Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, Ejercicios de Análisis Matemático

¡Descarga Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y más Ejercicios en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity! UNIVERSIDAD DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS II GRADO EN INGENIERÍA INDUSTRIAL Tema 3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior (Relación de problemas) Se dice que la ecuación an(t)y n) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = 0 (1) es homogénea, en tanto que an(t)y n) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = g(t) (2) en donde g(t) no es idénticamente nula, es no homogénea o completa. Al considerar las ecuaciones lineales (1) y (2) suponemos que los coeficientes ai(t), i = 0, 1, . . . , n, y g(t) son funciones continuas en un intervalo I y que an(t) 6= 0 para todo t del intervalo. Si se verifican estas hipótesis, existe una solución única de (2) que satisface las condiciones iniciales y(t0) = y0, y ′(t0) = y′0, . . . , y n−1)(t0) = y (n−1) 0 en donde t0 es un punto de I. El wronskiano de n funciones derivables, f1(t), f2(t), . . . , fn(t), es el determinante W [f1(t), . . . , fn(t)] = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f1(t) f2(t) · · · fn(t) f ′1(t) f ′ 2(t) · · · f ′n(t) ... ... . . . ... f n−1) 1 (t) f n−1) 2 (t) · · · fn−1)n (t) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Cuando W 6= 0 por lo menos en un punto de un intervalo, las funciones son linealmente independientes en el intervalo. Si las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, entonces W = 0 para todo t en el intervalo. A fin de resolver la ecuación homogénea (1) necesitamos soluciones linealmente inde- pendientes. Una condición necesaria y suficiente para que n soluciones y1, y2,. . . , yn sean linealmente independientes en I es que W [y1, . . . , yn] 6= 0 para todo t de I. Decimos que y1, . . . , yn forman un conjunto fundamental en I cuando y1, . . . , yn son soluciones li- nealmente independientes de (1) en el intervalo. Para n soluciones cualesquiera y1, . . . , yn, el principio de superposición dice que la combinación lineal C1y1+ · · ·+Cnyn, también es una solución de (1). Cuando y1, . . . , yn forman un conjunto fundamental, la función y = C1y1 + · · ·+ Cnyn se llama solución general de (1). La solución general de (2) es y = yh + yp, en donde yh es la función complementaria o solución general de (1) y en donde yp es cualquier solución particular de (2). Para resolver (1) en el caso ay′′ + by′ + cy = 0, siendo a, b y c constantes, primero resolveremos la ecuación auxiliar am2 + bm + c = 0. Hay tres formas de la solución general que dependen de las tres maneras posibles en que pueden aparecer las ráıces de la ecuación auxiliar. Ráıces Solución general 1.m1 y m2: reales y distintas y = C1e m1t + C2e m2t 2.m1 y m2: reales pero m1 = m2 y = C1e m1t + C2te m1t 3.m1 y m2: complejas m1 = α + iβ, m2 = α− iβ y = eαt(C1 cos βt + C2 sen βt) A fin de resolver una ecuación diferencial homogénea, se aplica el método de los coefi- cientes indeterminados, variación de los parámetros o bien el de reducción de orden para obtener una solución particular yp. El primero de estos procedimientos está limitado a las ecuaciones diferenciales ay′′ + by′ + cy = g(t) en donde a, b y c son cons- tantes y g(t) es una constante, un polinomio, una función exponencial eαt, las funciones trigonométricas cos βt, sen βt, o bien sumas finitas y productos de estas funciones. