Algèbre – correction des exercices 12, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Algèbre – correction des exercices 12, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le signe de la fonction, la position relative de la courbe C.
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Liban_S_mai_2013.dvi

[ Baccalauréat S Libanmai 2012\

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats.

Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

g (x)= 2x3−1+2lnx

1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.

2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une valeur approchée de α, arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

f (x)= 2x− lnx

x2

On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal (O ;~ı ;~).

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.

2. Démontrer que la courbeC admet pour asymptote oblique la droite∆d’équa- tion y = 2x.

Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆.

3. Justifier que f ′(x) a même signe que g (x).

4. En déduire le tableau de variations de la fonction f .

5. Tracer la courbe C dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) . On prendra comme unités :

2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x =n.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par :

In = 2 ∫n

1

lnx

x2 dx.

2. a. Calculer l’intégrale ∫n

1

lnx

x2 dx à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire l’expression de In en fonction de n.

3. Calculer la limite de l’aire In du domaine D quand n tend vers +∞.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats.

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande

d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse

non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les droites D1 et D2 de représentations paramétriques respectives :

  

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t ∈R, et

  

x = 8+5t

y = 2−2t

z = 6+ t ′ , t ′ ∈R.

Affirmation : les droitesD1 etD2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les points A(12 ; 7 ; −13) et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x + 2y −5z = 1.

Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le planP .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n+1

n+2 et vn = 2+

1

n+2

Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1

3 un+2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Liban 2 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats.

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’uneU1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simul- tanément de l’urneU2 le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants :

J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 »

J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 »

J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 »

J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la

question 4.b) où une valeur arrondie à 10−2 suffit.

1. Calculer P J1 (B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité P J2 (B).

On admet dans la suite les résultats suivants :

P J3 (B)= 1

30 et P J4 (B)=

1

210

2. Montrer que P (B), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider

d’un arbre de probabilités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes.OnnoteN la variable aléatoire prenant commevaleur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Liban 3 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B etC d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i p 3 et

c = 2i p 3.

Déterminer une mesure de l’angle ABC . b. Endéduire que l’affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangle ABC

est 1+ i p 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

p 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i p 3, 2+2i

p 3 et 2i

p 3

On remarquera que : A1 = 1, A2 =B et A4 =C .

b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. Établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1−ω= 1+ i

p 3

2 (zn ω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b.

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une transforma- tion dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Déterminer l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-

tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

2 zn +1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan muni du repère (O ; ~u ;~v).

2. a. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude di- recte s, dont on définira le rapport, l’angle et le centreΩ, d’affixe ω.

Liban 4 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Démontrer que le triangleΩAnAn+1 est isocèle rectangle.

3. a. établir que, pour tout entier naturel n, on a :ΩAn =

(p 2

2

)n−1 .

b. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés à l’intérieur du disque de centreΩ et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0A1 · · · AnAn+1.

Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-

tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An , Ω et An+4 sont ali- gnés.

Liban 5 mai 2012

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