Algèbre – correction des exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Algèbre – correction des exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 8 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La courbe représentative de la solution de (E), la fonction définie, les probabilités des évènements.
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[ Baccalauréat S 2012\

L’intégrale demars à novembre 2012

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry 13 avril 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Amérique du Nord 31 mai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Libanmai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Polynésie 10 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Antilles-Guyane 19 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Asie 20 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Centres étrangers 14 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Métropole 21 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Antilles-Guyane 13 septembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Métropole 13 septembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Amérique du Sud 14 novembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ Série obligatoiremars 2012

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z)= z3− ( 2+ i

p 2 ) z2+2

( 1+ i

p 2 ) z−2i

p 2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i p 2 est solutionde l’équationP (z) = 0.

2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z)= ( z− i

p 2 )( z2+az+b

) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i p 2 et zK = e

3iπ 4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et àmesure de l’exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à −

p 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont nu- mérotées de 1 à 6. L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire. L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2. On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3

8 .

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir ob- tenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléa- toire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi aumillième.

b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le ré- sultat arrondi aumillième.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X < k) 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne aumoins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle

inférieure à 1

10 ?

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

VRAI ou FAUX?

Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.

1. Énoncé 1 : Soit (an)n∈N une suite non constante de réels.

Pour tout entier n, on pose un = sin(an). Proposition 1 : « On peut choisir la suite (an)n∈N telle que la suite (un )n∈N

converge vers

p 2

2 . »

2. Énoncé 2 :Dans le plan complexe d’origine O, on considère, pour tout entier

naturel non nul n, les points Mn d’affixe zn = e 2i3 .

Proposition 2 : « Les points O, M1 et M20 sont alignés. »

3. Énoncé 3 :On considère une fonction f , sa dérivée f ′ et son unique primitive F s’annulant en x = 0. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.

Proposition 3 : « La courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de f ».

2

4

−2

−4

Courbe 1

π2 π 2

π0

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

2

−2

Courbe 2

π2 π 2

π0

0,5

1,0

−0,5

−1,0

Courbe 3

π/2 π/2 π0

4. Énoncé 4 : On considère, dans un repère orthonormé de l’espace, le point A(0 ; 0 ; 3) et le plan P d’équation 2xy + z = 0. Proposition 4 : « La sphère de centre A et de rayon 2 et le plan P sont sécants. »

5. Énoncé 5 : On considère l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 4. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l’une représente la solution de (E) vérifiant

y(0)= 0. Proposition 5 : «La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant y(0)= 0 est la courbe C4. »

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7

C2

C3

C4

C1

0 x

y

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x)= xex . On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère or-

thogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. Sur la courbeC , tracée en annexe, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbeC . On a placé les points A′(a ; 0) et B′(1 ; 0). Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale.

PARTIE A :

1. Montrer que ∫1

0 xex dx = 1.

2. a. Donner l’aire du triangle OAA′ et montrer que l’aire du trapèze ABB′A′ est

égale à 1

2

( −a2ea +aea ae+e

) .

b. Endéduire que l’ aire de la partie duplanhachurée est égale à 1

2 (aea ae+e−2).

PARTIE B :

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= x ( ex −e

) +e−2.

1. Soit g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ′(x) pour tout réel x de [0 ; +∞[. Vérifier que la fonction dérivée seconde g ′′ est définie sur [0 ; +∞[ par g ′′(x)= (2+ x)ex .

2. En déduire les variations de la fonction g ′ sur [0 ; +∞[.

Nouvelle-Calédonie 6 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

3. Établir que l’équation g ′(x)= 0 admet une solution uniqueα dans l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.

4. En déduire les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[. 5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B,montrer qu’il existe

une valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est mini- male. Donner cette valeur de a.

Nouvelle-Calédonie 7 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Annexe

CETTE PAGEN’EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

A

B

O

C

A′ B′ x

y

Nouvelle-Calédonie 8 mars 2012

[ Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012\

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Unmême coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

— « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]

— l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b =

c) ou (b = d) ou (b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6}; L3 = {12,17,23,17,50};L4 = {45,19,43,21,18} ?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 parti- cipants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. Onnote X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses pa- ramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous formedécimale arrondie audix-millième, les probabilités des évènements suivants :

— il a été contrôlé 5 fois exactement ; — il n’a pas été contrôlé ; — il a été contrôlé aumoins une fois.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

— si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; — si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, on considère :

— les plans P et P ′ d’équations :

P : xy z−2= 0 et P ′ : x+ y +3z = 0.

— la droite D ayant pour représentation paramétrique :

  

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et jus- tifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite ∆ dont une représentation paramé- trique est :

  

x = 1− t y = −1−2t z = t

t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (In ) et (Jn ) définies pour tout entier naturel n par :

In = ∫1

0

e−nx

1+ x dx et Jn =

∫1

0

e−nx

(1+ x)2 dx.

Pondichéry 10 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

1. Sont représentées ci-dessous les fonctions fn définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= e−nx

1+ x pour différentes valeurs de n :

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

f0

f1

f2

f3

O

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en expli- quant la démarche.

b. Démontrer cette conjecture.

2. a. Montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout nombre réel x de l’inter- valle [0 ; 1] :

06 e−nx

(1+ x)2 6

e−nx

1+ x 6 e−nx .

b. Montrer que les suites (In ) et (Jn) sont convergentes et déterminer leur limite.

3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n> 1 :

In = 1

n

( 1−

e−n

2 − Jn

) .

b. En déduire lim n→+∞

nIn .

Pondichéry 11 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on dé-

signe par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout pointM d’affixe z 6= 1, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z−1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i. a. Calculer l’affixe zC′ du point C

′ image de C par la transformation f , et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout pointM distinct de A, le pointM ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z ′−1 z−1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A,M et M ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x−26y = 1,

x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ).

3. En déduire un entier a tel que 06 a6 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Pondichéry 12 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre dumot et x2 correspond à la deuxième lettre dumot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1)

{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26)

avec06 y1 6 25 et 06 y2 6 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de

correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape2 =⇒ (13,19)

étape3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST.

2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

a. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2)

{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)

b. À l’aide de la partie B,montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équa- tions du système (S2), vérifie les équations du système

(S3)

{ x1 ≡ 16y1+ y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)

c. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

d. Décoder le mot YJ.

Pondichéry 13 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

Ob D

Pondichéry 14 18 avril 2012

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 31mai 2012\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dansune association sportive, unquart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note : — F l’évènement « le membre choisi est une femme », — T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 25 .