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES D.G. Zill Grupo Editorial Iberoamérica (1.991) pp. 162 y 163 1. Indicar si la ecuación diferencial dada es o no lineal. En caso afirmativo, decir si es homogénea o completa, con coeficientes constantes o con coeficientes variables. (a) 6y′′ + y′ = ty (b) y′′ + t2y′ + 5ty = et sen t (c) yy′′ − ty′ = e2t (d) 3 d2y dt2 + dy dt = 2y (e) θ2 d2r dθ2 = 5θ dr dθ + 2r − 1− cos θ (f) d2θ dx2 = ctg θ (g) y′′ + y = ctg t (h) y′′ − y′ − 3√y = e−t2 2. ¿ Cuáles de las funciones 1, t, t2, t3 satisfacen la ecuación diferencial dada ? Entonces construir la solución general de la ecuación. (a) y′′ = 0 • y′′ − 3y′ + y = 0 • 3y′′ + 6y′ + 2y = 0 • y′′ + y′ + y = 0 • 2y′′ + 3y′ + 4y = 0 • y′′ + 2y′ + 3y = 0 • 4y′′ − y′ + y = 0 • y′′ − 6y′ + 9y = 0 • 4y′′ − 12y′ + 9y = 0 • y4) + 18y′′ + 81y = 0 18. Considérese la ecuación diferencial ay′′+by′+cy = g(t), donde a, b y c son constantes. Escoger las funciones g(t) para las cuales sea aplicable el método de coeficientes indeterminados y aquéllas para las cuales sea aplicable el método de variación de parámetros. • g(t) = et ln t • g(t) = t3 cos t • g(t) = sen t et • g(t) = 2t−2et • g(t) = sen2 t • g(t) = e t sen t 19. ¿ Qué solución particular apropiada hay que proponer, para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales completas, mediante el método de los coeficientes indetermi- nados ? (a) y′′ + 3y = t3 − 1 (b) y′′ − y = t2et (c) y′′ + 2y′ + y = e−t (d) y′′ + 4y = t sen (2t) (e) y′′ − 2y′ + 5y = 2 cos2 t (f) y′′ − 3y′ + 2y = et + e2t 20. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales y problemas de valor inicial, calculando la solución particular mediante el método de los coeficientes indetermi- nados. (a) y′′ + 4y′ + 4y = teat (b) y′′ + y′ + y = 1 + t + t2, y(0) = 1, y′(0) = 0 (c) y′′ + 5y′ + 4y = t2e7t, y(0) = −1, y′(0) = 2 (d) y′′ − 2y′ + 5y = 2et cos2 t (e) y′′ + y′ − 6y = sen t + te2t (f) y′′ + y′ + 4y = t2 + (2t + 3)(1 + cos t) (g) y′′ + 2y′ = 1 + t2 + e−2t (h) y′′ + y = cos t cos (2t) 21. Resolver la ecuación diferencial y′′ − 5y′ + 6y = e2tt2. 22. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales, calculando la solución par- ticular mediante el método de variación de parámetros. (a) y′′ + y = sec t (b) 3y′′ + 4y′ + y = e−t sen t, y(0) = 1, y′(0) = 0 (c) y′′ + 4y′ + 4y = t5/2e−2t, y(0) = y′(0) = 0 (d) y′′ + 4y = sec 2t (e) y′′ + 4y = sec t tg t (f) y′′ − 2y′ + y = e t (1− t)2 23. Integrar la ecuación diferencial y′′ − 2y′ + y = e t t2 + 1 . 24. Integrar la ecuación diferencial 1 2 y′′ + 2y = tg (2t)− 1 2 et. 25. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y′′ − y = 1 et + 1 . 26. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales, calculando la solución par- ticular mediante el método de reducción de orden. (a) y′′ + y = ctg t (b) y′′ − y = sen t, y(π) = 0, y′(π) = 1 (c) y′′ − 4y′ + 4y = e 2t 1 + t 27. Integrar la siguiente ecuación diferencial y′′ − 3y′ + 2y = et sen t, calculando la solución particular de la ecuación diferencial completa mediante el método de reducción de orden. 28. Resolver la ecuación diferencial y′′ + y = sec t, utilizando el método de reducción de orden para hallar la solución particular. 29. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y′′ + y = t sen t. (E) 30. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y′′ − y′ − 2y = e t − e−t 2 . (E) 31. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y′′ − 3y′ + 2y = sen (e−t). (E)