Ejercicios resueltos análisis lineal transformada de Fourier, uned análisis, Ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia  - UNED
flordeverano
flordeverano20 de agosto de 2012

Ejercicios resueltos análisis lineal transformada de Fourier, uned análisis, Ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

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Ejercicios resueltos para el curso universitario de Análisis de la UNED (Universidad Nacional de Educación a Distancia) sobre el análisis lineal y la transformada de Fourier.
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Ejercicios Resueltos Análisis Lineal Transformada De Fourier - Ejercicios - Análisis.doc

Matemáticas

ANÁLISIS LINEAL TRANSFORMADA DE FOURIER Ejercicios Resueltos CONCEPTOS BÁSICOS La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:

dtetfF tiωω − ∞

∞−∫= )()( En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:

ωω π

ω deFtf ti∫ ∞

∞− = )(

2 1)(

La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen relacionar mediante la simbología:

)()( ωFtf ↔ En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos. PROBLEMAS RESUELTOS 1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por



  

<<−  

  +=

casos demás0 2

7cos1)( ππ π tttf

SOLUCIÓN

( ) dtedtetfF titti ωπ π

πωω − −

−∞

∞− ∫∫ +== 27cos1)()( Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:

32

22 22

32

22 22

449 2

7sen14 2

7cos1449

449 2

7sen14 2

7cos1449 )(

ωωπ

ππωπωπ

ωωπ

ππωπωπ ω

πω

πω

+−

 

  

 + 

  

 ++−

+ +−

 

  

 + 

  

 ++−

=

iie

iie F

i

i

2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:

it tf

+ =

4 5)(

SOLUCIÓN

En las tablas encontramos que ωia

tue at +

↔− 1)( . Por lo tanto estamos tratando de

encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en ω, sería la transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t) ↔ F(ω), entonces F(t) ↔ 2πf(–ω). En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y

la propiedad de linealidad: ωi

tue t +

↔− 4

5)(5 4 . Por lo tanto por la propiedad de

simetría podemos escribir )(52 4

5 )(4 ωπ ω −↔ +

−− ue it

. Veamos que u(–ω) es la

imagen especular de u(ω), y se puede expresar como u(–ω) = 1- u(ω). Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:

[ ])(110 4

5 4 ωπ ω ue it

−↔ +

3.) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y graficar el espectro de amplitud de la función f(t) = 6[u(t – 3) – u(t – 7)]. SOLUCIÓN La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la transformada de Fourier es GT(ω) = Tsinc(ωT/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aquí el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que equivale a 6g4(t – 5). Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t) ↔ F(ω), entonces )()( 00 ω

ω Fettf ti−↔− . De esa manera, en nuestro caso particular tenemos:

)()2(sinc24)2(4sinc6)(6)5(6)( 554 5

4 ωωωω ωωω FeeGetgtf iii ===↔−= −−−

Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un número imaginario puro tiene módulo igual a 1, según se deduce de la expresión de Euler. Tenemos así:

)2(sinc24)2(sinc24)2(sinc24)( 55 ωωωω ωω === −− ii eeF Y la gráfica será:

4.) Convolución. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la función de respuesta en frecuencia H(ω) = 1/(3 + iω). Para una cierta entrada x(t), se observa que la salida es y(t) = e-3tu(t) – e-4tu(t). Calcular la entrada. SOLUCIÓN La propiedad de convolución establece que:

)( )()()()()()()()(

)()()()( )()( )()(

caso nuestroen

ω ωωωωω

ωω ω ω

H YXYHXthtxty

GFtgtf Gtg Ftf

=⇒=↔∗=⇒

⇒↔∗⇒   

↔ ↔ ↓

Nuestra estrategia será, entonces, encontrar la transformada de la entrada X(ω), y luego antitransformarla para encontrar la función de entrada x(t). Para eso debemos conocer Y(ω) y H(ω). Esta última ya la tenemos; por lo tanto calcularemos la primera:

)( 4

1 3

1)()( 4

1)( ; 3

1)( 434 tabla

3 ω ωωωω

Y ii

tuetue i

tue i

tue tttt = +

− +

↔−⇒ +

↔ +

↔ −−− ↓

Si ahora dividimos este resultado por H(ω) para obtener X(ω), tendremos:

ωω ωω

ω ω

ω

ωω ω ωω

ii ii

i i

i

ii H YX

+ =

+ +−+

= + +

−=

+

+ −

+== 4

1 4

34 4 31

3 1

4 1

3 1

)( )()(

Luego, antitransformando según tabla, se obtiene: x(t) = e-4tu(t) Nótese que de no haber hecho este proceso nos habríamos visto en figurillas para determinar la entrada.

5.) Propiedades varias. (i) Sabiendo que 21 2)( ω+

=− teF , usar propiedades de la

Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes señales:

22 )1( 4)( ; )( t ttytetx t +

== −

(ii) La función g(t) está definida por

   <<− =

casos demás0 1

)( 2 1

2 1 t

tg

Calcular la Transformada de Fourier de )6sen(4 10

52)( ttgtx π+ 

  −+= .

SOLUCIÓN (i) Usamos la propiedad de diferenciación en frecuencia, que establece:

ω ω

d dFtitf )()( ↔−

Aplicando esto a nuestra función x(t) tendremos:

( ) ( ) )(

1 4)(

1 4

1 2

22222 ω

ω

ω

ω

ω ωω

Xitetx d dite tt =

+ −↔=⇒

+ −=

 

   +

↔− −−

Para determinar la transformación de y(t), usemos la propiedad de simetría. Observemos que, despejando de la ecuación anterior:

( ) ( ) )(2)(2

1 4)(

1 4

2222 tYieei

t ttyite t =−=−↔ +

=⇒ +

↔ −−−− ωω πωπ ω

ω

(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc(ω/2). Aplicaremos las propiedades de retardo, que expresa )()( 00 ω

ω Fettf ti−↔− , y de corrimiento, que

establece   

  ↔

a F

a atf ω1)( . Tenemos entonces:

( )ωω ωω 5sinc10 10

5 2

sinc)5( 505 ii etgetg −− ↔  

   −⇒

 

  ↔−

Usando ahora transformaciones de tablas para la función constante y para el seno, podemos afirmar:

( ) ( ) ( )[ ]πωδπωδπωωπδπ ω 6645sinc10)(4)6sen(4 10

52 50 −−+++↔+  

   −+ − iettg i

comentarios (28)
daniel_aale
Universidad Nacional de la Patagonia Austral
hace 2 días
Muchas gracias! es muy buen documento!
CrisQM
Universidad no se define
hace 5 días
gracias , me sirvio mucho
eroguez123
Universidad Autónoma Metropolitana - Azcapotzalco
hace 9 días
Me ayudo mucho, gracias
.25417
Universidad Tecnológica Nacional
hace un mes
muy bueno
felipe_carrera
Universidad de Santiago de Chile
hace un mes
excelente
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