2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de ma- nière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− ( 7 10

)n .

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exacte- ment sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton ga- gnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5() réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpré- ter le résultat obtenu.

EXERCICE 2 5 points Partie A Restitution organisée des connaissances

On rappelle que limt→+∞ et

t =+∞. Démontrer que limx→+∞

ln(x) x = 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x)= x− ln(x)x . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g (x)= x2−1+ ln(x). Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

2. a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′(x)= g (x) x2

.

b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[. c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe

C .

d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse k de C et D.

a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance

MkNk entre les points Mk et Nk est donnée par MkNk = ln(k)

k .

b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance MkNk soit inférieure ou égale à 10

−2.

Exercice 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que :

f (0)= 0 et f ′(x)= 1

1+ x2 pour tout x de [0 ; 1].

On ne cherchera pas à déterminer f .

Partie A

1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1].

2. Soit g la fonction définie sur [ 0 ;

π

4

] par g (x)= f (tan(x)).

a. Justifier que g est dérivable sur [ 0 ;

π

4

] , puis que, pour tout x de

[ 0 ;

π

4

] ,

g ′(x)= 1.

b. Montrer que, pour tout x de [ 0 ;

π

4

] , g (x)= x, en déduire que f (1)= π4 .

3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 06 f (x)6 π

4 .

Partie B

Soit (In ) la suite définie par I0 = ∫1 0 f (x) dx et, pour tout entier naturel n non nul,

In = ∫1 0 x

n f (x)dx.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I0 = π4 − 1 2 ln(2).

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In 6 π

4(n+1) .

c. En déduire la limite de la suite (In ).

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

Amérique du Nord 16 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que f (M)=M . 2. Soit A le point d’affixe a =

p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des pointsM dis- tincts deΩ pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i). c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M ′ soient alignés.

EXERCICE 5 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à tout M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 y 6 5. On note E l’ensemble de ces points M . On rappelle que les coordonnées (x′ ; y ′) du pointM ′, image du pointM par la trans- formation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+ 3b = 5.

b. En déduire l’ensemble des points M de E de coordonnées (x ; y) tels que

−3x′+4y ′ = 37. 2. Soit M un point de l’ensemble E etM ′ son image par la transformation S.

a. Démontrer que x′+ y ′ est un multiple de 5. b. Démontrer que x′− y ′ et x′+ y ′ sont congrus modulo 2.

En déduire que si x′2− y ′2 est multiple de 2 alors x′− y ′ et x′+ y ′ le sont également.

c. Déterminer l’ensemble des points M de E tels que : x′2− y ′2 = 20.

Amérique du Nord 17 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat S Libanmai 2012\

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats.

Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

g (x)= 2x3−1+2lnx

1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[. 2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une valeur

approchée de α, arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

f (x)= 2x− lnx

x2

On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère

orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbeC admet pour asymptote oblique la droite∆d’équa-

tion y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆.

3. Justifier que f ′(x) a même signe que g (x).

4. En déduire le tableau de variations de la fonction f .

5. Tracer la courbe C dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) . On prendra comme unités :

2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x =n.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par :

In = 2 ∫n

1

lnx

x2 dx.

2. a. Calculer l’intégrale ∫n

1

lnx

x2 dx à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire l’expression de In en fonction de n.

3. Calculer la limite de l’aire In du domaine D quand n tend vers +∞.

Liban 18 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats.

Les quatre questions sont indépendantes. Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les droites D1 et D2 de représentations paramétriques respectives :

  

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t ∈R, et

  

x = 8+5t y = 2−2t z = 6+ t

, t ′ ∈R.

Affirmation : les droitesD1 etD2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les points A(12 ; 7 ; −13) et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x + 2y −5z = 1. Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le planP .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n+1 n+2

et vn = 2+ 1

n+2 Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1

3 un+2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Liban 19 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats.

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’uneU1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simul- tanément de l’urneU2 le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants :

J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 »

J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 »

J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 »

J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à 10−2 suffit.

1. Calculer P J1 (B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité P J2 (B).

On admet dans la suite les résultats suivants :

P J3 (B)= 1

30 et P J4 (B)=

1

210

2. Montrer que P (B), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider

d’un arbre de probabilités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes.OnnoteN la variable aléatoire prenant commevaleur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Liban 20 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B etC d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i p 3 et

c = 2i p 3.

Déterminer une mesure de l’angle ABC . b. Endéduire que l’affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangle ABC

est 1+ i p 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

p 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i p 3, 2+2i

p 3 et 2i

p 3

On remarquera que : A1 = 1, A2 =B et A4 =C . b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. Établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1−ω= 1+ i

p 3

2 (zn ω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b.

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une transforma- tion dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Déterminer l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i 2

zn +1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan

muni du repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Liban 21 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. a. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude di- recte s, dont on définira le rapport, l’angle et le centreΩ, d’affixe ω.

b. Démontrer que le triangleΩAnAn+1 est isocèle rectangle.

3. a. établir que, pour tout entier naturel n, on a :ΩAn = (p

2

2

)n−1 .

b. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés à l’intérieur du disque de centreΩ et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0A1 · · · AnAn+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An , Ω et An+4 sont ali- gnés.

Liban 22 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2012\

Exercice 1 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On considère les points B (100 ; 100) et C

( 50 ;

50 p e

) et la droite (D) d’équation y = x.

On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est don- née en annexe. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que :

• pour tout x réel, f (x)= xeax+b . • les points B et C appartiennent à la courbe Γ.

1. a. Montrer que le couple (a ; b) est solution du système :

{ 100a+b = 0

50a+b =− 1

2

b. En déduire que, pour tout x réel, f (x)= xe0,01x−1. 2. Déterminer la limite de f en +∞ .

3. a. Montrer que pour tout x réel, f (x)= 100

e ×0,01xe0,01x

b. En déduire la limite de f en −∞. 4. Étudier les variations de la fonction f .On donnera le tableau de variations

complet.

5. Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D).

6. a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale ∫100 0 f (t) dt .

b. On désigne par A l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations x = 0 et x = 100 , la droite (D) et la courbe Γ. Calculer A.

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6 texti et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjec- tures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A′ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13

2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre A

et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de centre C

et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1

2 + 5

2 i et p = 2−5i.

Polynésie 23 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Démontrer que sq pa

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercice 3 5 points

Partie A

On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réelU et les entiers naturels k et N .

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N .

