Algèbre – correction des exercices 9, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Algèbre – correction des exercices 9, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (49.9 KB)
4 pages
227Numéro de visites
Description
Algèbre – correction des exercices 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’espérancemathématique de la variable aléatoire X, En déduire le sens de variation de f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
BacSAmeriqueduNordmai2012.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012 \

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note : — F l’évènement « le membre choisi est une femme », — T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 2

5 .

2. On choisit unmembre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépen- dante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exacte- ment deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choi- sis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− (

7

10

)n

.

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simul- tanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 () réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérancemathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résul- tat obtenu.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points

Partie A Restitution organisée des connaissances

On rappelle que lim t→+∞

et

t =+∞.

Démontrer que lim x→+∞

ln(x)

x = 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x)= x− ln(x)

x .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g (x)= x2−1+ ln(x). Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

2. a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′(x)= g (x)

x2 .

b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.

c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe C .

d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse k de C et D.

a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance MkNk

entre les pointsMk et Nk est donnée parMkNk = ln(k)

k .

b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance MkNk soit inférieure ou égale à 10

−2.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que :

f (0)= 0 et f ′(x)= 1

1+x2 pour tout x de [0 ; 1].

On ne cherchera pas à déterminer f .

Partie A

1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1].

2. Soit g la fonction définie sur [

0 ; π

4

]

par g (x)= f (tan(x)).

a. Justifier que g est dérivable sur [

0 ; π

4

]

, puis que, pour tout x de [

0 ; π

4

]

, g ′(x)= 1.

b. Montrer que, pour tout x de [

0 ; π

4

]

, g (x)= x, en déduire que f (1)= π

4 .

Amérique du Nord 2 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 06 f (x)6 π

4 .

Partie B

Soit (In) la suite définie par I0 = ∫1

0 f (x)dx et, pour tout entier natureln nonnul, In =

∫1

0 xn f (x)dx.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I0 = π

4 − 1

2 ln(2).

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In 6 π

4(n+1) .

c. En déduire la limite de la suite (In).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des pointsM du plan tels que f (M )=M .

2. Soit A le point d’affixe a = p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un

nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centreΩ et d’angle π

2 , montrer queM est un point de Γ3 si

et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i).

c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

)

en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M

soient alignés.

EXERCICE 5 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Amérique du Nord 3 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Soit S la transformation du plan qui, à toutM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S.

2. On note x et x ′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : {

x ′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du pointM sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 y 6 5. On note E l’ensemble de ces pointsM . On rappelle que les coordonnées (x ′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x ′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5.

b. En déduire l’ensemble des pointsM de E de coordonnées (x ; y) tels que

−3x ′+4y ′ = 37.

2. Soit M un point de l’ensemble E et M ′ son image par la transformation S.

a. Démontrer que x ′+ y ′ est un multiple de 5.

b. Démontrer que x ′− y ′ et x ′+ y ′ sont congrus modulo 2. En déduire que si x ′2− y ′2 est multiple de 2 alors x ′− y ′ et x ′+ y ′ le sont également.

c. Déterminer l’ensemble des pointsM de E tels que : x ′2− y ′2 = 20.

Amérique du Nord 4 31 mai 2012

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome