Algèbre - exercices 1, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de R dans R, le plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Un dé cubique a quatre faces noires et deux faces blanches. Quand on lance ce dé, toutes les faces ont la même probabilité d’apparition. On lance ce dé cinq fois de suite.

1. Quelle est la probabilité pour que la face blanche apparaisse pour la première fois au cinquième jet ?

2. Quelle est la probabilité pour que la face blanche apparaisse au moins une fois ?

3. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque épreuve fait correspondre le nombre de faces noires obtenues.

Quelle est la loi de probabilité de X ?

Calculer son espérance mathématique.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction de R dans R définie par :

f (x)= x+Log |x+1|.

1. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un plan P

rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(on précisera les branches infi-

nies).

2. Soit D l’ensemble des points M du plan P dont les coordonnées x et y véri- fient :

−26 x 6λ et f (x)6 y 6 x λ ∈]−2 ; −1[.

Calculer l’aire A (λ) de D. Quelle est sa limite lorsque λ tend vers −1 par va- leurs inférieures ?

PROBLÈME 13 POINTS

Onconsidère unplan affine euclidienP rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

d’axes

xx et y y . Soit a = α+ iβ un nombre complexe. On appelle A le point d’affixe a et A′ le point d’affixe −a. On appelle Ca l’ensemble des points M de P d’affixe z = x+ iy telle que (

z2−a2 )

soit un nombre réel. On appelle C a l’ensemble des points M de P d’affixe z telle que

(

z2−a2 )

soit un nombre imaginaire pur. Dans tout le problème α, β, x et y sont réels.

Partie A

1. Déterminer l’intersection deCa etC a .

2. Donner une équation deCa et une équation de C’a .

3. Déterminer Ca lorsque a2 est réel. Quelle est la nature de Ca lorsque a2 n’est pas réel ?

4. DéterminerC a lorsque a 2 est imaginaire pur.Quelle est la nature deC a lorsque

a2 n’est pas imaginaire pur ?

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Partie B

Onsuppose dans toute la suite du problème que a2 = 4(1−i) et queA auneordonnée négative. Dans ce cas particulier on désignera parH la courbeCa et parH ′ la courbe C a .

1. a. Donner une équation de H ′. Représenter H ′ en précisant ses sommets, ses foyers F′1 et F

′ 2 et ses asymptotes.

b. Donner une équation de H . Représenter H (sur la même figure que H ′) en précisant ses sommets, ses foyers F1 et F2 et ses asymptotes.

2. Calculer le module et un argument de a. En déduire unemesure de l’angle des droites

(

xx, AA′ )

.

3. Soit S la symétrie orthogonale par rapport à la droite AA′.

a. Calculer les coordonnées de M ′ = S(M) en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

b. Montrer que S(H)=H ′ et que S ({F1, F2})= {

F′1, F ′ 2

}

.

4. Soit K l’ensemble {

F1, F2, F′1, F ′ 2

}

. Trouver l’ensemble G des isométries de P qui laissentK invariant. Vérifier que tout élément deG laisseH H ′ invariant.

5. Étant donné un nombre réel t supérieur à 2, on se propose de calculer l’aire de la partie E ′ du plan P comprise entre H ′ et la droiteD ′ d’équation x = t .

a. Donner une équation de la droite D image de D ′ par S et calculer les abscisses x1 et x2 (x1 < x2) des points d’intersection deD et H .

b. Soit E la partie du plan P comprise entre H et la droite D. Calculer l’aire de E en fonction de t .

c. Exprimer l’aire de E ′ par une intégrale.

En admettant que E et E ′ ont même aire, déduire une primitive de l’ap- plication f de [2 ; +∞[ dans R définie par

f (x)= √

x2−4.

Poitiers 2 juin 1977

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