de (a + b)3, es: (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Determinı́stico–Diagrama D 39 se puede resolver a través del método de determinantes como sigue: x = ∣∣∣∣ m b n d ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a b c d ∣∣∣∣ = dm− bn ad− bc y = ∣∣∣∣ a m c n ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a b c d ∣∣∣∣ = an− cm ad− bc siempre que ad − bc , 0. Si ocurre que ad − bc = 0, entonces el sistema de ecuaciones, bien no tiene solución, bien tiene un número infinito de soluciones. Los determinantes también se definen para matrices cuadradas de mayor orden (4× 4, 5× 5, etc.) Determinı́stico Un evento es determinı́stico cuando es predecible. Generalmente uti- lizamos una fórmula matemática para conocer su comportamiento. Por ejemplo, para conocer si una viga soportará un peso, existen fórmulas para poder elaborar el cálculo correspon- diente. Dı́a Intervalo de tiempo que equivale a 24 ho- ras. Diada Un par ordenado de valores. En el plano, las coordenadas de cada punto son una diada. Por ejemplo, (3, 4) es una diada. Diagonal La diagonal de un polı́gono es el segmento de recta que tiene sus ex- tremos en dos vértices no consecutivos del polı́gono. Si el segmento de recta tiene sus extremos en dos vértices consec- utivos del polı́gono, entonces se trata de uno de sus lados. D iagonal Lado El número de diagonales D que pode- mos trazar a un polı́gono regular de n lados puede calcularse con la siguiente fórmula: D = n (n− 3) 2 Diagonal principal En una matrı́z cuadrada, la diagonal principal es la que empieza en la esquina superior izquierda y termina en la esquina inferior derecha. Por ejemplo, en la matriz:   a b c d e f g h i   La diagonal principal es la que incluye las entradas: a, e, i. Diagonal secundaria En una matrı́z cuadrada, la diagonal secundaria es la que empieza en la esquina superior derecha y termina en la esquina inferior izquierda. Por ejemplo, en la matriz:   a b c d e f g h i   La diagonal secundaria es la que incluye las entradas: c, e, g. Diagrama En matemáticas un diagrama es una representación gráfica de la relación entre varios objetos matemáticos. Por ejemplo, el siguiente diagrama explica la relación entre una función, su dominio y su contradominio: www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 40 D Diagrama de árbol–Diagrama de sectores x X f (x) Yf Función Dominio Contradominio Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función Generalmente, los diagramas no se dibu- jan a escala. Diagrama de árbol Gráfica en la que se muestra la relación entre varios compo- nentes. El siguiente es un diagrama de árbol: Raı́z Padre Madre Hijo Hija Diagrama de barras Forma de graficar datos que facilita la comparación entre distin- tos grupos de datos. La siguiente gráfica es un diagrama de barras vertical: 2007 2008 2009 2010 2011 70 80 90 C al ifi ca ci ón Matemáticas Lenguaje Historia El diagrama de barras muestra cuantita- tivamente a través de barras horizontales o verticales de mismo grosor con alturas proporcionales a las cantidades que se están representando. Diagrama de dispersión Diagrama que muestra datos de dos variables en el plano para identificar tendencias en los mismos. La siguiente gráfica es un diagrama de dispersión: −4 −2 0 2 4 −0.5 0 0.5 Diagrama de lı́neas Diagrama que se utiliza para describir gráficamente el comporta- miento de una cantidad para distintos valores de una variable independiente, como por ejemplo, el tiempo. Este tipo de diagramas es el que se utiliza muy frecuentemente en los pronósticos: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Diagrama de sectores El diagrama de sectores sirve para comparar datos en base a un total. Generalmente se le dibuja en forma de pastel. El siguiente gráfico corresponde a un diagrama de sectores: www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Diagrama de Venn–Diferencia de una progresión aritmética D 41 Diagrama de Venn Diagrama que se utiliza para denotar conjuntos y las operaciones entre ellos. El siguiente diagrama de Venn muestra la intersección de los conjuntos A y B: A B A∩B Diamante Cuadrilátero que tiene dos ángulos obtusos y dos ángulos agudos. El siguiente polı́gono es un diamante: Diamante Diámetro El diámetro de una circunferencia es la cuerda más larga que se le puede dibujar. En otras palabras, el diámetro es el segmento de recta que tiene sus ex- tremos sobre la circunferencia y pasa por su centro C. D iá m et ro C La longitud del diámetro de una circunferencia es igual al doble de su radio. Diferencia La diferencia entre los números a y b es el número b− a. En otras palabras, la diferencia de dos números es el resultado de restarlos. 9 876 − 5 324 4 552 minuendo sustraendo diferencia Diferencia de conjuntos La diferencia de los conjuntos A y B, denotada por A − B, es el conjunto de todos los elementos que están en A, pero que no están en B. El siguiente diagrama de Venn muestra esta definición: A B A∩B A−B Diferencia de una progresión aritmética Da- dos dos términos consecutivos cuales- quiera de una progresión aritmética, ai, ai+1, la diferencia de la progresión es: d = ai+1 − ai. En realidad, se define la diferencia de la progresión para calcular los términos de la misma y no al revés. Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3, los términos de la sucesión aritmética son: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 44 D Discusión–Distribución binomial el discriminante D se define como el argumento del radical: D = b2 − 4 ac El signo del discriminante nos indica el tipo de raı́ces que tendrá la ecuación cuadrática: Discriminante Raı́ces positivo reales diferentes cero reales repetidas negativo complejas Discusión En matemáticas una discusión se refiere al proceso de análisis con fin de investigar un concepto u objeto matemático a través del razonamiento y la argumentación aplicando las propiedades conocidas del objeto en es- tudio. Disjunto Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es igual al conjunto vacı́o. En otras palabras, si dos conjuntos no tienen elementos comunes, entonces son conjuntos disjuntos. La figura muestra dos conjuntos disjun- tos: A B A∩B = ∅ Dispersión Número que indica el grado de separación (carencia de agrupación) de los datos medidos en torno de la media de la muestra o población. Distancia Número que sirve de medida de separación entre dos objetos geométricos. La distancia D entre dos puntos P(xp, yp) y Q(xq, yq) del plano cartesiano se puede calcular con la fórmula: D(P, Q) = √ (xq − xp)2 + (yq − yp)2 La distancia (euclideana) satisface las siguientes propiedades: 3 D(P, Q) ≥ 0, es decir, la distancia entre dos puntos es un número no negativo. 