Algèbre - exercices 5, Exercices de Algèbre linéaire

Algèbre - exercices 5, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la variable aléatoire numérique définie, la loi de probabilité de X.
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[ Baccalauréat C Rennes septembre 1977 \

EXERCICE 1 3,5 POINTS

Une épreuve consiste à tirer au hasard une carte d’un jeu ordinaire (jeu de piquet) de 32 cartes ; on suppose que toutes les cartes ont la même chance d’être tirées. On associe à cette épreuve un espace (Ω, B, P) comprenant 32 éventualités, tel que B =P (Ω) et dans lequel tous les singletons sont équiprobables.

1. X est une variable aléatoire numérique définie sur Ω qui ne peut prendre que les 4 valeurs : 0, 1, 2 ou 3.

On sait que :

il existe dans (Ω, B, P) deux évènements A et B tels que :

P(A) = P(B) = 1

2

P(A B)= 3

8 A = {ω X> 1} si ω B , si ω B, X (ω) ∈ {1, 3}.

P(X= 1)6 P(X = 2)

P(X= 0)= 3

8 .

Montrer que ces données suffisent pour connaître la loi de probabilité de X et déterminer cette loi en calculant pour chaque valeur k que peut prendre X la probabilité Pk = P(X= k).

2. On sait également que X ne dépend que de la valeur de la carte tirée (as, roi, dame, valet, dix, neuf, huit, sept) et non de sa couleur (trèfle, carreau, coeur, pique) ; qu’elle prend la valeur 3 si l’on tirer une figure (roi, dame, valet) ; que sa valeur est la même pour tous les tirages possibles d’une basse carte (sept, huit, neuf) ; enfin que la valeur prise par X lorsqu’on tire l’as de pique est stric- tement supérieure à la valeur correspondant au tirage d’un dix, d’un neuf, d’un huit ou d’un sept. Quels sont les évènements A et B ?

EXERCICE 2 2,5 POINTS

On pose :

I1 =

π

2

0

cosx

1+2sinx dx, I =

π

2

0

sin2x

1+2sinx dx, I1+ I = I2

1. Calculer I2 ;

2. Calculer I1 ;

3. En déduire I .

PROBLÈME 14 POINTS

P est un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. À tout point m de coordonnées (x ; y) dans ce repère est associé le nombre com- plexe z = x + iy appelé affixe du point m. On appelle A et B les points de P d’affixes respectives i et −i.

Partie A

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. On considère la relation de C vers C qui associe au complexe z le complexe z − i

z + i . Montrer que tout complexe distinct de −i (c’est-à-dire tout élément de

C− {−i}) a une image et que toute image est un complexe distinct de 1 (c’est- à-dire un élément de C− {1}).

2. Soit ϕ l’application de C− {−i} dans C− {1} définie par :

ϕ(z)= z − i

z + i .

Montrer que ϕ est bijective.

3. Quel est le sous-ensemble P1 de P des points m dont l’affixe z vérifie la pro- priété |ϕ(z)< 1 ?

4. k étant unnombre réel donné vérifiant 06 k < 1,montrer que le sous-ensemble P2 de P1 des points m dont l’affixe z vérifie la propriété |ϕ(z)| = k est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Partie B

On désigne parU l’ensemble des nombres complexes de module 1. À tout élément u = a + ib (a ∈ R, b ∈ R) de cet ensemble, on fait correspondre la fonction fu associant à tout point m d’affixe z de P1 le point M de P1 d’affixe Z telle que :

Z = az b

bz +a .

1. Vérifier que, quel que soit l’élément u de U , fu est définie en tout point de P1, que c’est une bijection de P1 sur P1. Montrer qu’il existe un point de P1, et un seul, qui soit invariant par chaque fu quel que soit u U . On désigne l’ensemble des bijections fu par E .

2. Soit g l’application deU dans E définie par g (u)= fu .

Montrer que tout élément de E est l’image par g de deux éléments deU .

Si g (u)= g (

u′ )

, u′ 6= u, quelle relation existe-t-il entre u et u′ ?

3. Rappeler la structure de (U , ×) (c’est-à-dire U muni de la multiplication des complexes).

Etant donné un élément de E correspondant à u, élément de U : fu montrer que la bijection réciproque f −1u est un élément de E . Quels sont les éléments de U qui correspondent à cette bijection réciproque f −1u (c’est-à-dire quels sont les éléments v deU tels que g (v)= f −1 ?

Montrer que l’identité de P1 est élément de E . Quels sont les éléments corres- pondants deU ?

u1 et u2 étant deux éléments deU , montrer que fu2 ◦ fu1 est élément de E .

En déduire la structure de l’ensemble E muni de la loi de composition des applications : (E , ◦).

Que peut-on conclure de cette étude pour l’application g définie à la question précédente ?

4. Dans cette question, on se place dans le cas u = i.

Γ étant le cercle de centre O et de rayon 1, on pose Γ1 = Γ∩ P1. Quelle est l’image de Γ1 par fi ?

À quelle transformation ponctuelle simple se réduit la restriction de fi à Γ1.

D étant la droite d’équation x+py = 0 (p ∈R), on pose D1 = D∩P1. Quelle est l’image de D1 par fi ?

Partie C

Rennes 2 septembre 1977

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

On définit dans l’ensemble P1 la relation binaire R de la manière suivante : M1 et M2 étant deux points quelconques de P1, MJ1RM22 signifie qu’il existe une bijection fu telle que : M2 = fu (M1).

1. Montrer que R est une relation d’équivalence dans P1.

2. On se propose de définir les classes d’équivalence déterminées dans P1 par la relation R.

m0 étant un point quelconque de P1, on désigne par C (m0) sa classe d’équi- valence.

Soit z0 l’affixe de m0 et z l’affixe d’un point quelconque M de C (m0).

Établir que z vérifie une relation de la forme ϕ(z) = αϕ (z0) où α est un élé- ment de U. Réciproquement, montrer que tout point M de P1 d’affixe z véri- fiant une relation de la forme ϕ(z)=αϕ (z0) où |α| = 1 appartient à C (m0).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante à laquelle doit satisfaire |ϕ(z)| pour que le point M d’affixe z appartienne à C (m0).

Déterminer la classe d’équivalence du point m0.

Quelle est, en particulier, la classe d’équivalence du point A ?

Rennes 3 septembre 1977

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