Vectores - Apuntes - Álgebra - Matemáticas , Apuntes de Álgebra

¡Descarga Vectores - Apuntes - Álgebra - Matemáticas y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity! Página 1 de 19 VECTORES 1.Introducción El importante concepto de “vector”, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física en especial . Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. El término “vector” puede referirse a:  El concepto matemático de “vector” como un conjunto ordenado de números reales.  El concepto físico de “vector” , cualquier magnitud física donde es importante considerar la dirección y el sentido.  El concepto geométrico de “vector”, como un segmento que tiene dirección, sentido y longitud;  El Concepto informático de “vector” , esto puedes ser “vector de datos” conjunto de variables que corresponden al mismo tipo y que se accede a ella por indices, o bien “vector de interrupciones” el registro que apunta a la dirección en memoria del gestor de la interrupción.  El concepto epidemiológico de “vector”, un organismo biológico capaz de portar y transmitir un agente infeccioso;  El concepto genético de “vector”, un agente que porta un gen extraño o modificado. 2.Vectores  Definición 1: Podemos definir a un vector en forma analítica en el plano como un par ordenado de números reales .De la misma forma podemos definir un vector en el espacio como una terna ordenada de números reales. Y generalizando podemos definir un vector en Rn como una n-upla ordenada de números reales. Notación: Los vectores se representan con letras minúsculas, ej. u, v, w, a, b, etc. Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R2 y se llamarán "pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán a R4, así sucesivamente. Observación: A cada punto del plano le podemos hacer corresponder un vector y a cada vector un punto del plano(correspondencia uno a uno). Idem para Rn Página 2 de 19 Ejemplos: v= (2,3) en R2 w= ( 0,1,0) en R 3 u= ( 1,2,3,0,0,1,4,5,…….1,0) en Rn  Definición 2: Podemos definir un vector en forma geométrica en el plano como un segmento de recta orientado que tiene un origen o punto inicial P y un extremo o punto final Q. Notación:En este caso la notación varia con respecto a la anterior ,se denotan el origen y el extremo con letras mayúsculas y una flecha  PQ Q P  PQ R  RS S Se caracterizan por tener ciertas propiedades:  Longitud: Esta representada por un valor numérico positivo. También llamada módulo  Dirección: que es la recta a la que pertenece  Sentido: este puede ser positivo o negativo  Definición 3: Se denomina vectores colineales ,no solo que tengan la misma dirección sino que pertenezcan a la misma recta. Página 5 de 19 . 2.2Operaciones con Vectores 2.2.1. Suma de vectores  Definición 7:Dados dos vectores a y b nR es decir a=( a1 ,a2 ,….an) y b=(b1 , b2 , ….., bn ) llamamos a+b al vector de R n que resulta de sumar a y b componente a componente. Ejemplo: Sea en R2 dos vectores v= (1,2 ) y w=(0,-3) entonces v+w=(1+0,2+(-3) ) = ( 1,-1) Sea en R3 dos vectores a= ( 2,4,5) b= ( -1,-3,2) entonces a+ b= ( 2+(-1),4+(-3),5+2) =( 1, 1, 7 ) 2.2.1.1. Gráficamente Método del paralelogramo: Es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma. Sea Otra forma de hallar gráficamente la suma de vectores en el plano: Página 6 de 19 2.2.1.2. Método de la poligonal Esta otra forma es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera: 2.2.1.3 Propiedades de la suma de vectores en Rn. 2.2.1.3.1 Conmutativa.  