3 D(P, P) = 0, es decir, la distancia de un punto a sı́ mismo es cero. 3 D(P, Q) ≤ D(P, R) + D(R, Q), es decir, en un triángulo, la suma de las longitudes de dos lados siempre es al menos tan grande como el tercero. Distancia de un punto a una recta La distan- cia D del punto P(xp, yp) a la recta: A x + B y + C = 0 se puede calcular con la fórmula: D = |A xp + B yp + C|√ A2 + B2 Para calcular la distancia entre dos rec- tas paralelas puedes encontrar un punto sobre cualquiera de las dos y calcular la distancia de este punto a la otra recta. Distinto Dos cantidades son distintas cuando no son iguales. En otras palabras, distinto es sinónimo de desigual. Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis- tintas. Matemáticamente esto lo expre- samos: 3 , 4. Distribución La forma como los valores de una variable aleatoria aparecen en los datos medidos en una muestra o población. La distribución indica qué valores tienen mayor probabilidad de aparecer y cuáles aparecen con menor frecuencia. Distribución binomial Distribución que presentan los eventos que tienen dos posi- bles resultados mutuamente excluyentes. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda diez veces presenta distribución de probabilidad binomial, porque o cae águila o cae sol. Para el cálculo de la distribución bino- mial se utiliza el binomio de Newton o el triángulo de Pascal. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Distribución de frecuencias–Disyunción D 45 Distribución de frecuencias Tabla o diagrama que muestra gráficamente las frecuencias de los valores de una variable aleatoria. 0 1 2 3 4 2.5 3 3.5 4 Distribución normal Distribución de probabi- lidad continua que presentan muchos fenómenos donde cada dato pueden interpretarse como el promedio de varias mediciones. Por ejemplo, cuando medimos una distancia, cometemos un error de medición que tiene distribución normal. El error de la medición es simétrico respecto del valor verdadero de la distan- cia. En este ejemplo, cada medición puede considerarse como el promedio de varias mediciones separadas. La distribución normal se utiliza frecuentemente como una aproximación a la distribución binomial. La distribución normal se define con la media poblacional µ y su varianza σ2. Si la media de la distribución es cero y su varianza 1, la distribución se conoce como distribución normal estándar. Esta distribución es muy importante en probabilidad y estadı́stica. La función de densidad de la distribución normal es: f (x) = 1 σ √ 2π exp (−(x− µ)2 2 σ2 ) con σ > 0, y su gráfica es: x µ La gráfica tiene las siguientes propiedades: 3 Tiene un máximo en x = µ (la media). 3 La curva es simétrica respecto de la media. 3 La media, la mediana y la moda coinciden en el máximo de la función. 3 El eje horizontal es una ası́ntota de la curva. 3 El área total bajo la curva es 1. Distributiva (propiedad) Propiedad de los números reales que involucra a la suma como a la multiplicación de la siguiente manera: a · (b + c) = a b + a c Geométricamente, la propiedad distribu- tiva se interpreta como el cálculo del área de un rectángulo: a b a ca b c b + c Disyunción Aseveración formada por dos premisas unidas por la palabra o. Por ejemplo, dado que es mayor a la unidad, este número es primo o es compuesto es una disyunción. El sı́mbolo matemático utilizado para la disyunción es ∨. Vea la definición de Conjunción. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 46 D Dividendo–División de monomios Dividendo En una división, el dividendo es el número que se está dividiendo. Por ejem- plo, al dividir 10÷ 5 = 2, el dividendo es el número 10, el divisor es el número 5 y el cociente es el número 2. El dividendo puede ser cualquier número diferente de cero. Dividir Operación que consiste en calcular el número de veces que una cantidad con- tiene (cabe en) otra. Por ejemplo, cuando dividimos 36 entre 4, obtenemos 9. Esto nos indica que el número 4 cabe 9 veces en el 36. No es posible dividir entre cero. Divisibilidad Decimos que el número entero b divide al número entero a, y lo escribimos como: b|a, si existe un número entero k tal que: a = b · k. En otras palabras, si a es un múltiplo de b, entonces decimos que el número b es divisible por a. Divisibilidad, criterios de Regla que nos ayuda a determinar si un número se divide entre otro sin hacer la división di- rectamente. Un número se divide, 3 entre 2 si la última cifra del número es par. (0, 2, 4, 6, 8) 3 entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 3 entre 4 si el número formado por sus últimas dos cifras es un múltiplo de 4. 3 entre 5 si termina en 5 ó en 0. 3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3. 3 entre 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 3 entre 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. 3 entre 10 si termina en cero. División Operación matemática que consiste en repartir una cantidad fija en otra dada. La división se denota con el sı́mbolo ÷ o con /. Por ejemplo, para indicar la división de los números a y b, escribimos: a ÷ b, o bien, a/b. La división de dos números también se acostumbra escribir como una fracción: r = a b donde r es el resultado de la división y se llama cociente, a es el dividendo, b es el divisor que debe ser distinto de cero. En primaria y secundaria acostum- bramos acomodar las partes de la división como se muestra en el siguiente diagrama: Cociente Divisor Dividendo . . . Residuo Los puntos . . . indican que posiblemente existan algunos números en el procedi- miento. El último número que se escribe, siendo menor que el divisor, es el residuo de la división. División de fracciones El resultado de dividir a/b entre c/d es: a b ÷ c d = a · d b · c supuesto que: b · c , 0. Por ejemplo: 3 5 ÷ 7 8 = 3× 8 5× 7 = 24 35 División de monomios La división de monomios se define siempre que el divisor sea distinto de cero. La división entre monomios se realiza aplicando las leyes de los exponentes. En particular, la ley: xm ÷ xn = xm−n, que en palabras dice que al dividir dos bases iguales sus www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x E Efrain Soto Apolinar e Número irracional que sirve de base para los logaritmos naturales. Su valor es aproxi- madamente e = 2.718281828459. El número e es una de las constantes más importantes en matemáticas. La letra e de esta constante viene del apellido del matemático que contribuyó a la comprensión de esta constante: Euler. Ecuación Es una igualdad entre dos expre- siones algebraicas. Por ejemplo, xn + yn = zn es una ecuación. Ecuación algebraica Es una ecuación que se expresa en base a operaciones algebraicas (suma, resta, división, multiplicación) de polinomios. Por ejemplo, la ecuación: 1 x + 2 − (x− 1)(x + 3) x + 5 = 1 es algebraica. Ecuación binomial Una ecuación de la forma: xn − a = 0 y su solución es: x = n √ a. Ecuación cuadrática Una ecuación es cuadrática si tiene la forma: a x2 + b x + c = 0 donde a , 0. Ecuación de la circunferencia