Traitement Affecter àU la valeur 0 Pour k allant de 0 à N −1

Affecter àU la valeur 3U −2k+3 Fin pour

Sortie AfficherU

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

Partie B

On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un −2n+3.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.

b. En déduire la limite de la suite (un ).

3. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn =un n+1. a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n +n−1. 5. Soit p un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe aumoins un entier n0 tel que, pour tout n>n0, un > 10p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.

b. Justifier que n0 6 3p.

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3. d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, af-

fiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait un > 10p .

Polynésie 24 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40%ont leurs facesmarquées d’un cercle, 20%ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20% ont leurs faces marquées d’un cercle, x% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cubemarqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cubemarqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis aumillième.

1. Quelle est la probabilité de tirer aumoins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel.

Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

Polynésie 25 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. a. On suppose que a n’est pas unmultiple de 7.

Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7]. En déduire que

( a25

)g a [7]. b. On suppose que a est unmultiple de 7.

Démontrer que ( a25

)g a [7]. c. On admet que pour tout entier naturel a,

( a25

)g a [19]. Démontrer que

( a25

)g a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 16 a6 26. Un message, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 06 r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r 13 ≡ r1 [133] avec 06 r1 < 133.

1. Justifier que r1 ≡ a [133]. 2. Unmessage codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Polynésie 26 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe de l’exercice 1

20

40

60

80

100

120

140

160

−20

20 40 60 80 100 120−20−40−60−80−100−120−140

b

b B

C

Γ

Annexe de l’exercice 2

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12

bA

b

B

b C

b

b

A’

S

b C’

b Q

b

b B’

P

Polynésie 27 juin 2012

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ 19 juin 2012

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On note R l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R par

f (x)= xex−1+1.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de f en −∞. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de f en +∞. 3. On admet que f est dérivable sur R, et on note f ′ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel x, f ′(x)= (x+1)ex−1. 4. Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R.

Partie B : recherche d’une tangente particulière

Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle Ta la tangente àC au point d’abscisse a. Donner une équation de Ta .

2. Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement posi- tive passe par l’origine du repère si et seulement si a vérifie l’égalité

1−a2ea−1 = 0.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[ de l’équation

1− x2ex−1 = 0.

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d’aire

Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe C de la fonction f dans un

repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Construire sur ce graphique la droite ∆ d’équation y = 2x. On admet que la courbe C est au-dessus de la droite ∆. Hachurer le domaine D limité par la courbe C la droite ∆, la droite d’équation (x = 1) et l’axe des ordonnées.

2. On pose I = ∫1

0 xex−1 dx. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que I

= 1

e .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaine D.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i.

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z avec z 6= b, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z+1−2i z+2+ i

a. Calculer l’affixe c ′ du point C′, image de C par f et placer le point C′ sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des pointsM d’affixe z avec z 6= b, tels que |z ′| = 1.

c. Justifier que E contient les points O et C. Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle − π

2 .

On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π

2 .

On note L le milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par

  

u1 = 1

2 un+1 =

n+1 2n

un

1. Calculer u2,u3 et u4.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est strictement positif.

b. Démontrer que la suite (un ) est décroissante.

c. Que peut-on en déduire pour la suite (un ) ?

3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose

vn = un n

.

Antilles-Guyane 29 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v1.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,

un = n

2n .

4. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x)= lnxx ln2. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait éga- lement que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les quatre questions sont indépendantes.

Antilles-Guyane 30 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x−5y = 14.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments ca- ractéristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3

2 (1− i)z+4−2i.

4.

5. On considère l’algorithme suivant où Ent

( A

N

) désigne la partie entière de

A

N .

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N6

p A

Si A

N −Ent

( A

N

) = 0 alors Afficher N et

A

N Fin si

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Antilles-Guyane 31 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE 1 Exercice 1

À rendre avec la copie

Courbe C représentative de f

1

2

3

4

1−1−2−3−4

Antilles-Guyane 32 19 juin 2012

[ Baccalauréat S Asie 20 juin 2012\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

la droite D dont on donne une représentation paramétrique, et le plan P dont on donne une équation cartésienne :

D

  

x = 1−2t y = t z = −5−4t

(t ∈R) et P : 3x+2y z−5= 0.

Affirmation 1 : la droite D est strictement parallèle au plan P .

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

le point A(1 ; 9 ; 0) et le plan P d’équation cartésienne : 4xy z+3= 0.

Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est égale à

p 3

2 .

3. Soit la fonction f définie pour tout réel x par : f (x)= 3

1+e−2x .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

Affirmation 3 : la courbeC admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abs- cisses.

4. Pour tout réel x, on pose F (x)= ∫x

1 (2− t)e−t dt .

Affirmation 4 : F (x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x su- périeur à 1.

5. On considère l’intégrale I = ∫e

1 t2 ln t dt .

Affirmation 5 : la valeur exacte de l’intégrale I est : 2e3+1

9 .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note r la rotation de centre O et d’angle π

6 .

On considère le point A, d’affixe zA = − p 3+ i, le point A1 d’affixe zA1 = zA où zA

désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A1 par la rotation r et zB l’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que zB = 2e− 2iπ 3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre

complexe zB sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire −→ w , tel que

(−→ u ,

−→ w

) =

π

12 , et la droite ∆ pas-

sant par O et de vecteur directeur −→ w .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. Tracer la droite∆, puis démontrer que∆ est la bissectrice de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

) .

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe ( O ;

−→ u ) et B′ l’image de B1

par la rotation r . Démontrer que B′ = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non abou- tie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe p 2(1+i) et D le symétrique de C par rapport à la droite

∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Détermination d’une similitude directe

On considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− 1

2 + i

p 3

2 et zB =−

p 3+ i.

1. a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre 0 qui transforme le point A en B.

b. Préciser les éléments caractéristiques de la similitude f .

Partie B. Étude d’une transformation

Le but de cette partie est d’étudier la transformation g = s f , où f désigne la simi- litude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe

( O ;

−→ u ) .

1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M ′ l’image du point M par la transformation g .

On note z et z ′ les affixes respectives des points M et M ′, et z celle du conju- gué de z.

a. Démontrer l’égalité : z ′ = 2e−i π 6 z.

b. On pose C = g (A) et D = g (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.

c. Quelle est la nature du triangle OAC?

d. Démontrer que les vecteurs −−→ OA et

−−→ OD sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non abou- tie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géo- métriques.

Asie 34 20 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k + 3 boules sont in- discernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

— un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; — un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; — un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ;

on dit dans ce cas là qu’il gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on pose k = 7. Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs diffé- rentes.

Démontrer que p = 0,42. 2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indé-

pendantes.

