Ecuaciones cuadraticas 2 - Matematicas1 - Apuntes - Bloque9, Apuntes de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de México

Matemáticas

Descripción: 9.1.- Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas 9.1.1. Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2 bx c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable = ax2 bx c, como casos particulares de la anterior 9.1.2.-Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar diversas situaciones 9.1.3.- Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas 9.1.4.- Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones 9.1.5.- Aprecia las representaciones graficas de funciones cuadráticas como instrumento de análisis visual de su Comportamiento 9.2.- Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos 9.2.1.-Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a(x – h)2 k para trazar su gráfica 9.2.2.- Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones-x de ésta con las raíces de ax2 bx c = 0 9.2.3.- Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo 9.3.- Aprecia la utilidad de la formula cuadrática y su discriminante para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de coeficientes, y conocer la naturaleza de las raíces 9.3.1.- Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general 9.3.2.- Interpreta la formula cuadrática 9.3.3.- Interpreta naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático Show more
Mostrar las páginas  1  -  2  de  16
La previsualización de este documento termina aquí, por favor o para leer el documento completo o descargarlo.
Información del documento
Uploaded by: temprano
visitas: 1000+
Descargados : 4
Universidad: Universidad Nacional Autónoma de México
Dirección: Matemáticas
Fecha de la carga: 20/06/2012
Embed this document:

196

Bloque IX Resuelve

ecuaciones

cuadráticas II

197

Temario

9.1.- Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas

9.1.1. Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2+ bx + c, como la forma de la función cuadrática, y las

ecuaciones en una variable = ax2 + bx + c, como casos particulares de la anterior

9.1.2.-Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar diversas situaciones

9.1.3.- Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas

9.1.4.- Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar

situaciones

9.1.5.- Aprecia las representaciones graficas de funciones cuadráticas como instrumento de análisis visual de su

Comportamiento

9.2.- Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos

9.2.1.-Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a(x h)2 + k para trazar su gráfica

9.2.2.- Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones-x

de ésta con las raíces de ax2+ bx + c = 0

9.2.3.- Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

9.3.- Aprecia la utilidad de la formula cuadrática y su discriminante para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de coeficientes, y conocer la naturaleza de las raíces

9.3.1.- Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general

9.3.2.- Interpreta la formula cuadrática

9.3.3.- Interpreta naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático

TEMARIO

10.1. IDENTIFICA LA RELACIÓN ENTRE FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS

10.1.1. Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2 + bx + c, como la forma de la función

cuadrática, y las ecuaciones en una variable d = ax2+ bx + c, como casos particulares de la

anterior

10.1.2. Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar

diversas situaciones

10.1.3. Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas

10.1.4. Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y

solucionar situaciones

10.1.5. Aprecia las representaciones gráficas de funciones cuadráticas como instrumento de análisis

visual de su comportamiento

10.2. RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS Y GRÁFICOS

10.2.1. Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a (x – h)2 + k para trazar su gráfica

10.2.2. Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las

intersecciones-x de ésta con las raíces de ax2 + bx + c = 0

10.2.3. Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera

reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

10.3. APRECIA LA UTILIDAD DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA Y SU DISCRIMINANTE, PARA

RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS CON TODO TIPO DE

COEFICIENTES Y CONOCER LA NATURALEZA DE LAS RAÍCES

10.3.1. Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula

general

10.3.2. Interpreta la fórmula cuadrática

10.3.3. Interpreta la naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático

198

1. ¿Qué es una ecuación lineal? ________________________________________

2. ¿Qué significa resolver una ecuación? ________________________________

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? _________________________________

__________________________________________________________________

4. Menciona algún método para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

__________________________________________________________________

5. ¿Qué es una ecuación de cuadrática? ________________________________

__________________________________________________________________

6. Escribe la fórmula general: _________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada uno de los espacios en

blanco:

Evaluación diagnóstica

199

Relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas

Una función cuadrática es de la forma y = ax² + bx + c, donde a, b, c son números reales cualesquiera y “x” e “y” dos variables que se representan en el plano cartesiano.

Las gráficas de todas las funciones cuadráticas tienen forma de parábola, (una curva con dos ramas). Ejemplo y= f(x) = 3x2.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que se plantea con el objetivo de calcular los valores de las variables que intervienen.