La circunferen- cia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo C que es el centro de la circunferen- cia. La distancia del centro de la circunferen- cia a cualquiera de sus puntos se llama radio (r). La ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(h, k) y radio r es: (x− h)2 + (y− k)2 = r2 x O h y k r C(h, k) P(x, y) Ecuación de la elipse La elipse es el conjunto de puntos del plano que satisfacen que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos es una constante 2 a mayor que la distancia entre los focos. La ecuación de la elipse horizontal con centro en el punto C(h, k), longitud del eje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b, es: (x− h)2 a2 + (y− k)2 b2 = 1 50 E Ecuación de la hipérbola–Ecuación de la parábola x y h k C(h, k)a b La ecuación de la elipse vertical con centro en el punto C(h, k), longitud del eje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b, es: (x− h)2 b2 + (y− k)2 a2 = 1 La distancia del foco al centro de la elipse es c y la relación que hay entre a, b y c es: a2 = b2 + c2 Ecuación de la hipérbola La hipérbola es el conjunto de puntos del plano que satisfa- cen que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos es una constante 2 a menor que la distan- cia entre los focos (2 c). La ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el punto C(h, k), longitud del eje transverso 2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es: (x− h)2 a2 − (y− k) 2 b2 = 1 La ecuación de la hipérbola vertical con centro en el punto C(h, k), longitud del eje transverso 2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es: − (x− h) 2 a2 + (y− k)2 b2 = 1 x y F(0, c)F′(0,−c) y = b a x y = − ba x Eje transverso Eje conjugado La distancia del centro de la hipérbola a cualquiera de los focos es c, y la relación entre a, b y c es: c2 = a2 + b2 Las diagonales que pasan por el centro de la hipérbola se llaman ası́ntotas de la hipérbola y sus ecuaciones son: y = b a x y = −b a x Ecuación de la parábola La parábola es el conjunto de puntos del plano que satisfa- cen que su distancia a un punto fijo del plano llamado foco es igual a la de una recta fija sobre el plano llamada directriz, que no pasa por el foco. La ecuación de la parábola vertical con vértice en el punto V(h, k) y distancia del vértice a su foco ρ, es: (x− h)2 = 4 ρ (y− k) La parábola horizontal con vértice en el punto V(h, k) y distancia del vértice a su foco ρ, es: (y− k)2 = 4 ρ (x− h) La parábola vertical puede abrir hacia arriba o hacia abajo, y la horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, de acuerdo al signo del parámetro ρ. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Ecuación de la recta–Ecuación lineal E 51 x y x2 = +4 |ρ|y x y x2 = −4 |ρ|y x y y2 = +4 |ρ|x x y y2 = −4 |ρ|x Ecuación de la recta La ecuación general de la recta es: A x + B y + C = 0 La ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen es: y = m x + b La ecuación de la recta en su forma punto-pendiente es: y− y1 = m (x− x1) La ecuación de la recta en su forma simétrica es: x a + y b = 1 La ecuación de la recta en su forma normal es: A x + B y + C√ A2 + B2 = 0 Ecuación equivalente Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Por ejemplo, las ecuaciones: 2 x + 1 = 9 y 2 x = 8 tienen solución única: x = 4, y por tanto son equivalentes. Ecuación exponencial Una ecuación exponen- cial tiene la forma: r akx = c Ecuación fraccionaria Es una ecuación que tiene contiene fracciones algebraicas. Por ejemplo, la ecuación: 3 2x + 1 + 2 3x + 1 = 7 es fraccionaria. Ecuación lineal Es una ecuación en la cual las incógnitas tienen exponente uno. Por ejemplo, la ecuación: 7 x + 1 = 50 es lineal, pues la única incógnita que aparece (x) tiene exponente igual a 1. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 54 E Eneágono–Equivalencia Algunas distancias importantes en la elipse son: 3 a es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de sus vértices. 3 b es la distancia del centro de la elipse a un extremo del eje menor. 3 c es la distancia de cualquiera de los focos al centro de la elipse. Entre a, b y c se cumple la relación: a2 = b2 + c2 Eneágono Polı́gono de 9 lados. Eneágono regular Entero El conjunto de los números enteros, que se denota con la literal Z es el siguiente: Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · } Observa que todos los números natura- les también son números enteros. Sin em- bargo, no todos los números enteros son naturales. Equiángulo Un polı́gono es equiángulo si todos sus ángulos tienen la misma medida. El siguiente polı́gono es equiángulo: pues cada uno de sus ángulos mide 120◦. Observa que un polı́gono equiángulo no es necesariamente regular. Equidistante Se dice que dos o más objetos son equidistantes de otro objeto P si todos están a la misma distancia de éste (P). Por ejemplo, en una circunferencia, todos sus puntos son equidistantes del centro, porque están a la misma distancia de él. P M N R S T En la figura anterior, los puntos M, N, R, S y T son equidistantes del punto P. Equilátero Un polı́gono es equilátero si todos sus lados tienen la misma medida. El siguiente polı́gono es equilátero: puesto todos sus lados tienen la misma medida. Observa que un polı́gono equilátero no es necesariamente regular. Equivalencia Propiedad que presentan dos cantidades de tener el mismo valor. Entonces, decimos que dos cantidades son equivalentes si son iguales. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Equivalencia, relación de–Escaleno, triángulo E 55 Equivalencia, relación de La relación de equivalencia es una estructura matemática que presenta las siguienes propiedades: 3 Reflexiva: a ∼ a 3 Simétrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a. 3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, entonces a ∼ c. Decimos que los objetos a y b están rela- cionados si cumplen las tres propiedades enlistadas y lo denotamos por a ∼ b. Eratóstenes, criba de Procedimiento por el cual se puede encontrar la lista de todos los números primos menores a un número natural dado n. El procedimiento consiste en ir elimi- nando los múltiplos de 2, 3, etc., ex- cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.), hasta obtener una lista de números que no se han eliminado y por tanto son primos, al no tener más de dos divisores. La siguiente figura muestra la criba de Eratóstenes para encontrar los números primos menores a 25:
1 2 3
