Algèbre - exercices 2, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble S des paires, l’application affine.
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[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Étant donnés deux entiers naturels non nuls a et b, on désigne respectivement par d etm le PGCD et le PPCM de a et b. Déterminer l’ensemble S des paires {a ; b} telles que

d +m = 126 et 5< d < 10.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction de R dans R définie par :

{

f (x) = xe1−x 2

si x 6 1 f (x) = ax2+bx si x > 1où (a ; b) ∈R2.

1. Déterminer a et b pour que f soit continue et dérivable au point 1.

2. Étudier alors les variations de f et construire sa représentation graphiquedans

un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

3. On désigne par D l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) sont telles que :

06 x 6 3

2 et 06 y 6 f (x).

Calculer l’aire A deD.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit P un plan affine euclidien orienté, V le plan vectoriel associé à P et (

O, −→

ı , −→

)

un repère orthonormé direct de P.

1. Vérifier que le sous-ensemble E de P d’équation 4x2+9y2−16x+18y−11 = 0 est une ellipse dont on précisera le centreω, les sommets, les foyers, les direc- trices et l’excentricité. Représenter E.

2. Soit g l’application affine admettant ω comme point invariant et dont l’endo-

morphisme associé ϕ a pour matrice par rapport à la base (

−→

ı , −→

)

:

(

1 0

0 3

2

)

Vérifier que g est bijective. Calculer les coordonnées de g (M) en fonction des coordonnées (x ; y) deM . Montrer que g (E), l’image de E par g , est le cercle C ayant pour diamètre le grand axe de l’ellipse E.

3. K étant un sous-ensemble de P, on dit qu’une bijection affine f de P dans P laisse K invariant si et seulement si f (K) = K . Montrer que l’ensemble F des bijections affines f de P dans P qui laissent K invariant, muni de la loi de com- position des applications, est un groupe.

4. a. On appelle G le groupe des bijections affines de P dans P qui laissent E invariant. Donner des exemples d’éléments deG.

b. On appelle G1 le groupe des bijections affines de P dans P qui laissent C invariant.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

i. Montrer que f1, appartient àG1 si et seulement si g−1 ◦ f1 ◦g appar- tient àG.

ii. Soit h l’application deG1 dansG définie par :

h (

f1 )

= g−1 ◦ f1 ◦ g .

Montrer que h est un isomorphisme deG1 sur G.

5. Soit f1 une bijection affine de P dans P qui laisse C invariant.

a. On pose ω1 = f1(ω). Un diamètre de C passant par ω1, coupe C en A, et B1. Soient A = f −11 (A1) et B = f

−1 1 (B1). En utilisant les propriétés des

bijections affines, montrer que w1 =ω.

b. Soit ϕ1 l’endomorphisme associé à f1. Montrer que, pour tout vecteur −→

V de V , le point M tel que −−→

ωM = 3

−→

V ∥

−→

V appartient au cercle C, et en

déduire que ∥

ϕ1

(

−→

V )∥

∥=

−→

V ∥

∥.

c. En déduire que les éléments de G1 sont des isométries affines que l’on déterminera,

6. a. Déduire des questions précédentes que les bijections affines f apparte- nant àG laissent ω invariant.

b. Donner la forme générale des matrices par rapport à la base (

−→

ı , −→

)

des

endomorphismes qui leur sont associés.

c. Quelles sont les isométries affines deG ?

Poitiers 2 septembre 1977

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