Algèbre – correction des exercices 4, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Algèbre – correction des exercices 4, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal de l’espace, la représentation paramétrique, les points A, B et C d’affixes respectives.
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AntillesSsept2012.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane\ 13 septembre 2012

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

est un repère orthonormal de l’espace.

On note D la droite dont une représentation paramétrique est 

x = t y = −t z = 2t

t ∈R.

Soit P le plan défini par l’équation x+ y +2z−1= 0. Soit S la sphère de centre B(1 ; −1 ; 0) et de rayon 1. Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans

chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix.

Il est attribué pour chaque question 0,5 point si la réponse est exacte et 0,5 point si la justification est correcte.

1. La droite D et le plan P sont :

a. parallèles ;

b. perpendiculaires ;

c. non parallèles et non perpendiculaires.

2. SoitP ′ le plan contenant la droiteD et perpendiculaire au planP .P ′ admet pour équation cartésienne :

a. −2y + z+2= 0 ;

b. 2xz = 0 ;

c. xy z = 0.

3. La droite ∆, intersection du plan P et du plan d’équation 2x z = 0, admet pour représentation paramétrique :

a.

x = t y = −3t +1 z = 2t

t ∈R. ;

b.

x = t y = −t z = 2t

t ∈R. ;

c.

x = t y = −5t +1 z = 2t

t ∈R..

4. L’intersection de la sphère S et du plan P est :

a. un point ;

b. l’ensemble vide ;

c. un cercle.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

zA = p 3+ i ; zB =−1+ i

p 3 ; zC =−1−3i.

On note D l’image du point C par la rotation de centre O et d’angle de mesure π

2 .

On note E l’image du point B par la translation de vecteur −−→ OC .

1. a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b. Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2 cm, placer les points A et B et C.

c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. a. Construire les points D et E. Calculer leurs affixes zD et zE.

b. Montrer que les vecteurs −−→ OE et

−−→ AD sont orthogonaux et que OE = AD.

3. Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure.

Soient A, B, C, D et E les points- d’affixes respectives non nulles zA, zB, zC, zD et zE tels que

le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec (−−→ OA ;

−−→ OB

)

= π

2 ;

le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec (−−→ OC ;

−−→ OD

)

= π

2 ;

Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme.

a. Justifier les égalités suivantes :

zB = izA ; zD = izC ; zE = izA+ zC

b. Montrer que

zD− zA zE

= i.

c. Interpréter géométriquement

zD− zA zE

et arg

(

zD− zA zE

)

puis conclure.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité gra- phique 1 cm.

Partie A : tracé d’une figure

Soient A, B et C les points d’affixes respectives zA =−2−4i ; zB =−6i ; zC = 3−3i.

1. Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec (−−→ DA ;

−−→ DB

)

= π

2 .

2. Construire le point E tel que le triangle OEA est isocèle rectangle en E avec (−→ EA ;

−−→ EO

)

= π

2 .

3. Vérifier que l’affixe du point D est zD =−4i.

Le but de l’exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.

Partie B : premièreméthode

Antilles–Guyane 2 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Soit g la similitude directe de centre A qui transforme B en D.

a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude g .

b. En déduire que l’écriture complexe de g est

z ′ =

(

1

2 + 1

2 i

)

z−3− i.

c. Justifier que le point E est l’image du point O par la similitude g .

d. En déduire l’affixe du point E.

2. Calculer le module et un argument de zB− zC zE− zD

et conclure pour le problème

posé.

Partie C : deuxièmeméthode

1. On considère la rotation de centre C et d’angle π

2 .

Quelle est l’image du point O par cette rotation ? Justifier la réponse.

En déduire la nature du triangle OBC.

2. Soit f la similitude directe de centre B, d’angle π

4 et de rapport

p 2.

Soit h la similitude directe de centre A, d’angle π

4 et de rapport

p 2

2 .

a. Donner l’angle et le rapport de la similitude h f .

b. Quelle est l’image de la droite (BC) par h f ? Justifier.

c. Conclure pour le problème posé.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Les rues d’une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les p‚tés de maisons sont des carrés superposables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires. On identifie le plan de la ville au quadrillage d’un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui correspondent aux carrefours :

Nord

Est

O

A

Antilles–Guyane 3 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Le point O a pour coordonnées (0 ; 0), le point A a pour coordonnées (4 ; 1). On s’intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre point M de coordon- nées (p ; q) où p et q sont des entiers naturels tels que p 6 10 et q 6 10.

À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l’est (E).

Dans tout l’exercice, on décrit un chemin à l’aide d’un mot composé successive- ment des lettres N ou E qui indiquent dans l’ordre la direction à suivre à chaque intersection. On appelle longueur d’un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire. Par exemple : Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (mar- qué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5.

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A - Dénombrement

1. Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A.

2. SoitM un point de coordonnées (p ;q) où p et q sont des entiers naturels tels que p 6 10 et q6 10.

Exprimer, en fonctionde p et q , la longueur des chemins qui permettent d’ar- river en M .

3. Montrer qu’il y a (p+q

p

)

chemins différents qui permettent d’arriver enM .

4. Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7 ; 5).

5. Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A.

Partie B - Étude d’une variable aléatoire

Tous les chemins considérés dans la suite de l’exercice vérifient les deux propriétés suivantes : ils sont de longueur 5 ; un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu’il aille vers le Nord est de 23 (et donc de

1 3 vers l’Est), indépendamment de son choix précédent.

On appelle X la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord.

1. Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur les- quels peut aboutir un chemin.

2. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

3. Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A.

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= x

lnx

Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbeC représentative de la fonction f ainsi que la droiteD d’équation y = x.

1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

3. En déduire que si x > e alors f (x)> e.

Antilles–Guyane 4 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie B : étude d’une suite récurrente

On considère la suite (un ) définie par :

{

u0 = 5 pour tout entier natureln, un+1 = f (un )

1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbeC et la droite D, placer les points A0, A1 et A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1 et u2. On laissera apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un ) ?

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un > e.

b. Déterminer les variations de la suite (un ).

c. En déduire que la suite (un ) est convergente.

d. Déterminer sa limite .

3. On donne l’algorithme suivant :

X est une variable réelle ; Y est une variable entière Affecter 5 à X et 0 à Y Tant que X > 2,72

Faire Affecter (X /lnX ) à X Affecter Y +1 à Y

Fin de Tant que Afficher Y

À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affi- chée par l’algorithme.

n 0 1 2 3 4 5 un 5 3,106 6746728 2,740 6525323 2,718 3726346 2,718 28183001 2,718 2818285

Antilles–Guyane 5 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE Exercice 4

Commun à tous les candidats

À rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7O x

y

Antilles–Guyane 6 13 septembre 2012

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