Algèbre - exercices 3, Exercices de Algèbre linéaire

Algèbre - exercices 3, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (38.6 KB)
2 pages
88Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique sur l'algèbre 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité de f, Déterminer l’ensemble des points M de P, Utiliser la question 2.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ReimsCjuin1977*.dvi

[ Baccalauréat C Reims juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f la fonction de R vers R définie par

{

f (x) = x ex si x 6 0 f (x) = x Log x−2x si x > 0

1. Étudier la continuité de f .

2. Étudier la dérivabilité de f .

3. Étudier complètement la fonction f et construire sa représentation graphique dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé (unité : 1 cm) .

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé, on appelle affixe de tout point M de coordonnées (x ; y) le nombre complexe z = x + iy , et l’on pose z = x− iy .

1. Déterminer l’ensemble des points M de P dont l’affixe z vérifie la relation

∣2iz−1− i ∣

∣= p 2.

2. Soit T l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = 2iz−1− i.

a. Montrer que T admet un point invariantΩ unique.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que −−−→ ΩM ′ = 2

−−−→ ΩM .

c. Indiquer alors la nature et les éléments géométriques précis de l’appli- cation T .

3. Utiliser la question 2. pour retrouver les résultats de la question 1. par une méthode géométrique.

PROBLÈME 12 POINTS

Etant donné un espace vectoriel E de base (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

on note L (E ) l’espace vecto-

riel des endomorphismes de E . Soit f et fa, b les éléments de L (E ) définis par

f

f (−→ ı )

= 1

3

(−→ ı +

−→ ı +

−→ k )

f (−→ )

= 1

3

(−→ ı +

−→ ı +

−→ k )

f (−→ k )

= 1

3

(−→ ı +

−→ ı +

−→ k )

fa, b

fa, b

(−→ ı )

= (a

3 +b

)−→ ı +

a

3

−→ +

a

3

−→ k

fa, b

(−→ )

= a

3

−→ ı +

(a

3 +b

)−→ +

a

3

−→ k

fa, b

(−→ k )

= a

3

−→ ı +

a

3

−→ +

(a

3 +b

)−→ k

L’application

E → E −→ u 7−→

−→ u

sera notée e,

l’application

E → E −→ u 7−→

−→ 0

sera notée θ.

Partie A

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. Déterminer le noyau, l’image et l’ensemble des vecteurs invariants par f . En déduire que f est une projection que l’on caractérisera. Montrer que f f = f .

2. Montrer que l’ensemble F des endomorphismes de C du type fa, b lorsque a et b décrivent R, est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (E ) et que ( f , e) est une base de F . Comment s’écrit fa, b dans cette base ?

3. Montrer que F , muni de l’addition des applications et de la composition (no- tée ◦) des applications, est un anneau unitaire. Cet anneau est-il commutatif ? Cet anneau est-il un corps ? (On rappelle que L (E ), muni de l’addition et de la composition, est un anneau unitaire).

4. Soit ϕ=α f +βe un élément de F . On pose

ϕ=ϕ1 et ϕn ϕ=ϕn+1 pour tout entier n> 1.

Démontrer par récurrence que

n ∈N⋆, ϕn = [

(α+β)n βn ]

f +βne.

5. Déterminer les éléments de F qui sont involutifs. Préciser la nature et les élé- ments de ces involutions.

Partie B

Onsuppose dans cette partie queE est un espace vectoriel euclidien, que (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

en est une base orthonormée, et que E est un espace affine de repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit O′ le point de E de coordonnées ( 2 3 ;

2 3 ;

2 3

)

. Soit s l’application affine de E dont l’endomorphisme associé est f−2, 1 et telle que s(O) = O′.

1. Déterminer l’image par s du point I de E de coordonnées (1 ; −1 ; 1). 2. Montrer que s est une isométrie involutive dont on précisera la nature et les

éléments géométriques.

3. SoitQ le plan affine d’équation 2xyz+3= 0. Déterminer l’image deQ par s.

(Pour déterminer l’image deQ par s on pourra définir sa position par rapport aux éléments de s ou employer une méthode analytique).

Reims 2 juin 1977

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document