On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et pn la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties.

a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au mil- lième.

c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner aumoins une fois soit supérieure à 99%.

Partie B

Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a. Justifier l’égalité : p (Yk = 5)= 6k

(k+3)2 .

b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk

2. On note E(Yk ) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk ) est stricte- ment positive.

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

1. On considère l’algorithme suivant :

Asie 35 20 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Saisir un réel strictement positif non nul a Entrée Saisir un réel strictement positif non nul b (b > a)

Saisir un entier naturel non nul N Affecter à u la valeur a

Initialisation Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 TANT QUE n <N

Affecter à n la valeur n+1

Affecter à u la valeur a+b 2

Traitement Affecter à v la valeur

a2+b2

2 Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v

Sortie Afficher u, afficher v

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algo- rithme pour a = 4, b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies aumillième.

n a b u v 0 4 9 1 2

Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0< a < b. On considère les suites (un ) et (vn) définies par :

u 0 = a,v0 = b et, pour tout entier naturel n :

un+1 = un + vn

2 et vn+1 =

u2n + v2n

2

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : v2n+1−u 2 n+1 =

(un vn 2

)2 .

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un 6 vn .

3. a. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

b. Comparer v2n+1 et v 2 n . En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Démontrer que les suites (un ) et (vn) sont convergentes.

Asie 36 20 juin 2012

[ Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2012\

EXERCICE 1 4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal ( A ;

−→ AB ;

−→ AD ;

−→ AE

) .

On considère les points I

( 1 ;

1

3 ; 0

) , J

( 0 ;

2

3 ; 1

) , K

( 3

4 ; 0 ; 1

) et L(a ; 1 ; 0) avec a un

nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].

B C

D A

F G

HE

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique   

x = 34 + t ′ (a− 34

)

y = t z = 1− t

, t ′ ∈R

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1

4 .

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on pose a = 14 . Le point L a donc pour coordonnées

( 1 4 ; 1 ; 0

) .

1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géo- métrie dynamique.

On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

B C

D A

F G

HE

b

b

b

b

b

b

I

K

J

M

N

L

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.

a. Prouver que le vecteur −→n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).

b. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y +5z−11 = 0. c. En déduire les coordonnées des points M et N

EXERCICE 2 5 points

On considère la suite (In ) définie pour n entier naturel non nul par :

In = ∫1

0 xnex

2 dx.

1. a. Soit g la fonction définie par g (x)= xex2 .

Démontrer que la fonctionG définie sur R parG(x)= 1

2 ex

2 est une primi-

tive sur R de la fonction g .

b. En déduire la valeur de I1.

c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier na- turel n, supérieur ou égal à 1, on a :

In+2 = 1

2 e−

n+1 2

In .

d. Calculer I3 et I5.

2. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation Affecter à n la valeur 1

Affecter à u la valeur 1

2 e−

1

2 Tant que n < 21

Affecter à u la valeur 1

2 e−

n+1 2

u

Affecter à n la valeur n+2 Sortie Afficher u

Quel terme de la suite (In ) obtient-on en sortie de cet algorithme ?

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.

b. Montrer que la suite (In ) est décroissante.

Centres étrangers 38 13 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. En déduire que la suite (In ) est convergente. On note sa limite.

4. Dans cette question toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la valeur de .

EXERCICE 3 6 points

On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3 ( x2+ x3

) .

Partie A : Conjecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponen- tielle et celle de la fonction f définie sur R par f (x)= 3

( x2+ x3

) telles que les affiche

une calculatrice dans un même repère orthogonal.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7

À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique

1. a. Étudier selon les valeurs de x, le signe de x2+ x3. b. Endéduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ]−∞ ; −1]. c. Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).

Centres étrangers 39 13 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Onconsidère la fonctionh, définie pour tout nombre réel de ]−1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par :

h(x)= ln3+ ln ( x2

) + ln(1+ x)− x.

Montrer que, sur ]−1 ; 0[∪ ]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x)= 0. 3. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]−1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, on a :

h′(x)= −x2+2x+2

x(x+1) .

b. Déterminer les variations de la fonction h.

c. Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x)= 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.

d. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’arbre de probabilités suivant :

b

b A

0,2

b B0,68

b B

b A

b B

b B0,4 Affirmation : la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire simultanément deux boules dans l’urne.

Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir

deux boules de couleurs différentes est égale à 9

22 .

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle −

π

2 .

4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’in- connue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

Centres étrangers 40 13 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère les points A, B et C d’affixes respectives a =−1, b = i et c = p 3+i(1−

p 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60 °.

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x−2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+2k ; 13+3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n+1 et b = 2n+3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2+7n+21 et b = 2n+2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n+2 et n+17.

4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i. On note s la similitude directe s de centre A, de rapport

p 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i 2

z+ −1+7i

2 .

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

p 3+ i(3+

p 3) et

d = 4+ p 3+4i

p 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour

angle π

3 .

Centres étrangers 41 13 juin 2012

[ Baccalauréat SMétropole 21 juin 2012\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2]. On dispose des informations suivantes :

f (0)=−1. • la dérivée f ′ de la fonction f admet la courbe représentative C ′ ci -dessous.

C ′

−→ ı

−→

O

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Pour tout réel x de l’intervalle [−3,−1], f ′(x)6 0. 2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2]. 3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x)>−1. 4. Soit C la courbe représentative de la fonction f .

La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coor- données (1 ; 0).

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.

On considère les évènements suivants :

D : « Le candidat est retenu sur dossier », — E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », — E2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

D. . .

E1. . .

E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Calculer la probabilité de l’évènement E1.

c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0,93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes re- crutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recru- tés. On arrondira à 10−3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher aumoins un candidat soit supé- rieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par

f (x)= 1

x+1 + ln

( x x+1

) .

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′(x)= 1

x(x+1)2 .

Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

Partie B

Soit (un ) la suite définie pour tout entier strictement positif par

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de 1 à n.∣∣∣∣Affecter àu la valeuru+

1

i Sortie : Afficher u.

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.

2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de un lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.

Métropole 43 21 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000 un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un ) et son éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un ) telle que pour tout entier strictement positif n,

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n,

un+1−un = f (n)

f est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite (un ).

2. a. Soit k un entier strictement positif.

Justifier l’inégalité ∫k+1

k

( 1

k

1

x

) dx> 0.

En déduire que ∫k+1

k

1

x dx6

1

k .

Démontrer l’inégalité ln(k+1)− lnk 6 1

k (1).

b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que pour tout entier strictement positif n,

ln(n+1)6 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n .

c. En déduire que pour tout entier strictement positif n,un > 0.