Si en la función cuadrática:

f(x)= ax² + bx +c se reemplaza y f(x)= 0, se obtiene una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx +c = 0; con a ≠ 0; c є R

Ejemplo . f(x)= x² - 30x + 250 función cuadrática

x² - 30x + 250 = 0 es una ecuación cuadrática

Una función polinómica de segundo grado tiene la siguiente expresión: y= ax2 + bx +c., donde a ≠ 0. Y su dominio son todos los números reales.

La función cuadrática más sencilla es y= x2, y su gráfica se presenta a continuación.

x F(x)=X2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

 Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas.

 Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y

gráficos.

 Aprecia la utilidad de la fórmula cuadrática y su discriminante,

para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de

coeficientes y conocer la naturaleza de las raíces.

Aprendizajes a lograr

        









200

El gráfico obtenido se denomina parábola, al igual que el gráfico de cualquier función

cuadrática. Observemos que el valor menor que toma y es 0, cuando x=0 y que y no

puede tomar valores negativos. El punto (0,0) se le denomina vértice de la parábola.

Distintas formas de representar una función cuadrática

La expresión f(x)= ax2 + bx +c, recibe el nombre de forma polinómica de la función.

Pero existen otras dos maneras de expresar una función cuadrática y que nos

proporcionan distintos datos respecto al gráfico.

 Expresión polinómica f(x)= ax2 + bx +c

 Expresión canónica f(x) = a(x-h)2 + k

 Expresión factorizada f(x) = a ( x-r1) (x- r2 )

Venta de revistas

A partir del registro de la venta de una revista, el editor observa que

cuando el precio es de $20.00 cada una, se venden 10,000

ejemplares, mientras que, por cada peso de incremento en el precio,

las ventas bajan en 400 ejemplares.

a) Con base en la información anterior, completa la tabla siguiente:

Investiga la información de las diferentes expresiones algebraicas

sobre los parámetros de cada expresión en:

http://www.scribd.com/doc/2024192/Funciones

Con la información recopilada realiza un ensayo y entrégalo a tu

asesor en la siguiente clase.

.

Tarea de investigación no. 1

Ejercicio no. 1

Reunidos en equipos de cinco integrantes, resuelve las siguientes actividades. Al finalizar, compara tus resultados con los del resto de los equipos.

Grupo

201

Precio de la revista Número de

ejemplares vendidos

$20.00 10,000

$21.00

9000

$29.00

$35.00

b) ¿Cómo puede calcularse la cantidad de ejemplares vendidos cuando el precio es “p”?

Explica verbalmente.

c) Expresa algebraicamente la explicación dada en el inciso anterior.

d) El ingreso total por la venta de las revistas se puede determinar multiplicando el precio

de la revista por la cantidad de ejemplares vendidos, por ejemplo, cuando el precio de

la revista es de $20.00, el ingreso es de $200,000, ya que a ese precio se venden

10,000 ejemplares. ¿Cuál es el precio que genera ingresos por $ 188,100?

e) Si costo de producción de cada revista es de $13.00. ¿Qué precio deberá fijar el editor

a cada ejemplar con el propósito de que la utilidad sea de $102,000?

f) ¿Es posible obtener una utilidad mayor? ¿Por qué?

202

Problemas y soluciones en la antigüedad

Desde tiempos antiguos se utilizan las ecuaciones como

herramienta para dar respuesta a situaciones concretas. En

los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han

descifrado tales problemas y la forma en como ellos los

resolvían. Algunas de las antiguas tablillas contienen

problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las

soluciones no utilizan nociones de geometría. Un antiguo

pergamino de los babilonios contiene la solución de la

ecuación 8702  xx .

"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a

870, para obtener 4

481,3 . Ahora, tómese la raíz cuadrada de

4

481,3 para obtener

2

59 .

Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado

obtenido, 30, es una solución de la ecuación".

a) Usando la notación moderna, escribe la ecuación y el método que describe el

pergamino

b) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas

c) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cxx 2 ?

203

El problema analizado anteriormente, muestra el carácter retórico del álgebra antigua, es

decir no empleaba la notación simbólica a la que ahora estamos acostumbrados. El

siguiente era un problema típico: “Un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades”,

por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y raíz significa el lado del cuadrado. El

problema puede también enunciarse como: ¿Cuál es el cuadrado que combinado con diez

de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolverlo era tomar la mitad de

las raíces ya mencionadas, por lo tanto, 5, que multiplicado consigo mismo da 25, una

cantidad que se agrega a 39, lo cual da 64. Se toma entonces la raíz cuadrada de 64, que

da 8, luego se resta de esto la mitad de de las raíces, 5, lo que deja 3. El número 3 es así

la raíz del cuadrado y 9 el área de ese cuadrado, como podrás ver si regresamos a la

cuestión inicial, el cuadrado, 9, y 10 de sus raíces 10(3) son iguales a 39 unidades.

d) Usa la notación moderna para escribir la ecuación y el método de resolución descrito.

e) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas

f) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cbxx 2 ?