4 5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Criba de Eratóstenes Error (1.) Diferencia entre el valor aproximado y el valor real de una cantidad. (2.) En álgebra, un estudiante comete un error cuando aplica incorrectamente una propiedad de los números u omite un cálculo para la solución del problema. Error absoluto El error absoluto de una medición se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor real: eabs = |valor real− valor medido| Error relativo El error relativo de una medición se define como: e = error valor verdadero Escala (1.) Conjunto de marcas sobre un instrumento para hacer mediciones. La siguiente figura muestra parte de una regla con escala en centı́metros: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 cm (2.) Número o razón que indica el número de veces que se ha magnificado la representación gráfica de una figura para su manejo más cómodo. Escala nominal Decimos que una variable se mide en escala nominal cuando cada uno de los valores que puede tomar tiene un nombre. Por ejemplo: Católico, Presbiteriano, Mormón, etc. Esta escala es de uso frecuente en encues- tas. Escala ordinal Decimos que una variable se mide en escala ordinal cuando puede tomar diferentes valores que están ordenados de acuerdo a una escala. Por ejemplo, leve, moderado, grave. Esta escala es de uso frecuente en encues- tas. Escaleno, triángulo Triángulo que tiene 3 lados con medida distinta. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 56 E Escolio–Estimación T. escaleno Escolio Se refiere a la observación de una car- acterı́stica particular de una proposición dada. Escuadra Conjunto de instrumentos para realizar trazos en geometrı́a plana. El set de escuadras está formado por dos es- cuadras triangulares, una con ángulos de 90◦ − 60◦ − 30◦ y otra con 90◦ − 45◦ − 45◦ . La palabra escuadra en el lenguaje colo- quial se refiere a un ángulo de 90◦, es decir, a un ángulo recto. Esfera Sólido geométrico que tiene la propiedad que todos sus puntos equidis- tan de su centro. Esfera La superficie S y el volumen V encerrado por una esfera de radio r son: S = 4π r2 V = 4π 3 r3 respectivamente. Estadı́stica Rama de las matemáticas que se encarga de la recolección, representación, análisis, interpretación y aplicaciones de datos numéricos a través de un conjunto de técnicas con rigor cientı́fico. La estadı́stica se divide en inferencial y descriptiva. Estadı́stica descriptiva Rama de la estadı́stica que se dedica a encontrar formas de representar información numérica de una forma comprensible y útil en forma de tablas, gráficas y diagramas para extraer de ellas información sobre los datos. Estadı́stica inferencial Rama de la estadı́stica que se dedica a estimar valores descripti- vos de la población a partir de la información que se tiene de una muestra de la misma usando algunos paráme- tros conocidos como estadı́sticos (media, desviación estándar, etc.) Estática Rama de la mecánica que se encarga del estudio de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos que se encuentran en equilibrio (mecánico). Estimación Aproximación a un valor por medio de un método matemático. Espacio Conjunto de objetos matemáticos que se delimitan para su estudio. Un espacio matemático no es necesaria- mente un espacio fı́sico. Espacio muestral El espacio muestral de un evento aleatorio consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de ese evento, de tal forma que a cada resultado le corresponda un elemento o punto del espacio muestral y a cada elemento del espacio muestral le corresponda un resultado. Por ejemplo, el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda al aire, es {águila, sol}, porque estos son los posibles resultados de este evento. Estimación Aproximación de un valor a partir de un cálculo. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Expresión algebraica–Extrapolación E 59 Expresión algebraica Una expresión algebraica es una combinación de sı́mbolos matemáticos (literales, números, operaciones, etc.) que tenga sentido. Por ejemplo, 3 √ 7 x2 − 10 π es una expresión algebraica. Expresión racional Una expresión racional es una fracción en donde el numerador y el denominador son expresiones algebraicas siendo el denominador distinta de cero. La siguiente es una expresión racional: a x2 + b x + c x3 − 1 Extrapolación Estimación de una variable dependiente para valores (de la variable dependiente) que están localizados fuera del conjunto de observaciones. Por ejemplo, suponga que conocemos los valores de la presión para temper- aturas entre 0°C y 100°C; si deseamos hacer una estimación de la presión para 110°C, entonces usaremos un método de extrapolación, porque 110°C no está den- tro del intervalo de observaciones de la temperatura. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 60 E Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x F Efrain Soto Apolinar Factor Número o expresión algebraica que se está multiplicando. Por ejemplo, en la expresión: 2 x y2 hay tres factores: y2, x, y 2. Factor primo Un número primo p es factor primo de N, si N es divisible entre p. Por ejemplo, 5 es un factor primo de 30, porque 30 es divisible entre 5. Factorial El factorial del número natural n, que se denota como: n!, se define como el producto de todos los números natura- les desde 1 hasta n: n! = (1)(2)(3) · · · (n) Por ejemplo, el factorial de 4 es: 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 El factorial del número cero es 1. Factorización Proceso de escribir un número o una expresión algebraica en forma de producto de factores. Por ejemplo, x2 + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3) Los casos de factorización que más frecuentemente se encuentran en el álgebra son: 3 Diferencia de cuadrados: x2 − y2 = (x + y)(x− y) 3 Trinomio cuadrado perfecto: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 3 Polinomio cúbico perfecto: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3 3 Trinomio cuadrado no perfecto: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Familia de curvas Conjunto de curvas que tienen un mismo patrón de construcción o que se obtienen al variar un parámetro de su ecuación. Fibonacci, sucesión de La sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada término se obtiene como la suma de los dos términos anteriores se conoce como la sucesión de Fibonacci. Figura Forma geométrica (dibujo, gráfico, etc.), que sirve para representar un con- cepto abstracto de las matemáticas. Cuando la figura está dibujada sobre un plano, decimos que se trata de una figura plana. Si la figura tiene volumen, decimos que es una figura en tres dimensiones o tridi- mensional. 