ba; Rn :a + b = b + a  Demostración: Sea a=( a1 , a2 , a3 ,…….,an ) y b= (b1 , b 2, b3 …….,bn ) a+b=( a1 , a2 , a3 ,…….,an )+ (b1 , b 2, b3 …….,bn )=def de suma =( a1+b1 , a2+b2,a3+b3,…..,an+bn ) = como son n-uplas de reales cada componente es suma de reales y la suma de números reales es conmutativa. =( b1 +a1, b2 +a2, ,…, bn +an) =(b1 , b 2, b3 …bn )+ ( a1 , a2 , a3 ,…,an )=b+a Ejemplo: En R3 Sean a =(1,2,3) y b= ( 0,7,-5) a+b=(1,2,3) +( 0,7,-5)=(1+0.2+7,3+(-5))=(1,9,-3) (1) b+a=( 0,7,-5) + (1,2,3) = (0+1,7+2,-5+3)=(1,9,3) (2) Comparando (1)=(2) 2.2.1.3.2 Asociativa.  a, b y c nR (a + b) + c = a + (b + c)  Demostración: Sean a=( a1 , a2 , a3 ,….,an ) ; b= (b1 , b 2, b3 ...,bn ) y c= (c1 , c 2, c3 ….,cn ) Página 7 de 19 (a+b)+c=[( a1 , a2 , a3 ,….,an )+(b1 , b 2, b3 ...,bn )]+(c1 , c 2, c3 ….,cn )=def de suma =( a1+b1 , a2+b2,a3+b3,…..,an+bn )+(c1 , c 2, c3 ….,cn )=def de suma =( a1+b1+c1 , a2+b2 +c2,a3+b3+c3,…..,an+bn+cn )= como son n-uplas de reales cada componente es suma de reales y la suma de números reales es asociativa =( a1+(b1+c1) , a2+(b2 +c2),a3+(b3+c3),…..,an+(bn+cn) ) = =( a1 , a2 , a3 ,….,an )+ ( b1+c1 , b2 +c2,b3+c3,….., bn+cn )= =( a1 , a2 , a3 ,….,an )+ [ (b1 , b 2, b3 ...,bn ) + (c1 , c 2, c3 ….,cn )]= =a + (b +c) Ejemplo: En R2 a=( -1, 3) b= ( 3, -5) c= ( 2,4 ) (a+ b ) + c= [ (-1,3)+(3,-5)] + (2,4) = (2,-2)+(2,4) = (4,-2) (1) a+(b + c)= (-1,3)+[(3,-5) + (2,4)] = (-1,3)+(5,-1) = (4,-2) (2) 2.2.1.3.3 Elemento neutro o vector nulo . nn RaR  :0 a + 0 = 0 + a = a  Demostración: :)0,.....0,0,0( nR sea a=( a1 , a2 , a3 ,….,a n ) a+0=( a1 , a2 , a3 ,….,a n ) + (0,0,……0) defsuma  ( a1 +0, a2 +0, a3+0 ,….,a n+0 ) essumadereal  =( a1 , a2 , a3 ,….,a n ) (1) 0+a= ( 0+a1 , 0+a2 ,0+ a3 ,….,0+a n )= (0,0,..0) + ( a1 , a2 , ..,a n ) =( a1 , a2 , a3 ,….,a n ) (2) Comparando (1)=(2) Ejemplo: En R2 a = ( -1, 3) existe en R2 (0,0) tal que a+0=(-1,3)+(0,0) = (-1+0,3+0)=(0-1,0+3)=(0,0)+(-1,3) = (-1,3) (1) 0+a=(0,0 ) +(-1,3)= (0+(-1),0+3)=(-1,3) (2) Comparando (1)=(2) Página 10 de 19 dichos vectores. O bien se grafica el opuesto del segundo vector (igual dirección, igual módulo y sentido contrario al vector dado) y luego se suma con el primero Gráficos sobre suma ; resta y producto de escalar por vector Nota: Los vectores de la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en 2.2.3). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. Observación: Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. 2.2.4. Vectores unitarios y componentes de un vector  Definición 10:Se llama vector unitario , al cual denotamos “u” al vector cuyo módulo es igual a 1 Página 11 de 19 Ejemplos: En R2 son unitarios u1= (0,-1) ; u2=(-1,0) ;u3=( ) 2 3 ; 2 1 En R3 son unitarios u1= (0,-1,0) ; u2=(-1,0,0) ; u3=( ) 2 1 , 2 2 ; 2 1  Definición 11: Se llama vector básico de Rn al al que denominamos e i al vector un vector unitario cuyas componentes son todas nulas excepto la que se encuentra en el lugar i que es 1 En símbolos: ei= ( 0,0,0,……1,0,0,0) Ejemplos: En R2 Los vectores básicos son e1=(1,0) y e2=(0,1) eje y 1 eje x 1 En R3 Los vectores básicos son e1= ( 1,0,0 ) ; e2=(0,1,0) y e3=(0,0,1) eje z 1 eje y 1 1 eje x Página 12 de 19 En Rn Los vectores básicos son : e1= ( 1,0,0,…..0 ) ; e2=(0,1,0,…….,0) ; e3=(0,0,1,………,0) e i= ( 0,0,0,……1,0,0,0) ;…………..; en= ( 0,0,0,……,0,0,1) Nota: En Rn hay n vectores básicos Cualquier vector v nR puede ser considerado como resultado de la suma de n vectores vectores básicos En símbolos: Sea a= ( a1,a2,a3,…….,an) este puede expresarse como : a= ( a1,a2,a3,…….,an)= a1e1+a2e2+a3e3+…………+ anen a= ( a1,a2,a3,…….,an)= a1(1,0,0,0,..0)+a2(0,1,0,…0)+a3(0,0,1,0,….0)+…+ an(0,0,0,…1) Sea el vector (1,7,-4) este puede expresarse como suma de los tres vectores básicos de R3 (1,7,-4)= 1 e1+7e2+(-4) e3= 1( 1,0,0)+7(0,1,0)+ (-4) ( 1,0,0) 2.2.5 Angulo Director  Definición 12: El ángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es el ángulo θ medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujas del reloj. En el plano: Si a= ( a1, a2) entonces 1 2 a a tg  01  a Entonces 1 2 a a arctg Si a1=0 y a2>0 entonces 2   Página 15 de 19 Ejemplo: Dados los vectores en R2 a=(1,2) y b( -1,3) hallamos el ángulo entre ambos 1.