204

Ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos

Efecto del parámetro a en la gráfica

(x-3)2 3(x-3)2 6(x-3)2

        

        



y = 3(x-3)(x-3)

        



(x-3)2 +1 (x-3)2 -1 (x-3)2 -2

        



        









x

y

        









x

y

205

(x+3)2 (x+1)2 (x)2

        









x

y

        









x

y

        









x

y

Ejercicio no. 2

Con tu equipo, analiza las gráficas anteriores y deduce la variación de los diferentes parámetros de la ecuación cuadrática. Anota tus deducciones en el siguiente espacio y coméntalo con tu asesor.

reducción.

.

Grupo

206

G rá

fi c

a

        









x

y

        









x

y

        









x

y

E c

u a

c ió

n

c u

a d

rá ti

c a

Individual

Deduce la ecuación cuadrática de las siguientes gráficas y

anótalas en el espacio correspondiente.

Ejercicio no. 3

207

G rá

fi c

a

        









x

y

        









x

y

        









x

y

E c u

a c ió

n

(x+1)2 -1 4 (x+1)2 -1 (x- 2)2 +3

G rá

fi c

a

        









x

y

        









x

y

E c u

a c ió

n

(x- 2)2 +1 (x-1)2

Individual

Grafica las siguientes ecuaciones sin necesidad de tabular.

Ejercicio no. 4

208

Conversión de la forma general ax2 +bx+c a la forma a(x-h)2+k

Se siguen los pasos para completar trinomios cuadrados perfectos. Por ejemplo

X2-2x+3=0

X2-2x=-3

X2-2x+___= -3+__

X2-2x+1= -3+1

(x-1)2 = -2

(x-1)2 -2 = 0

Individual

A continuación se presentan cuatro gráficas distintas, Encierra con

un círculo la grafica que corresponde a la ecuación X2 - 3X - 10=0.

Ejercicio no. 5

209

Fórmula cuadrática y su discriminante

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita del

tipo ax2+bx + c = 0, es:

El procedimiento para llegar a esta fórmula se denomina completar el trinomio

Cuadrado perfecto”, es decir, un trinomio de la forma a2+2ab+b2 que se transforma en

un binomio al cuadrado: (a+b)2.

La expresión b2 – 4ac, es llamada discriminante. Es fundamental que observes que el

valor “a” se refiere al coeficiente del término cuadrático, “b” es el coeficiente del término

lineal y “c” es el término independiente.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas, sus representaciones gráficas y

el número de soluciones que tienen:

Función Grafica Soluciones

y = x2 – 2x - 3

Dos soluciones ya que

la grafica corta dos veces al

eje X.

y = X2 + 4x + 4

una solución ya que la

función toca una sola vez al

eje X.

210

y = X2 +-2x + 4

Ninguna solución debido a

que la figura no corta al eje

X.

Plantearemos el modelo matemático para el siguiente

ejercicio:

El largo de un terreno rectangular es el doble de su

ancho mas 10 m, siendo el área del terreno 208m2.

Paso No. 1.

- Dibujar el terreno - ¿Qué sabemos del terreno? - ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo? - ¿Cómo se representan las cantidades desconocidas? - ¿Cómo representaran el ancho y el largo? - ¿Cómo resulta la expresión que indique el área?

Paso No. 2. Plasmar los datos que se te dan.

- Ancho: X - Largo: 2X + 10 - Área: X (2x + 10), Es decir: 208= 2x2 + 10x

EJEMPLO

211

a) 2x2 + 10x-208 =0

b) 73+3x2-35=0

c) 3x -2x2+5=0

d) -5-2x2+3x =0

e) 2x2+3x+5=0

f) x(x+3)-2)=0

Resuelve las siguientes ecuaciones y encuentra las raíces.

Individual Ejercicio no. 6

Docsity no está optimizado para el navegador que estás usando. Usa Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ o Safari Descarga Google Chrome