64 F Frecuencia relativa–Función compuesta Frecuencia relativa Para cada una clases, la frecuencia relativa se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número to- tal de datos (tamaño de la muestra). La suma de todas las frecuencias relativas de una tabla de frecuencias es igual a 1. La frecuencia relativa representa la fracción del total de datos que está en esa clase en particular. Función Relación entre dos conjuntos, llama- dos el dominio y el contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio. Una función puede verse como una máquina que transforma a los números que le vamos dando, de manera que nos devuelve un número cada vez que le damos un valor. x X f (x) Yf Función Dominio Contradominio Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función El conjunto X formado por todos los valores que nosotros le damos a la función, para los cuales nos devuelve un valor, es su dominio, denotado por D f . El conjunto Y formado por todos los valores que la función nos devuelve es el contra- dominio de la misma. Por ejemplo, para la función y = √ x, su dominio es el conjunto X = {x|x ≥ 0}, pues solamente podemos calcular raı́z cuadrada de números no negativos. El contradominio de esta función es: Y = {y|y ≥ 0}, pues el resultado de calcular la raı́z cuadrada de un número siempre es un número no negativo. En este caso, se dice que y es la variable dependiente, porque sus valores depen- den del valor que le demos a la variable x. Se dice que x es la variable indepen- diente de la función. Decimos que y está en función de x, y matemáticamente lo escribimos como: y = f (x). El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas. De manera informal, podemos decir que una función es la relación que existe entre dos cantidades variables. Vea la definición de Relación funcional. Función acotada Función que nunca toma valores mayores a un valor M especı́fico. Por ejemplo, la función: y = 1/(x2 + 1) es acotada, pues los valores de y nunca son mayores a 1. x y −3 −2 −1 0 1 2 3 1 y = 1 x2 + 1 Función algebraica Es una función que se expresa en base a operaciones algebraicas (suma, resta, división, multiplicación) de polinomios. Por ejemplo, la función: y = x + 1 x + 2 − (x− 3) 2 x− 5 + 4 x 3 + 7 es algebraica. Función biyectiva Una función es biyectiva si es inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre) a la vez. Función cero La función cero se define como: f (x) = 0 para toda x ∈ R. Su dominio es el conjunto de todos los números reales y su contradominio es el conjunto {0}. De manera informal, cuando le damos un valor real a la función cero, ésta nos devuelve siempre 0. Función compuesta Dadas las funciones: y = f (x) y y = g(x), la composición de f en g, denotado por f ◦ g significa sustituir g(x) en la función y = f (x): f ◦ g = f (g(x)) www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Función continua–Función decreciente F 65 Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, y g(x) = 2 x− 3, entonces, f ◦ g = f (g(x)) = (2 x− 3)2 = 4 x2 − 12 x + 9 Función continua Se dice que una función f es continua en un intervalo dado [a, b] si toma todos los valores entre f (a) y f (b) y se puede dibujar en ese intervalo sin despegar la punta del lápiz del papel sobre el cual se le dibuja. En la siguiente figura, la función y = f (x) es continua en el intervalo [a, b]: x y y = f (x) ba f (b) f (a) Función creciente Decimos que una función f es creciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera valores u, v que estén en ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v, se cumple: f (u) ≤ f (v). Por ejemplo, la función y = x2 es creciente en el intervalo [0, 1]: Cr ec ien te x 0 0.5 1 1.5 f (x) 1 2 y = x2 Al ver la gráfica de una función, sabemos que es creciente si al moverte a la derecha la gráfica de la función va hacia arriba. Función cuadrática Una función de la forma: y = a x2 + b x + c, donde a , 0. La gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola vertical. Vea la definición de Ecuación de la parábola. Función cúbica Una función de la forma: y = a x3 + b x2 + c x + d donde a , 0. La siguiente gráfica corresponde a la de una función cúbica: x −3 −2 −1 0 1 2 y −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 y = x 3 Función decreciente Decimos que una función f es decreciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera valores u, v que estén en ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v, se cumple: f (u) ≥ f (v). Por ejemplo, la función y = 2 − x2 es decreciente en el intervalo (0, 2): www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 66 F Función discontinua–Función inversa D ecreciente x 0 0.5 1 f (x) 1 2 Observa que f (0.5) > f (1.0), y también se cumple que: 0.5 ≤ 1.0. Función discontinua Se dice que una función es discontinua cuando no es continua. Por ejemplo, la siguiente figura muestra una función discontinua en el intervalo [a, b]: x y y = f (x) ba La función no es continua porque no se le puede dibujar sin despegar la punta del lápiz del papel sobre el cual se le dibuja. Función exponencial Función de la forma: y = a (b)rx La siguiente función es exponencial: x −3 −2 −1 0 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 8 y = 2x Función impar Función que tiene la propiedad: f (−x) = − f (x). En otras palabras, una función impar es simétrica respecto del origen. Por ejemplo, la función y = x3 es impar (Vea la figura dada en la definición de Función cúbica). Función inversa Sea f una función con dominio X f y contradominio Y f . Si existe una función g con dominio Xg y contra- dominio Yg tal que: i. f (g(x)) = x para toda x ∈ Xg ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X f entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f−1 denota la función inversa de f . Por ejemplo, si f (x) = x3, entonces, f−1(x) = 3 √ x. Geométricamente, la función f (x) y su in- versa f−1(x) son la reflexión una de la otra respecto de la recta y = x. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x G Efrain Soto Apolinar Galón Unidad de volumen usada en el sistema Inglés, equivalente a 3.785 litros en EE.UU. y 4.546 litros en Inglaterra. Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matemático alemán. Considerado como el último matemático que supo todo de las matemáticas que se conocı́a hasta su época y los nuevos descubrimientos eran desarrollados principalmente por él. Resolvió problemas que se creı́an irresolubles como la construcción (con regla y compás) del polı́gono regular de 17 lados, que no se habı́a podı́do resolver en más de 2 000 años. Gauss, campana de La campana de Gauss es la forma que tiene una distribución normal. x y µ La distribución normal estándar tiene media cero y varianza 1. Gauss, método de Método para resolver siste- mas de ecuaciones, también conocido como el método de eliminación o el método de suma y resta. Gauss ideó este método basándose en las siguientes propiedades de la igualdad: 3 Si a = b, y c = d, entonces, a± c = b± d. 3 Si a = b, entonces, a · k = b · k. La idea del método es reducir el sistema de ecuaciones eliminando variables hasta obtener un sistema de una ecuación con una incógnita y a partir de este valor calcular los valores de las demás incógnitas. Generalizar Derivación de una afirmación de un caso particular a todos los casos que sea aplicable. Por ejemplo, al sumar 1 + 2 + 3 + · · · + 100, se puede encontrar que la suma se puede calcular por medio de: 1 + 2 + 3 + · · ·+ 100 = (100)(101) 2 Al generalizar, se reconoce que: 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n + 1) 2 La generalización debe justificarse de manera irrefutable para que sea válida. Generatriz Un punto, lı́nea o superficie cuyo movimiento genera una curva, superficie o sólido. Geometrı́a Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las propiedades de los puntos, las lı́neas, ángulos, superficies y sólidos. 