(-1)+2.3=-1+6=5 |a|= 521 22  |b|= 22 3)1(  = 10 5= cos105 entonces 5=5 cos2 luego cos 2 1   2 2 arccos entonces 4 3  o bien 135º 2.2.8.¿Como se determina el valor del ángulo entre dos vectores? El ángulo entre dos vectores no nulos , el ángulo que ellos determinan es el ángulo  donde  0 al aplicar la “Teorema del coseno”4 obtenemos |a-b|2=|a|2+|b|2 -2|a||b| cos  (1) Siendo a=(a1,a2) y b=(b1,b2) a c=a-b  b |a-b|2= (a1-a2) 2+( b1-b2) 2 por 2.1.1 |a-b|2= a1 2 + a2 2+b1 2+b2 2 - 2 (a1a2+ b1b2) |a-b|2= |a|2+|b|2 - 2 (a1a2 + b1b2) comparando con (1) (a1a2 + b1b2)= |a| |b| cos  despejando cos  = ba )bb a(a 2121  o bien Siendo (a1a2 + b1b2)= a. b reemplazamos a. b =|a| |b| cos  4 Teorema del coseno :En todo triangulo, el cuadrado de uno cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los módulos de los otros dos lados menos el doble producto de los módulos de los mismos por el coseno del ángulo comprendido. Página 16 de 19 2.2.9 Combinación Lineal.  Definición 15: Sean p vectores en Rn dados por a1 ,a2 ,a3 ,….. ,ap Decimos que el vector w nR es combinación lineal de de los vectores ai 1 pi  si y solo si existen escalares (reales ) i tal que podemos expresar a w como la suma de p sumandos formados por los productos de ii a En símbolos: ppi p i i aaaaw     ........2211 1 Nota: A la combinación lineal la abreviaremos C.L. Ejemplos: 1º Sean los vectores a=(2, 4) y b= (1, 2) entonces (3, 6) es C.L. de los vectores a y b ya que existen reales 2 y -1 tal que : (3,6) = 2(2,4) + (-1) (1,2) 2º (2, - 2) es C.L.de los vectores a y b tal que :      224 212 21 21   Despejando en la primera ecuación 2 2 2 1     y reemplazando en la segunda 224 2 2 2 2     entonces 2224 22   simplificando 4=-2 absurdo En este caso no existen escalares tal que el vector (2,-2) pueda expresarse como C.L.de los vectores a y b 3º Sean los vectores a=(2, 0) y b= (1, 2) Probamos si el vector (2,-2) es C.L.de los vectores a y b 1 (2, 0) + 2 (1, 2)=(2,-2) por lo tanto:      220 212 21 21   Página 17 de 19 2 3 1 12   Aquí si podemos expresarlo como C.L  Definición 16: Llamamos C.L. trivial a aquella C.L. donde los escalares son todos nulos. Ejemplos: En R2 sean los vectores a=(2, 0) y b= (1, 2) 0(2,0) +0(1,2)=(0,0) C.L. trivial En R2 sean los vectores (1,0,0) ; (0,1,0) 0(1,0,0)+0(0,1,0)=(0,0,0) 2.3.Dependencia e Independencia Lineal 2.3.1.Dependencia Lineal.  Definición 17: Dado un conjunto de vectores {a1 , a2 , a3, ……an} decimos que los vectores ai son Linealmente Dependientes si y solo si existen escalares n ,...,,, 321 “no todos nulos simultáneamente” tal que : 0...2211  nn aaa  Ejemplos: 1º Sea el conjunto de vectores de R2 dado por los { ( 1, 0 ) ; ( 0 , 1 ); ( 1 , -2 )} dicho conjunto es Linealmente Dependiente pues; Existen 1 = 1 y 2 = -2 y 3 = -1 tal que puedo decir que: 1 ( 1 , 0 ) + (-2 ) ( 0 , 1 )+ (-1) ( 1 , -2 ) =(0,0) 2º Sea el conjunto de vectores de R3 dado por {( 2,-2,0) ; (2,6,-2); (10,6,-4)} son Linealmente Dependiente pues existe escalares 1 = 3 y 2 = 2 y 3 = -1 3(2,-2,0)+2(2,6,-2)+(-1) (10,6,-4) = (0,0,0) 3º Sea el conjunto de vectores de R2 dado por {(2,0);(0,1)} “no son Linealmente Dependiente” pues; no existen escalares distintos de cero, son todos nulos )0,0()1,0()0,2( 21       010 002 21 21   De donde 00 21   los escalares son simultáneamente todos nulos Nota:Si un conjunto es Linealmente Dependiente lo podemos abreviar L.D.