Ejercicios Resueltos - Teorema De Stokes - Ejercicios - Análisis, Ejercicios de Analisis . Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED

Analisis

Descripción: Ejercicios Resueltos para el curso universitario de Análisis sobre el Teorema de Stokes - Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Universidad: Universidad Nacional de Educación a Distancia - UNED
Dirección: Matemáticas
Subject: Analisis
Fecha de la carga: 20/08/2012
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Luz.Acad_mica - Universidad de Jaén

Muy útil

07/07/16 18:38
cindi_paz - Universidad Tecnológica Nacional

graciasss

30/06/16 20:06
katitalatele - Universidad de La Frontera

bien

03/06/16 13:11
Daniel130194 - Universidad Mayor de San Simón

Muy bueno

31/05/16 05:28
Mariela.Montoya - Universidad de Vic

EXCELENTE

25/05/16 02:25
Ejercicios Resueltos Teorema De Stokes - Ejercicios - Análisis.doc

Matemáticas

TEOREMA DE STOKES Ejercicios Resueltos

ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:

∫∫∫∫∫ ⋅×∇=⋅=⋅ SSC dSFdSFdrF rot PROBLEMAS RESUELTOS 1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. SOLUCIÓN Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:

πθθ θ

20 , 0

sen3 cos3

≤≤  

 

= = =

z y x

Con esta parametrización tenemos: F(θ) = 9senθ i + 0j − 18cosθ k r´(θ) = −3senθ i + 3cosθ j + 0k r´(θ) = −27sen2θ

πθθ

θθθθθθθθ

π

πππ

27 2 2sen

2 2cos127sen27)()(

2

0 2

27

2

0

2

0

22

0

−=  

   −−=

=  

   −−=−=′⋅=⋅ ∫∫∫ ∫ dddC rFdrF

Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.

3 y

z

x C

S

3

9

kji kji

Frot 364

643

−+=

− ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂=

xzy zyx

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:

πθ θ θ

θ 20 30

, 9

sen cos

);( 2 ≤≤

≤≤

 

 

−= = =

r

rz ry rx

rr

El producto vectorial fundamental será:

kji kji

rr sen2 cos2 0cossen 2sencos 22 rrr

rr rr ++=

− −=× θθ

θθ θθθ

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva. Usando entonces esta parametrización, tenemos:

π

θθθθ

π

π

θ

27 2

3

)3sen12cos8()(rot rot

2

0

3

0

2

2

0

3

0

22

−=−

=−+=×⋅=⋅

∫ ∫∫∫∫∫

r

drdrrrdrd D

r S

rrFdSF

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.

2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (±1; ±1; ±1), orientado hacia afuera. SOLUCIÓN La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C. (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el exterior del cubo.) El teorema de Stokes nos asegura que:

∫∫∫ ⋅=⋅×∇ CS

drFdSF)( ,

lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea. Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:

dSFdrFdSF ⋅×∇=⋅=⋅×∇ ∫∫∫∫∫ )()( 'SCS

con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues: T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1 (1) y su producto vectorial fundamental es:

k kji

TTN ==×= 010 001yx

Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:

z

1 O y

x

1

1

kjikji

kji

F )()()()2( 22

2

(1) param. la por reemp.

xyxyxxzyxyzxyzx

yzxxyxyz zyx

−+−+=−+−+= ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

=×∇ ↓

Por lo tanto la integral que buscamos será:

∫ ∫∫∫∫∫∫∫ − − =−=⋅−+−=⋅×∇=⋅×∇ 1

1

1

1 '

2

''

0)())(( dxdyxydSxyxyxdS SSS

kkjiNFdSF

En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.

3) Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0. SOLUCIÓN

La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará. Prima facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la

circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.

kji kji

Frot 300

tg3)(tg

321

++=∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂= − zexx

zyx z

En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante. Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:

πθ θ θ

θ 20 10

, 4 sen cos

);( 2 ≤≤

≤≤

 

 

−= = =

r

rz ry rx

rr

Y hallando el producto vectorial fundamental:

kji

kji

rr sen 4

cos 4

0cossen 4

sencos 222

r r

r r

r

rr r

r r +

− +

− =

− −

−=× θθ

θθ

θθθ

Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:

x

y

z

1 2

2

πθθ π

θ 33)(rot rot 2

0

1

0∫ ∫∫∫∫∫ ==×⋅=⋅ rdrddrd D

r S

rrFdSF

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