70 G Geometrı́a Analı́tica–Griego, alfabeto Geometrı́a Analı́tica Geometrı́a que utiliza un sistema de coordenadas cartesianas para identificar de manera única puntos en el espacio estudiado. Geometrı́a plana Geometrı́a que estudia obje- tos en el plano: puntos, rectas, triángulos, cuadriláteros, etc. Geometrı́a sólida Geometrı́a que estudia los objetos en tres dimensiones, como los poliedros. Geoplano Tablero cuadrado que contiene clavos en los vértices de una cuadrı́cula dibujada sobre el tablero. Con auxilio de los clavos y ligas o estam- bre se pueden hacer trazos y ası́ estudiar algunos temas de geometrı́a. Geoplano Giga- Prefijo que denota 109. Por ejemplo, un Gigalitro equivale a mil millones de litros, esto es, 1 GL = 109 L. Googol Número natural que se escribe con un 1 seguido de cien ceros. Es decir, un Googol es igual a 10100. Grado Centı́grado Unidad de temperatura igual a una centésima parte de la diferen- cia de temperaturas entre la solidificación y fusión del agua a presión de 1 atm. El grado centı́grado se denota por ◦C. Grado Farenheit Unidad de temperatura en la cual 32◦ corresponden a la temperatura a la cual el agua se congela y 212◦ el agua se convierte en vapor a una presión de 1 atm. El grado centı́grado se denota por ◦F. Grado sexagesimal Unidad de medida de ángulo equivalente a 1/360 parte de la vuelta completa. Un grado sexagesimal se denota con el sı́mbolo: ◦, y generalmente se le llama di- ciendo solamente grado. Grado de una ecuación El grado de una ecuación polinomial es el mayor exponente al cual aparece elevada su incógnita. Grado de un polinomio Exponente de mayor valor que tiene la variable del polinomio. Por ejemplo, el polinomio: 1 + 2 x2 − 4 x3 + 7 x8 − x13 es de grado 13. Gráfica La gráfica de una ecuación o de una función es el conjunto de todos los puntos del plano que la satisfacen. Un diagrama que representa el comporta- miento de una variable dependiente respecto de otra variable independiente. La siguiente gráfica corresponde a la función: y = √ x x y 1 2 3 4 0 1 2 y = √ x Frecuentemente se utiliza la palabra diagrama como sinónimo de la palabra gráfica. Gráfica circular Sinónimo de diagrama de sectores. Vea la definición de Diagrama de sectores. Gramo Unidad de masa del Sistema Interna- cional de Unidadess. Vea la definición de Sistema Internacional de unidades. Griego, alfabeto El alfabeto griego es el siguiente: www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Griego, alfabeto G 71 Mayúscula Minúscula Nombre A α Alpha B β Beta Γ γ Gama ∆ δ Delta E e Epsilon Z ζ Zeta H η Eta Θ θ Theta I ι Iota K κ Kappa Λ λ Lambda M µ Mu N ν Nu Ξ ξ Xi O o Omicron Π π Pi P ρ Rho Σ σ Sigma T τ Tau Υ υ Upsilon Φ φ Phi X χ Chi Ψ ψ Psi Ω ω Omega Algunas letras griegas aparecen en algunos libros con diferente estilo ti- pográfico, por ejemplo: ϕ (phi), ε (ep- silon), v (pi), ϑ (theta), $ (rho) y ς (sigma). www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 74 H Hipérbola–Hiperbólica, tangente Hexágono El hexágono mostrado en la figura anterior tiene sus 6 lados y sus 6 ángulos iguales, es decir, es un hexágono regular. Hipérbola Conjunto de puntos del plano que satisfacen que la diferencia de sus distan- cias a dos puntos fijos del plano llamados focos es una constante 2 a menor que la distancia entre los focos. La ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el punto C(h, k), longitud del eje transverso 2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es: (x− h)2 a2 − (y− k) 2 b2 = 1 La ecuación de la hipérbola vertical con centro en el punto C(h, k), longitud del eje transverso 2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es: − (x− h) 2 b2 + (y− k)2 a2 = 1 La siguiente figura corresponde a la de una hipérbola horizontal: x y FF′ P(x, y) 2 a aa La distancia del centro de la hipérbola a cualquiera de los focos es c, y la relación entre a, b y c es: c2 = a2 + b2 Hipérbola de Fermat La gráfica de una función del tipo y = xn, donde n es un número entero negativo, se llama hipérbola de Fermat. Hiperbólico, coseno La función coseno hiperbólico del número x se denota por: cosh x y está definida por: cosh x = ex + e−x 2 Hiperbólico, seno La función seno hiperbólico del número x se denota por: sinh x y está definida por: sinh x = ex − e−x 2 Hiperbólica, tangente La función tangente hiperbólica del número x se denota por: tanh x y está definida por: tanh x = ex − e−x ex + e−x www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Hipotenusa–Hora H 75 Hipotenusa En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. α Hi po ten us a C at et o op ue st o Cateto adyacente La hipotenusa siempre es el lado más grande de un triángulo rectángulo. Hipótesis Suposición hecha para resolver un problema. Histograma Representación gráfica de la distribución de datos de una muestra o población. Para dibujar un histograma se acostum- bra primero generar una tabla con los datos. Por ejemplo, supongamos que las fraccio- nes de la población en los siguien- tes rangos de edades de un pueblo se reparten como sigue: Rango Cantidad Fracción 0 – 10 250 0.033 10 – 20 1 200 0.160 20 – 30 2 500 0.333 30 – 40 1 225 0.163 40 – 50 850 0.113 50 – 60 750 0.100 60 – 70 425 0.057 70 – 80 250 0.033 80 – 90 37 0.005 90 – 100 13 0.002 Y a partir de estos datos generamos el histograma dibujando una barra para cada intervalo con una altura propor- cional a su valor de frecuencia en la tabla. 