3. Prouver que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait corres- pondre le point M ′ d’affixe

1

z+1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’imagepar f de la droiteD d’équation x =− 1

2 .

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1

2 , zB =−

1

2 + i et zC =−

1

2 − 1

2 i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et placer les points A’, B’et C’ sur la figure.

Métropole 44 21 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M1 d’affixe z+1. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma-

tion g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images respec- tives par g de A, B et C et tracer la droite D1, image de la droite D par g .

c. Démontrer queD1 est l’ensemble des pointsM d’affixe z telle que |z−1| = |z|.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point

M2 d’affixe 1

z .

a. Justifier que h (A1)=A′,h (B1)= B′ et h (C1)=C′. b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z −1

∣∣∣∣= 1 ⇐⇒ |z−1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droiteD.

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x+2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D.

Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité gra- phique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+i)z+3−i= 0 et vérifier que la solution de cette équa- tion est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droite D.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout pointM d’af-

fixe z différente de−1+2i, fait correspondre le pointM ′ d’affixe 1

(1+ i)z+3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M1 d’affixe (1+ i)z+3− i. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma-

tion g .

b. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

c. Déterminer l’image D1 de la droite D par la transformation g et la tracer sur la figure.

Métropole 45 21 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre

le point M2 d’affixe 1

z .

a. Déterminer les affixes des pointsh (A1) ,h (B1) eth (A1) et placer ces points sur la figure.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z − 1

2

∣∣∣∣= 1

2 ⇐⇒ |z−2| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

d. Démontrer que tout point du cercleC qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droiteD1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droiteD.

Métropole 46 21 juin 2012

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane\ 13 septembre 2012

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) est un repère orthonormal de l’espace.

On note D la droite dont une représentation paramétrique est  

x = t y = −t z = 2t

t ∈R.

Soit P le plan défini par l’équation x+ y +2z−1= 0. Soit S la sphère de centre B(1 ; −1 ; 0) et de rayon 1. Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix. Il est attribué pour chaque question 0,5 point si la réponse est exacte et 0,5 point si la justification est correcte.

1. La droite D et le plan P sont :

a. parallèles ;

b. perpendiculaires ;

c. non parallèles et non perpendiculaires.

2. SoitP ′ le plan contenant la droiteD et perpendiculaire au planP .P ′ admet pour équation cartésienne :

a. −2y + z+2= 0 ; b. 2xz = 0 ; c. xy z = 0.

3. La droite ∆, intersection du plan P et du plan d’équation 2x z = 0, admet pour représentation paramétrique :

a.

  

x = t y = −3t +1 z = 2t

t ∈R. ;

b.

  

x = t y = −t z = 2t

t ∈R. ;

c.

  

x = t y = −5t +1 z = 2t

t ∈R..

4. L’intersection de la sphère S et du plan P est :

a. un point ;

b. l’ensemble vide ;

c. un cercle.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A, B et C d’affixes respectives

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

zA = p 3+ i ; zB =−1+ i

p 3 ; zC =−1−3i.

On note D l’image du point C par la rotation de centre O et d’angle de mesure π

2 .

On note E l’image du point B par la translation de vecteur −−→ OC .

1. a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b. Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2 cm, placer les points A et B et C.

c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. a. Construire les points D et E. Calculer leurs affixes zD et zE.

b. Montrer que les vecteurs −−→ OE et

−−→ AD sont orthogonaux et que OE = AD.

3. Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure.

Soient A, B, C, D et E les points- d’affixes respectives non nulles zA, zB, zC, zD et zE tels que

le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec (−−→ OA ;

−−→ OB

) =

π

2 ;

le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec (−−→ OC ;

−−→ OD

) =

π

2 ;

Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme.

a. Justifier les égalités suivantes :

zB = izA ; zD = izC ; zE = izA+ zC

b. Montrer que

zD− zA zE

= i.

c. Interpréter géométriquement

∣∣∣∣ zD− zA

zE

∣∣∣∣ et arg ( zD− zA

zE

) puis conclure.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité gra- phique 1 cm.

Partie A : tracé d’une figure

Soient A, B et C les points d’affixes respectives zA =−2−4i ; zB =−6i ; zC = 3−3i.

1. Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec(−−→ DA ;

−−→ DB

) =

π

2 .

2. Construire le point E tel que le triangle OEA est isocèle rectangle en E avec(−→ EA ;

−−→ EO

) =

π

2 .

3. Vérifier que l’affixe du point D est zD =−4i.

Le but de l’exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.

Partie B : premièreméthode

Antilles–Guyane 48 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Soit g la similitude directe de centre A qui transforme B en D.

a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude g .

b. En déduire que l’écriture complexe de g est

z ′ = ( 1

2 + 1

2 i

) z−3− i.

c. Justifier que le point E est l’image du point O par la similitude g .

d. En déduire l’affixe du point E.

2. Calculer le module et un argument de zB− zC zE− zD

et conclure pour le problème

posé.

Partie C : deuxièmeméthode

1. On considère la rotation de centre C et d’angle π

2 .

Quelle est l’image du point O par cette rotation ? Justifier la réponse.

En déduire la nature du triangle OBC.

2. Soit f la similitude directe de centre B, d’angle π

4 et de rapport

p 2.

Soit h la similitude directe de centre A, d’angle π

4 et de rapport

p 2

2 .

a. Donner l’angle et le rapport de la similitude h f . b. Quelle est l’image de la droite (BC) par h f ? Justifier. c. Conclure pour le problème posé.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Les rues d’une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les p‚tés de maisons sont des carrés superposables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires. On identifie le plan de la ville au quadrillage d’un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui correspondent aux carrefours :

Nord

Est

O

A

Antilles–Guyane 49 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Le point O a pour coordonnées (0 ; 0), le point A a pour coordonnées (4 ; 1). On s’intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre point M de coordon- nées (p ; q) où p et q sont des entiers naturels tels que p 6 10 et q 6 10.

À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l’est (E).

Dans tout l’exercice, on décrit un chemin à l’aide d’un mot composé successive- ment des lettres N ou E qui indiquent dans l’ordre la direction à suivre à chaque intersection. On appelle longueur d’un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire. Par exemple : Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (mar- qué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5.

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A - Dénombrement

1. Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A.

2. SoitM un point de coordonnées (p ;q) où p et q sont des entiers naturels tels que p 6 10 et q6 10.

Exprimer, en fonctionde p et q , la longueur des chemins qui permettent d’ar- river en M .

