Algèbre - exercitation 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Algèbre - exercitation 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 10 sur l’application. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que f est une -application linéaire, Déterminer le noyau Ker f et l’image Im f.
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[ Baccalauréat C Limoges septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

C étant un espace vectoriel sur R, on considère l’application :

f :

{

C → C

z 7−→ f (z)= az+bz

(z désigne le nombre complexe conjugué de z). où a ∈ R+ et où b est le nombre complexe de module a et d’argument θ, θ étant un réel différent de (k ∈Z).

1. Montrer que f est une -application linéaire dont on donnera la matrice dans la base (1 ; i) de C.

2. Déterminer le noyau Ker f et l’image Im f (on exprimera un vecteur de Ker f et un vecteur de Im f en fonction de θ seul).

3. Montrer que Ker f ⊕ Imf =C.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit un sac contenant six jetons numérotés, 0, 0, 1, 2, 3, 6. On tire successivement trois jetons, en notant à chaque fois le numéro inscrit sur le jeton et en remettant à chaque fois le jeton tiré dans le sac. On admet que tous les tirages sont équiprobables. On obtient ainsi un triplet de nombres (a, b, c) et à chacun d’eux on associe la fonc- tion polynôme

f : x 7−→ f (x)= ax2+bx+c.

On définit une variable aléatoire X (ou aléa numérique) en associant à chaque triplet obtenu le degré du polynôme f (on conviendra que le polynôme nul est de degré 0). Déterminer la loi de probabilité de X ; calculer l’espérance mathématique de X.

PROBLÈME 12 POINTS

α est un nombre réel strictement positif différent de 1.

Partie A

On considère l’application :

: R+ → R

t 7−→

(t) = t +

2 si t 6= 0

(0) = 0

On appelle () la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

1. Étudier la continuité de en x = 0.

2. Étudier les variations de .

3. Préciser suivant les valeurs de α la demi-tangente à la courbe () au point d’abscisse 0 ainsi que la branche infinie de la courbe ()

Dans chaque cas donner l’allure générale de la courbe ().

Partie B

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Soit V2 l’espace vectoriel réel, euclidien orienté de dimension 2 rapporté à la base orthonormée directe (rD. t étant fixé, t réel strictement positif, on considère l’application linéaire Tt de V2 dans V2 dont la matrice dans la base

(

−→ ı ,

−→ )

est :

t +

2

t

2 t

2

t +

2

1. On considère :

= {

−→ u V2| Tt

(

−→ u )

=λ −→ u }

λ étant un réel donné.

Montrer que si t est différent de 1, il existe deux réels distincts λ1 et λ2 tels que 1 et 2 ont d’autres éléments que le vecteur nul.

Montrer que 1 et 2 sont deux droites vectorielles dont on choisira des

bases respectives −→ u1 et

−→ u2 telles que

(

−→ u1 ,

−→ u2

)

soit une base orthonormée di-

recte de V2. Écrire la matrice de Tt dans la base (

−→ u1 ,

−→ u2

)

.

2. Soit M l’ensemble des applications Tt quand t décrit R⋆+. Montrer que (M , ◦) est un groupe commutatif isomorphe à

(

R ⋆

+, × )

, la loi ◦ étant la loi de compo- sition des applications.

3. Onconsidère l’espace affine euclidienE2 associé àV2. SoitR le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Soit b t l’application affine d’endomorphisme associé Tt et admettant O pour point invariant. Soit A le point de coordonnées x = 0, y = 1 ; soit A1 son trans- formé par Tt .

Déterminer les coordonnées de A1 dans le repère R1 déduit de R par la rota-

tion de centre O et d’angle π

4 .

4. On considère le point B dont les coordonnées dans R1 sont X = t , Y = .

Montrer que B se déduit de A1 par une transformation simple que l’on déter- minera.

Limoges 2 septembre 1979

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