0 20 40 60 80 100 0 1,000 2,000 Edad Hora Una hora equivale a 60 minutos y es igual a 1/24 de la duración del dı́a. Es decir, un dı́a tiene 24 horas. www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 76 H Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Inconmensurable–Integración I 79 se denotan usando las últimas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc., mientras que las constantes se denotan con las primeras: a, b, c, etc. Inconmensurable Decimos que dos números a, b son inconmensurables si no son con- mensurables. Vea la definición de conmensurable. Independiente, variable La variable indepen- diente de una función es el valor que nosotros le damos para calcular la varia- ble dependiente. Generalmente la varia- ble independiente de una función se denota con la literal x. Por ejemplo, en la función y = x2, la variable independiente es x, pues nosotros asignamos el valor que esta variable tomará. Inducción matemática Método de de- mostración en el cual se prueba una conje- tura que depende de un número entero k. La demostración se elabora, primero para k = 1, luego se supone que la conjetura es verdadera para k = n y se prueba que para k = n + 1 también se cumple. Ası́ se demuestra que la conjetura se cumple para todos los números naturales. Vea la definición de Principio de inducción matemática. Inecuación Sinónimo de desigualdad. Inercia Tendencia de un cuerpo de mantener su estado de movimiento. Inferencia Proceso que permite alcanzar una conclusión a partir de premisas. Una in- ferencia puede ser deductiva o inductiva. infinitesimal Un infinitesimal o un in- finitésimo, es una cantidad infinitamente pequeña. Puedes construir un infinitesimal con- siderando el intervalo (0, 1) en el eje real. Divide este intervalo en n partes iguales. Cuando el valor de n es finito, cada uno de los subintervalos tiene una longitud finita. Pero si dividimos el intervalo en un número infinito de particiones, cada intervalo tiene una longitud infinitamente pequeña, es decir, infinitesimal. infinito Expresión que indica que algo no tiene fin. Se denota con el sı́mbolo ∞. También puede indicar que no tiene fron- teras. Ínfimo La cantidad más grande que es menor o igual que las cantidades de otro conjunto. Lo opuesto de ı́nfimo es supremo. Inscrito, ángulo Ángulo que tiene su vértice sobre una circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma. α Inscrito, polı́gono Se dice que un polı́gono es inscrito cuando todos sus lados son cuer- das de una misma circunferencia. Hexágono inscrito Integración La integración de una función f (x) consiste en encontrar una función diferenciable y = F(x) que cumpla: F′(x) = f (x) para toda x en el dominio de f . www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 80 I Integración numérica–Interpolación Integración numérica Procedimiento de inte- gración en los que se aproxima el valor de una integral definida por medio de métodos iterativos. Vea la definición de Iteración. Integral En Cálculo, una integral es el resultado de la integración de una función. El sı́mbolo de integral es: ∫ , y la ex- presión: ∫ f (x)dx = F(x) + C se lee: La integral de la función f (x) respecto de x es igual a la función F(x) más una constante. La función f (x) se llama integrando, dx indica que se va a integrar la función respecto de la variable x, F(x) + C es el resultado de la integración. Observa que la integral de una función es una familia de funciones. Algunos autores llaman a la integral como antiderivada, o primitiva de la función y = f (x). Vea la definición de antiderivada. Integral definida La integral definida de una función y = f (x) es un escalar, definido por: b∫ a f (x)dx = F(b)− F(a) donde, a y b son los lı́mites de inte- gración, y y = F(x) es una primitiva de y = f (x). Geométricamente, la integral definida, cuando y = f (x) es positiva en el inter- valo (a, b) representa el área debajo de la gráfica de y = f (x) y sobre el eje x desde x = a hasta x = b. Formalmente, la integral definida se define por el lı́mite: b∫ a f (x)dx = lim n→∞ n ∑ i=0 f (xi) ( b− a n ) Interés Renta que se cobra por el uso del dinero ajeno. El interés pagado se denota con la literal I. Interés compuesto Interés que se calcula cada intervalo de tiempo convenido (mensual, trimestral, semestreal, anual, etc.) donde el interés que se generó en el último inter- valo de tiempo formará parte del capital para el cálculo del interés del siguiente mes. Si n es el número de intervalos de tiempo que se usó el dinero, i es la tasa de in- terés y C es el capital inicial, el interés I se calcula con la fórmula: I = M− C = C [(1 + i)n − 1] Y el monto M a pagar es: M = C (1 + i)n Interés simple Interés que se calcula a partir del capital inicial. Si n es el número de intervalos de tiempo que se usó el dinero, i es la tasa de in- terés y C es el capital inicial, el interés I se calcula con la fórmula: I = niC Y el monto M a pagar en ese mismo perido es: M = C (1 + ni) Interpolación Estimar el valor de una función f entre dos valores P(xp, yp) y Q(xq, yq) que se conocen. La fórmula para interpolar un valor yr, dada su abscisa xr es: yr = ( yp − yq xp − xq ) (xr − xp) + yp Geométricamente, la interpolación consiste en una aproximación lineal a la www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Intersección–Intervalo cerrado I 81 función f . En realidad estamos encontrando el punto sobre la recta que pasa por los puntos dados P(xp, yp) y Q(xq, yq) y evaluamos ésta en x = xr para calcular yr. Si los valores están suficientemente cerca, y la gráfica de la función es continua y suave, es decir, si no cambia de dirección bruscamente, la estimación generalmente será bastante buena. Mientras los valores de xp y xq estén más cercanos, la estimación será mejor. La siguiente figura muestra la inter- pretación geométrica de la interpolación: x y y = f (x) xqxp yq yp xr yr Intersección (Geometrı́a) Conjunto de puntos donde se intersectan dos cuerpos o fig- uras geométricas. Por ejemplo, dos rec- tas no paralelas se intersectan en un solo punto. Dos planos no paralelos se cortan en una recta. (Teorı́a de conjuntos) La intersección de dos conjuntos es el conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen a los conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, considerando los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 9} B = {2, 3, 5, 7} Su intersección es: A∩B = {2, 3, 5}. Intervalo Subconjunto de los números reales con extremos en a y b. Es decir, un inter- valo es el conjunto que satisface: {x | a < x < b} donde a < b. Geométricamente, el intervalo se puede representar en una recta numérica. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el intervalo (2, 4) con extremos en 2 y 4: x −1 0 1 2 3 4 5 (2, 4) El intervalo es abierto si los valores a y b no están incluidos y se denota como: (a, b). Si tanto a como b están incluidos en el intervalo, éste es cerrado y se denota por: [a, b]. Cuando se incluye solamente a, el inter- valo se denota por: [a, b), y cuando b está incluido y a no lo está, la forma de escribirlo es: (a, b]. Geométricamente el intervalo abierto se denota con cı́rculos vacı́os (sin relleno) en sus extremos. Cuando un extremo se incluye en el intervalo el cı́rculo que le representa se rellena. En la siguiente figura se muestra un inter- valo cerrado, es decir, que incluye a am- bos extremos: x −1 0 1 2 3 4 5 [2, 4] Intervalo abierto Intervalo que no incluye sus valores extremos. Si los extremos del intervalo abierto son los puntos a y b, se denota por (a, b). Geométricamente, el intervalo abierto (a, b) se indica como muestra la siguiente figura: x a bO Intervalo cerrado Intervalo que sı́ incluye sus valores extremos. Si los extremos del