3. Montrer qu’il y a (p+q

p

) chemins différents qui permettent d’arriver enM .

4. Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7 ; 5).

5. Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A.

Partie B - Étude d’une variable aléatoire

Tous les chemins considérés dans la suite de l’exercice vérifient les deux propriétés suivantes : ils sont de longueur 5 ; un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu’il aille vers le Nord est de 23 (et donc de

1 3 vers l’Est), indépendamment de son choix précédent.

On appelle X la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord.

1. Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur les- quels peut aboutir un chemin.

2. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

3. Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A.

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= x

lnx

Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbeC représentative de la fonction f ainsi que la droiteD d’équation y = x.

1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1. 2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]1 ; +∞[. 3. En déduire que si x > e alors f (x)> e.

Antilles–Guyane 50 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie B : étude d’une suite récurrente

On considère la suite (un ) définie par :

{ u0 = 5

pour tout entier natureln, un+1 = f (un )

1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbeC et la droite D, placer les points A0, A1 et A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1 et u2. On laissera apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un ) ?

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un > e.

b. Déterminer les variations de la suite (un ).

c. En déduire que la suite (un ) est convergente.

d. Déterminer sa limite .

3. On donne l’algorithme suivant :

X est une variable réelle ; Y est une variable entière Affecter 5 à X et 0 à Y Tant que X > 2,72

Faire Affecter (X /lnX ) à X Affecter Y +1 à Y

Fin de Tant que Afficher Y

À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affi- chée par l’algorithme.

n 0 1 2 3 4 5 un 5 3,106 6746728 2,740 6525323 2,718 3726346 2,718 28183001 2,718 2818285

Antilles–Guyane 51 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE Exercice 4

Commun à tous les candidats

À rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7O x

y

Antilles–Guyane 52 13 septembre 2012

[ Baccalauréat SMétropole 13 septembre 2012\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Soit f une fonctiondérivable surR dont le tableaude variations est donné ci-dessous où a et b désignent deux réels.

x −∞ a +∞

−∞

f (x)

b

−∞

1. Déterminer le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

2. Dans le planmuni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on a tracé deux courbes

C1 et C1.

Elles coupent l’axe des ordonnées aux points A et B d’ordonnées −2 et 1

2 respectivement.

L’une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée f ′ de f et l’autre la courbe représentative d’une primitive F de la fonction f sur R.

A

B

O

C2

C1

−→ ı

−→

a. Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction f . Justifier la réponse.

b. À l’aide des courbes C1 et C1, prouver que 1< a < 2 et b > 0.

3. Dans cette question, on admet que la fonction f est telle que, pour tout réel x,

f (x)−2 f ′(x)= x.

a. Déterminer une fonction affine g telle que pour tout réel x, g (x)−2g ′(x)= x.

b. Démontrer que la fonction f g est une solution de l’équation différen-

tielle y ′ = 1

2 y .

c. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’existence d’un réel

k tel que pour tout réel x, f (x)= ke 1 2 x + x+2.

d. En utilisant les coordonnées des points A et B , déterminer les fonctions f et F ainsi que les réels a et b.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

1. Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.

On prélève au hasard une boule de l’urne.

Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on prélève au hasard une seconde boule.

Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l’urne sans remettre la boule tirée.

a. Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ?

b. Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.

Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Une urne contient quatre boules rouges et n boules noires indiscernables au toucher.

On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque tirage.

La variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres 4 et p.

a. Donner l’expression de p en fonction de n.

b. Démontrer que la probabilité qn que l’une au moins des quatre boules

tirées soit noire est telle que qn = 1− (

4

n+4

)4 .

c. Quel est le plus petit entier naturel n pour lequel la probabilité qn est supérieure ou égale à 0,9999 ?

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie sur N par

u0 = 3 et pour tout entier natureln, un+1 = 1

2

( un +

7

un

) (⋆)

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, un > 0.

1. On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

2

( x+

7

x

) .

Démontrer que la fonction f admet un minimum.

En déduire que pour tout entier naturel n, un > p 7.

2. a. Soit n un entier naturel quelconque.

Étudier le signe de un+1−un . b. Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un ) est convergente ?

c. On déduit de la relation (⋆) que la limite de cette suite est telle que = 1

2

( +

7

) .

Déterminer .

Métropole 54 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1− p 7=

1

2

( un

p 7 )2

un .

4. On définit la suite (dn) par :

d0 = 1 et pour tout entier natureln, dn+1 = 1

2 d2n .

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

un − p 76 dn .

b. Voici un algorithme :

Variables : n et p sont des entiers naturels d est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de p. Initialisations : Affecter à d la valeur 1.

Affecter à n la valeur 0 Traitement : Tant que d > 10−p .

Affecter à d la valeur 0,5d2

Affecter à n la valeur n+1. Sortie : Afficher n.

En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.

Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?

Justifier que u5 est une valeur approchée de p 7 à 10−9 près.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse. Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. L’ensemble des points M d’affixe z telle que |z −1+2i| = |z +3−4i| est une droite passant par le point H d’affixe 5+5i.

2. On note A, B et C les points d’affixes respectives 2− i, 1+ i et 3−2i. L’image du point B par l’homothétie de centre A et de rapport −2 est le point C .

3. Soit f la transformation complexe qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =− p 2

2 (1− i)z.

L’image d’une droite d du plan par la transformation f est une droite qui est perpendiculaire à la droite d .

Pour les questions suivantes, l’espace est rapporté à un repère orthonormé( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

4. Soit P le plan d’équation 3x+y−7= 0 etD la droite dont une représentation

paramétrique est

  

x = 2− t y = 1+3t z = t

, t ∈R.

La droite D est parallèle au plan P .

Métropole 55 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5. Soient P le plan d’équation x+3y −4z+1 = 0 et A le point de coordonnées (1 ; 4 ; −1). La sphère S de centre A et de rayon 4 est sécante au plan P .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse. Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.

1. Soit (E ) 5x+6y = 3, où x et y sont des entiers relatifs. Les seuls couples qui sont solutions de l’équation (E ) sont les couples (18k+ 3, −15k−2) où k est un entier relatif.

2. Le reste de la division euclidienne de 32012 par 7 est égal à 6.

Pour les questions suivantes, le plan est muni d’un repère orthonormé direct( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A le point d’affixe 2−i et B l’image dupoint A par la rotation de centre O et d’angle

π

2 .

Le point C est le milieu du segment [AB].

3. Le point C est l’image du point O par la similitude directe de centre A, de

rapport p 2 et d’angle −

π

2 .

