Algèbre - exercices 9, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Trouver l’ensemble des entiers naturels diviseurs du nombre 5 929, Déduire de l’étude de ses variations.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Trouver l’ensemble des entiers naturels diviseurs du nombre 5929.

2. Trouver les couples (a ; b) d’entiers naturels dont le P. G. C. D. et le P. P. C. M. sont les solutions de l’équation

x2−91x+588 = 0.

EXERCICE 2 5 POINTS

1. Soit ϕ la fonction réelle de variable réelle, qui, à x, associe

ϕ(x)= x2+Log x

Déduire de l’étudede ses variations que cette fonction s’annule pour une seule

valeur x0 de la variable, comprise entre 1

e et 1. (On ne cherchera pas à calculer

x0)).

2. Soit f la fonction réelle de variable réelle, qui, à x, associe

f (x)= 1− x+ 1+Log x

x .

Étudier les variations de f . Montrer que la représentation graphique C de f dans un repère orthonormé d’axes Ox et Oy , admet deux asymptotes, dont l’une D n’est pas parallèle à Oy ; préciser la position deC par rapport àD.

(On ne cherchera ni la valeur dumaximum, ni les abscisses des points d’inter- section avec Ox, ni le point d’inflexion).

3. Construire C .

4. Calculer l’aire de l’ensemble E des points M(x ; y) définis dans le repère (Ox, Oy) par

1

e 6 x6 1 et 06 y 6 1− x+

1+Log x

x .

On utilisera les valeurs numériques 1

e ≈ 0,368 ;

1

e2 ≈ 0,134.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

et soit V

l’espace vectoriel associé.

1. On considère l’ensemble E des pointsm de P dont les coordonnées ( ; y) véri- fient l’équation

x2+4y2 = 4

Identifier E, déterminer ses foyers, les directrices associées et l’excentricité.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. Soit s l’application affine de P dans P qui au point M(X ; Y ) associe le point M

(

X ′ ; Y ′ )

défini par les formules

s

X ′ = 3

5 X +

8

5 Y

Y ′ = 2

5 X

3

5 Y

a. Démontrer que s est bijective et déterminer s−1 ; en déduire la nature de s et les éléments géométriques qui la caractérisent.

b. Démontrer que E est globalement invariante par s.

3. Soit g l’application affine de P dans P définie par :

g

X ′ = 3

5 X

8

5 Y

Y ′ = 2

5 X +

3

5 Y

a. u étant la symétrie orthogonale d’axe x′Ox, démontrer que g = s u.

b. Établir que E est globalement invariante par g .

4. Étude de l’ensemble F des applications affines f de P dans P laissant E glo- balement invariante.

a. Montrer que toute application f appartenant à F est bijective. En utili- sant le fait qu’une ellipse admet un centre de symétrie unique, prouver que, pour toute application f appartenant à F , f (O) = O.

Montrer que F est un groupe pour la loi de composition des applica- tions.

b. Montrer que l’application a définie par

a :

{

X ′ = X

Y ′ = 2Y

transforme E en un cercleC ; déterminer a−1.

c. Prouver que a f a−1 transforme C en C . Montrer que les transforma- tions affines qui conservent C sont les isométries affines laissant O inva- riant. En déduire que :

a f a−1 est de la forme

{

X ′ = X cosα+ǫY sinα Y ′ = X sinαǫY cosα

ǫ=±1

En déduire la forme générale des équations de f . Quelles sont les valeurs de α et de ǫ qui donnent les applications s et g ?

Toulouse 2 juin 1977

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