www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material 84 I Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x J Efrain Soto Apolinar Jerarquı́a de las operaciones Vea la definición de Prioridad de las operaciones 86 J Li br o de di st rib uc ió n gr at ui ta www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material ap re nd em at em at ic as .o rg .m x L Efrain Soto Apolinar Lado En un polı́gono, un lado es un segmento de recta cuyos extremos están en dos vértices consecutivos del polı́gono. La do Los lados del polı́gono delimitan su área. Lámina Objeto plano de grosor infinitamente pequeño, que puede considerarse para la resolución de un problema de Cálculo. Generalmente se consideran sus dimen- siones de área, pero el grosor de la lámina se considera como un diferencial. Lámina Latitud Ángulo con vértices en un punto sobre la superficie de la tierra, el centro de ésta y el ecuador a lo largo del meridiano de ese mismo punto angular. La latitud se abrevia como lat. Cuando el punto sobre la superficie de la tierra se encuentra al norte del ecuador, el ángulo se considera positivo; cuando se encuentra al sur se considera negativo. Sobre el ecuador la latitud vale cero. lat Legua Unidad de distancia usada en el sistema Español, equivalente a 4 827 metros. Lema Proposición que requiere demostración y permite demostrar un teorema. Lenguaje algebraico Lenguaje que se utiliza para describir las relaciones entre las cantidades expresadas en una expresión algebraica. Por ejemplo, semi significa mitad, y cociente indica el resultado de una di- visión. Ley de cosenos Para todo triángulo que se en- cuentra en el plano, se cumple: C2 = A2 + B2 − 2AB cos α donde A, B y C son las longitudes de los lados del triángulo, y α es la medida del ángulo formado por los lados A y B. 90 L Ley de grandes números–Leyes de Newton α B A C La ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras, pues cuando α = 90◦, tenemos: C2 = A2 + B2, el caso particular que corresponde al teorema de Pitágoras. Ley de grandes números Teorema de probabilidad que indica que si la probabi- lidad de ocurrencia de un evento E es p, si N(E) es el número de veces que ocurre el evento E, y se hicieron n experi- mentos, entonces, al aumentar el número de experimentos (n tiende a infinito), el cociente N(E)/n tiende a p. Por ejemplo, si tomamos una moneda y hacemos algunos experimentos que consista en lanzarla para observar el resultado (águila o sol), esperamos que la mitad caiga águila y la otra mitad sol. Sea N(A) el número de veces que cayó águila y n el número de veces que lan- zamos la moneda. Mientras más crezca n, es decir, mientras más veces lancemos la moneda, el valor de N(A)/n se acercará cada vez más a 0.5, que es la probabilidad de que caiga águila. Ley de multiplicación de probabilidades La probabilidad de que ocurran los dos even- tos A y B a la vez, es: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B) Si A y B son independientes, P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Vea la definición de Eventos independien- tes. Ley de suma de probabilidades La probabili- dad de que ocurra el evento A o el evento B, es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) Para el caso en que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, se tiene: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Vea la definición de Eventos mutuamente excluyentes. Ley de senos Para todo triángulo que se en- cuentra en el plano, se cumple: sin α A = sin β B = sin γ C donde A es el lado opuesto al ángulo α, B es el lado opuesto al ángulo β y C es el lado opuesto al ángulo γ. γ α β B A C Leyes de Kepler Las leyes de Kepler se re- fieren a las leyes del movimiento de los planetas previa a la ley de gravitación universal propuesta por Isaac Newton. Las tres leyes de Kepler son: 1. Los planetas recorren órbitas elı́pticas, con el sol en uno de sus focos. 2. El segmento recto que une el sol con el planeta (radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. Para cualquier planeta, el cuadrado del tiempo que tarda en recorrer una órbita alrededor del sol es propor- cional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. Leyes de los exponentes Vea la definición Reglas de los exponentes. Leyes de Newton Las tres leyes del movimiento propuestas por Sir. Isaac Newton son las que han permitido un avance en las ciencias y en la tecnologı́a: www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material Libra–Logaritmo L 91 1. (Ley de inercia) Todo cuerpo mantiene su estado de movimiento rectilı́neo uniforme, a menos que una fuerza externa lo obligue a cam- biar dicho estado. 2. (Ley de fuerza) El cambio en la canti- dad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre el cuerpo, y ocurre sobre la lı́nea recta sobre la cual se aplica la fuerza. 3. (Ley de acción y reacción) Para toda fuerza ejercida sobre un cuerpo, existe otra fuerza contraria de misma magnitud y dirección, pero con sen- tido opuesto. Libra Unidad de peso equivalente a 0.454 kg, o bien a 16 onzas. Lı́mite (Álgebra) En un intervalo, los lı́mites son los valores extremos del mismo. Por ejemplo, en el intervalo [a, b], los lı́mites son los valores a (lı́mite inferior) y b (lı́mite superior). (Análisis) El lı́mite de la función f cuando la variable independiente tiende a un valor constante k se denota por: lim x→k f (x) = M y M representa el valor al cual se acerca conforme los valores de x se aproximan más al valor k, en caso de que el lı́mite exista. Lı́nea Objeto geométrico que tiene solamente una dimensión: longitud. La lı́nea no tiene espesor ni anchura. la siguiente figura es una lı́nea: Usualmente en geometrı́a cuando deci- mos lı́nea nos referimos a cualquier tipo de lı́nea, aunque muchos entienden sola- mente una lı́nea recta. La lı́nea recta es un caso particular muy especial de lı́nea. Literal Letra que representa una cantidad en álgebra. Las literales también pueden ser letras del alfabeto griego. Por ejemplo, en la fórmula: A = b× h 2 la literal A representa el área de un triángulo, la literal b representa la base de ese triángulo y la literal h representa la altura del mismo. h b Litro Unidad de volumen equivalente a 1 dm3. Frecuentemente se utilizan los siguientes múltiplos y submúltiplos del litro: Nombre Sı́mbolo Equivalencia Mirialitro ML 10 000 L Kilolitro KL 1 000 L Hectolitro HL 100 L Decalitro daL 10 L Decilitro dL 0.1 L Centilitro cL 0.01 L Mililitro mL 0.001 L Un metro cúbico equivale a 1 000 litros, es decir, (1 m)3 = (10 dm)3 1 m3 = 1 000 dm3 porque un metro equivale a 10 decı́me- tros. Logaritmo Exponente al cual debe elevarse la base para obtener como resultado un número dado. Si y = ax, donde a > 0 y a , 1, entonces, se define: loga y = x www.aprendematematicas.org.mx Estrictamente prohibido el uso comercial de este material