4. Soit f la similitude directe qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ telle que z ′ = (−1+ i)z. La transformation composée f f transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB).

5. La transformation complexe qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ telle que z ′ = (1− i)z+3− i, est la similitude directe de centre A, de rapport

p 2 et d’angle −

π

4 .

Métropole 56 13 septembre 2012

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ 13 novembre 2012

Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats

Partie A

1. Restitution organisée de connaissance

L’objet de cette question est de démontrer que lim x→+∞

ex

x =+∞.

On suppose connus les résultats suivants :

• La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée

• e0 = 1 • Pour tout réel x, on a ex > x • Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un

réel positif. Si pour tout x de [A ; +∞[, v(x) 6 w(x) et si lim

x→+∞ v(x) = +∞, alors

lim x→+∞

w(x)=+∞.

a. Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par ϕ(x)= ex x2

2 .

Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, ϕ(x)> 1.

b. En déduire que lim x→+∞

ex

x =+∞.

2. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)= 1

2 xe−

1 2 x .

a. Étudier la limite de la fonction f en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f , puis dresser son tableau de varia-

tions sur [0 ; +∞[.

Partie B

On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de principe actif. Ce mé- dicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle g (t) la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l’instant t ex- primé en heures (t > 0). On constate expérimentalement que la fonction g est solution de l’équation diffé- rentielle

(E ) : y ′+ 1

2 y =

1

2 e−

1 2 t .

1. On considère l’équation différentielle

( E ′ ) : y ′+

1

2 y = 0

a. Déterminer le réel a pour que la fonction u définie par l’équation u(t)= ate−

1 2 t soit solution de l’équation (E ).

b. Montrer qu’une fonction v est solution de l’équation (E ) si, et seulement si, la fonction

h = v u est solution de l’équation ( E ′ ) .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Résoudre l’équation ( E ′ ) .

d. En déduire les solutions de l’équation (E ).

2. On suppose qu’à l’instant t = 0, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.

Montrer que la solution de l’équation différentielle (E ) qui vérifie cette condi- tion initiale est la fonction f étudiée dans la partie A.

3. On donne l’algorithme suivant :

Entrée Affecter la valeur 3 à la variable n. Traitement Tant que f (n)> 0,1

incrémenter la variable n de 1. Fin Tant que

Sortie Afficher la valeur de n.

f est la fonction étudiée dans la partie A.

a. À l’aide de la question 2. a. de la partie A, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie.

b. Quelle est la valeur n0 de la variable n obtenue à la sortie de l’algorithme ?

c. L’absorption du médicament par l’animal a lieu un matin à 8 h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique

2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA = i, zB = 2i, et zC = 1.

On considère la transformation f qui à tout point M du plan d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 2iz

z− i .

On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation f .

2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B′ et C′, images res- pectives des points B et C par f .

3. a. Montrer que, pour tout pointM distinct de A, l’affixe z ′ deM ′ vérifie l’éga- lité

z ′−2i= −2 z− i

.

b. En déduire que si le pointM appartient au cercleΓ de centre A et de rayon 1, alors son imageM ′ appartient à un cercle dont ondéterminera le centre et le rayon.

c. Exprimer une mesure de l’angle (−→ u ,

−−−→ BM

) en fonction d’une mesure de

l’angle (−→ u ,

−−→ AM

) .

d. On considère le point D d’affixe zD = p 3

2 +

3

2 i. Vérifier que D appartient

au cercle Γ.

Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D′ par f .

4. On noteG l’isobarycentre des points O, B et C.

Amérique du Sud 58 13 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Déterminer l’affixe du point G.

b. On admet que l’imageG ′ du pointG a pour affixe zG ′ =−3− i. Le pointG ′ est-il l’isobarycentre des points O, B′ et C′ ?

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB = L et AD = 1 (L > 1). Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré. On suppose qu’il existe une similitude directe f de rapport k telle que :

f (A)=B, f (B)=C, f (C)= E.

Partie A

1. En utilisant des rapports de longueurs, montrer que L = 1+

p 5

2 .

2. a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude f .

On appelle Ω le centre de la similitude f .

b. Déterminer l’image par la composée f f des points Ω, A et B. c. Quelle est la nature de la transformation f f ? Préciser ses éléments ca-

ractéristiques.

d. En déduire queΩ est le point d’intersection des droites (AC) et (BE).

3. a. Déterminer l’image de la droite (CD) par la similitude f .

b. En déduire une construction du point E′, image du point E par la simili- tude f .

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormé ( A ;

−→ AF ,

−−→ AD

) .

On appelle z l’affixe du point M , et z ′ l’affixe du point M ′, image du point M par f .

1. Montrer que z ′ = p 5−1 2

iz+ p 5+1 2

.

2. Déterminer l’image du point D par f .

Exercice 3 4 points Commun à tous les candidats

Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel nonnul, onnoteRn l’évènement « le joueur réussit len-ième service » et Rn l’évènement contraire. Soit xn la probabilité de Rn et yn celle de Rn . La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées

— si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le sui- vant vaut 0,8 ;

— si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7.

1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.

Amérique du Sud 59 13 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Déterminer la loi de probabilité de X . (On pourra utiliser un arbre de pro- babilité)

b. Calculer l’espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X .

2. On s’intéresse maintenant au cas général.

a. Donner les probabilités conditionnelles PRn (Rn+1) et PRn (Rn+1).

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : xn+1 = 0,1xn +0,7. 3. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel non nul par un = 9xn −7.

Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Déterminer la nature de la suite (un).

b. En déduire la limite de la suite (xn).

Exercice 4 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Soit P le plan d’équation cartésienne 2x y +3z −1 = 0 et soit S le point de coor- données (1 ; 3 ; 5).

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

1. Les points d’intersection du planP avec les trois axes du repère sont les som- mets d’un triangle isocèle.

2. La droite δ1 de représentation paramétrique

  

x = 1+ t y = 5−4t z = 2−2t

, t ∈R

est incluse dans le plan P .

3. La droite δ2 de représentation paramétrique

  

x = −t y = 7+4t z = 7+2t

, t ∈R

est la droite parallèle à la droite δ1 passant par le point S.

4. Le projeté orthogonal du point S sur le plan P a pour coordonnées

( − 6

7 ; 55

14 ; 31

14

) .

5. Le plan P coupe la sphère de centre S et de rayon 3.

Amérique du Sud 60 13 novembre 2012

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ 16 novembre 2012

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= 5ln(x+3)− x.

