Algèbre - exercices 4, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, les équations en x.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct. Le complexe z = x + iy est l’affixe du point M de coordonnées (x ; y) de ce plan. z est le conjugué de z.

1. Déterminer la nature et les éléments de chacune des applications S1 et S2 de P dans P qui associent au point M d’affixe z respectivement les points S1(M) d’affixe z1 = iz et S (M) d’affixe z2 = 2iz+5i.

2. Déterminer l’ensemble E des points M du plan pour lesquels la distance des points S1(M) et S2(M) est égale à 1.

Préciser la nature et les éléments de symétrie de E .

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit K =Z/7Z= {

Ȯ, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇, 5̇, 6̇ }

.

1. a désignant un paramètre, élément de K , résoudre et discuter dans K l’équa- tion en x : x2 = a.

Montrer que l’équation x2+ 2̇px + q = 0̇, où p et q sont deux éléments de K , admet deux racines distinctes ou confondues dans K si et seulement si δ = p2−q appartient à un sous-ensemble G de K .

2. Résoudre dans K les équations en x :

a. x4− 5̇x+ 6̇= 0̇.

b. x3+ x− 2̇= Ȯ.

(On remarquera que cette dernière équation admet la solution x = 1̇) .

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

P est unplan affine rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Ox etOy sont les droites affines

passant par O et admettant pour vecteur directeur respectivement −→ ı et

−→ .

a, b, c étant trois réels donnés, T est l’application affine deP dansP qui associe au pointM de coordonnées (x ; y) le pointM ′ = T (M) de coordonnées

(

x′ = x, y ′ = ax+by +c )

.

1. Quelle est la nature de T dans les cas particuliers suivants :

a. a = c = 0, b = 1

b. a = 0, b = 1, c 6= 0

c. b = 0

2. Écrire la matrice de l’application linéaire associée à T dans la base (

−→ ı ,

−→ ı

)

.

À quelle condition doivent satisfaire les réels a, b, c pour que T soit bijective ?

À quelle condition doivent satisfaire les réels a,b,c pour que T soit involutive ?

Quelle est la nature de la transformation T lorsque b =−1 ?

Déterminer l’ensemble I des points de P invariants par T .

Discuter la nature de I suivant les paramètres (a, b, c).

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

3. On suppose que les réels a,b, c sont tels que T est bijective et que l’ensemble I des points invariants est une droite. SoitM0 un point de P n’appartenant pas à I , M ′0 = T (M0) , M un point de P tel que la droite (M0M) n’est pas parallèle à Oy etM ′ = T (M).

Montrer que les trois droites I , (M0M) et (

M ′0M ′ )

sont concourantes ou paral- lèles.

En déduire une construction géométrique simple de M ′ = T (M) pour tout point M du plan P connaissant I , M0 ∉ I et M ′0 = T (M0). (On supposera d’abord que la droite (M0M) n’est pas parallèle à Oy).

4. Montrer que la transformation T est déterminée si l’on suppose qu’elle admet pour ensemble I des points invariants la droite d’équation y = x+1 et que le point M0 de coordonnées (3 ; −2) a pour image M ′0 de coordonnées (3 ; 1). (Pour ce faire, on déterminera les réels (a, b, c) correspondant à T ). . Vérifier que, dans ce cas, T est bijective.

Construire géométriquement l’imageM ′1 dupointM1 de coordonnées (−1 ; 2), puis l’image M ′′0 du point M

′ 0, enfin l’antécédent T

−1 (M0) deM0.

(Le candidat fera le dessin sur la feuille depapier quadrillé qui lui est remise en

supposant le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé (l’origine étant sensiblement au

centre de la feuille) et en prenant le centimètre comme unité. On expliquera brièvement ses constructions).

SoitM un point quelconque deP ,H le projeté deM sur I parallèlement à Oy .

Vérifier, par le calcul et sur le dessin, que −−−→ HM ′ =

1

2

−−−→ HM .

Partie B

On suppose les trois réels a, b, c donnés, b étant différent de 0.

t est la translation de P de vecteur − −→ ı (opposé de

−→ ı ). f est une application de R

dans R. Γ est la courbe d’équation y = f (x) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que si f est telle que T (Γ)= t(Γ), alors,

x ∈R, f (x+1)= ax+b f (x)+c.

En déduire que, si f est deux fois dérivable sur R, sa dérivée f ′ satisfait à la condition :

n ∈N, f ′′(n)= bn f ′′(0).

2. β désignant un réel positif ou nul, déterminer les fonctions g deR dansR deux fois dérivables et telles que :

x ∈R, g ′′(x)= g ′′(0)eβx .

3. Suppossant b > 0, on se propose de déterminer les applications f de R dans R deux fois dérivables, satisfaisant à la condition :

x ∈R, f (x+1)= ax+b f (x)+c

et telles que :

x ∈R, f ′′(x)= f ′′(0).bx = f ′′(0)ex lnb

(lnb : logarithme népérien de b)

En utilisant les résultats de la question 2. précédente, montrer que les fonc- tions solutions sont telles que :

Rennes 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

a. si b = 1, ∀x ∈R, f (x)= a

2 x2+ (c

a

2 )x+ f (0)

b. si b 6= 1, ∀x ∈R, f (x)= a

1−b x+

[

c

1−b

a

(1−b)2

]

(1−bx )+ f (0)bx .

4. Soit a = b = c = 1

2 . Étudier dans ce cas les variations de la fonction f1 solution

du problème posé dans la question précédente, et telle que f1(0)= 1. Tracer la courbe Γ1 d’équation y = f1(x).

Partie C

a, b, c étant trois réels donnés tels que b 6= 0,U = (un , n ∈N) est la suite réelle de premier terme u0 et telle que :

n ∈N, un+1 = an+bun +c.

1. Montrer que s’il existe une courbe Γ définie dans la partie B (c’est-à-dire telle que T (Γ)= t(Γ), T correspondant aux trois réels a, b, c) qui passe par le point de coordonnées (0 ; u0), alors tous les points de coordonnées (n ; un ), n ∈N, appartiennent à Γ.

En déduire un en fonction de n lorsque b = 1, puis lorsque b est strictement positif et différent de 1.

Montrer que la formule donnant un en fonction de n pour b ∈R⋆+− {1} s’étend au cas b < 0.

2. Comment faut-il choisir a, b, c et u0 pour que la suiteU soit :

a. constante

b. une suite arithmétique

c. une suite géométrique ?

3. Comment faut·il choisir a, b, c et u0 pour que la suite U soit convergente ? Calculer alors sa limite.

Rennes 3 juin 1977

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