1. a. On appelle f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ; +∞[. Calculer f ′(x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[.

b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Montrer que, pour tout x strictement positif on a

f (x)= x ( 5 lnx

x −1

) +5ln

( 1+

3

x

) .

d. En déduire la limite de f en +∞. e. Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. a. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet une unique solution dans l’inter- valle [0 ; +∞[. On notera α cette solution.

b. Après avoir vérifié que α appartient à l’intervalle [14 ; 15], donner une va- leur approchée de α à 10−2 près.

c. En déduire le signe de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Partie B

Soit (un ) la suite définie par

{ u0 = 4 un+1 = 5ln(un +3) pour tout entier naturel n 6= 0

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

g (x)= 5ln(x+3).

En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droiteD d’équation y = x et la courbe C , courbe représentative de la fonction g .

1. a. Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes u0, u1, u2 de la suite (un ) en utilisant la droite et la courbe données et en laissant appa- rents les traits de construction.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite (un )

2. a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Vérifier que g (α)=α α est défini dans la partie A question 2. a. c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

06 un 6α.

d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.

e. En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que lim n→+∞

un =α.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. On considère l’algorithme suivant :

u prend la valeur 4 Répéter Tant que u−14,2 < 0

u prend la valeur de 5ln(u+3) Fin du Tant que Afficher u

a. Dans cette question toute trace de recherche,même incomplète ou d’initia- tive, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Justifier que cet algorithme se termine.

b. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions.

On dispose d’une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher.

Partie A

On considère l’expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l’urne U, en remettant à chaque fois la boule dans l’urne. On appelle X le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité d’avoir obtenu exactement une fois une boule rouge.

3. Déterminer l’espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.

Partie B

On procède maintenant à une nouvelle expérience : • on tire une boule de l’urne U. Si elle est rouge on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule à nouveau ; • si cette deuxième boule est rouge, on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule pour la troisième fois.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.

2. On appelle Y le nombre de boules rouges obtenues lors d’une expérience. La variable aléatoire Y prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon.

Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique.

3. On appelle N le nombre de tirages effectués lors d’une expérience.

Déterminer la loi de probabilité de N et son espérance mathématique.

4. On appelle proportionmoyenne de boules rouges le rapport de l’espérance du nombre de boules rouges obtenues sur l’espérance du nombre de tirages.

Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l’expérience est la même que la proportion de boules rouges dans l’urne.

Nouvelle-Calédonie 62 16 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Partie A : restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : Soit a un réel. Soit (E0) l’équation différentielle de fonction inconnue y de variable réelle, dérivable de fonction dérivée y ′ :

y ′ = ay (E0) Les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme x 7−→Ceax , où C est une constante réelle.

On considère a et b deux réels, avec a non nul. Démontrer que les solutions de l’équation différentielle de fonction inconnue y de variable réelle, dérivable de fonction dérivée y ′ :

y ′ = ay +b (E )

sont les fonctions de la forme x 7−→Ceax b

a , où C est une constante réelle.

Partie B

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :

1. Affirmation 1 : si une fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels R est solution de l’équation y ′ + 3y = 6 alors la courbe représentant f admet une asymptote horizontale en +∞.

2. Affirmation 2 : si une fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels R est solution de l’équation y ′ = y alors pour tous réels α et β, f (α+β)= f (αf (β).

3. La courbe d’une fonction solution de l’équation différentielle y ′ =−2y coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 32 (voir figure ci-contre). Affirmation 3 : l’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations respectives

x = 0 et x = ln(3), est 2

3

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5 2,0 ln3O

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on appelle

A le point d’affixe 1 et C le cercle de centre A et de rayon 1. La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité gra- phique.

Partie A

On considère l’équation

Nouvelle-Calédonie 63 16 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

(E ) : z2−2z+2= 0,

z est un nombre complexe. On appelle z1 et z2 les solutions de (E ).

1. Résoudre l’équation (E ) dans l’ensemble des nombres complexes C.

2. On appelle M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 dans le repère( O,

−→ u ,

−→ v ) . Montrer que M1 et M2 appartiennent au cercle C .

Partie B

On considère l’application f du plan complexe qui à tout point M d’affixe z distinct de A associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = 2z−1 2z−2

.

1. Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a

( z ′−1

) (z−1)=

1

2 .

3. Montrer que pour tout point M distinct de A on a :

• AM ×AM ′ = 12 ; • M ′ 6=A; • (−→ u ;

−−→ AM

) + (−→ u ;

−−−→ AM

) = 0+2, où k est un entier relatif

4. On considère le point P d’affixe zP = 1+ei π 4 . Construire le point P.

5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P′, image de P par f , et réaliser cette construction.

6. Dans cette question toute trace de recherche,même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit unpointM appartenant à la droiteDd’équation x = 34 . SoitM ′ son image

par f .

a. Montrer que le point M ′ appartient au cercle C ′ de centre O de rayon 1.

b. Tout point de C ′ a-t-il un antécédent par f ?

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

On considère deux carrés directs ABCD et DCEF de côté 1. Le point I est milieu de [BC] et le point J est milieu de [EFJ (voir figure ci-dessous).

1. On considère la rotation r de centre D qui transforme A en C. Justifier que r (I)= J.

2. Justifier que r est l’unique similitude directe qui transforme A en C et I en J.

3. On appelle s la similitude directe qui transforme A en I et C en J.

On se place dans le repère ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD

) .

Nouvelle-Calédonie 64 16 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Donner les affixes des points A, C, I et J.

b. Montrer que l’écriture complexe de s est

z ′ = ( 1

2 + i

) z+1+

1

2 i.

c. Montrer que le point D est le centre de s.

A B

CD

EF

I

J

b

b

Partie B

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) on consi-

dère trois pointsM ,N ,P distincts entre eux et distincts dupointO. Onappellem,n,p leurs affixes respectives. On définit la similitude directe s1 qui transforme O en M et N en P et la similitude directe s2 qui transforme O en N et M en P .

1. Montrer que l’écriture complexe de s1 est

z ′ = pm n

z+m.

On admet que l’écriture complexe de s2 est z ′ = pnm z+n. 2. a. Montrer que si OMPN est un parallélogramme alors s1 et s2 sont des

translations.

b. On suppose que OMPN n’est pas un parallélogramme. Justifier que s1 et s2 ont chacune un centre, etmontrer que ces deux points sont confondus.

Nouvelle-Calédonie 65 16 novembre 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe 1 (Exercice 1)

Commun à tous les candidats

À rendre avec la copie

2

4

6

8

10

12

14

16

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

D

C

O

Nouvelle-Calédonie 66 16 novembre 2012

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