Algèbre - exercitation 11, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Algèbre - exercitation 11, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 11 sur l'espace vectoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’endomorphisme, le noyau, l'équation cartésienne.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lyon juin 1979 \

EXERCICE 1 3,5 points

Soit E un espace veetoriel de dimension 3 rapporté à la base (

−→

ı , −→

, −→

k )

.

On considère l’endomorphisme ϕ de E défini par 

ϕ (

−→

ı )

= −6 −→

ı +12 −→

−6 −→

k

ϕ (

−→

)

= −4 −→

ı +8 −→

−4 −→

k

ϕ (

−→

k )

=

−→

0E .

1. Déterminer le noyau de ϕ, en donner une équation cartésienne.

Déterminer l’image de ϕ, en donner une base.

Démontrer que le noyau et l’image de ϕ sont deux sous-espaces vectoriels suppémentaires de E.

2. Soit −→

u un vecteur quelconque de l’image deϕ. Exprimerϕ (

−→

u )

en fonction de −→

u .

3. Démontrer que ϕ est l’endomorphisme composé d’une projection vectorielle et d’une homothétie vectorielle à déterminer.

EXERCICE 2 3,5 points

On considère le système d’inconnue (x ; y) dans R2

{

x−2y = 3 axby = c

ou a, b, c désignent trois paramètres éléments de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pour déterminer a, b, c on lance trois fois un dé cubique supposé parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le premier numéro sorti donne a, le second b et le troisième c.

1. Donner un espace probabilisé fini associé à cette situation.

2. Calculer les probabilités :

a. p1 pour que le système ait une infinité de solutions ;

b. p2 pour qu’il n’ait aucune solution ;

c. p3 pour qu’il ait une solution unique ;

d. p4 pour qu’il admette la solution unique (3 ; 0).

On donnera les résultats sous forme de fractions ayant 108 pour déno- minateur.

PROBLÈME 13 points

Soit a un réel strictement positif. Dans ce problème on cherche à résoudre dans R⋆ + :

l’équation

(Ea) a x = xa .

d’inconnue x et de paramètre a, équation qui admet évidemment la solution x = a. Pour cela on utilise les fonctions

Terminale C A. P. M. E. P.

fa : x 7−→ x a ga : x 7−→ a

x ha : x 7−→ x logaa logx.

L’étude des fonctions f et ga figurant au programme de Terminale C, le candidat pourra utiliser sans justification tout résultat concernant ces fonctions. Au besoin, il considèrera que la fonction fa est prolongée par continuité au point 0 et que fa (0)= 0. I - Étude de cas particuliers

1. On suppose a = e.

a. Dresser le tableau des variations de la fonction he.

b. En déduire la résolution de l’équation (Ee).

c. Démontrer que l’on a x

logx > e pour tout x > 1.

2. On suppose a = 2.

a. Dresser le tableau des variations de la fonction h2 et la représenter gra- phiquement dansunplanmuni d’un repère orthonorméenprenant 2 cm pour unité de longueur. On placera en particulier les points d’abscisses entières n6 5.

b. En déduire que l’équation (E2) admet exactement deux solutions.

c. Calculer l’aire A du domaine limité par les courbes représentatives de f2 et g2 (supposées tracées avec lemême repère orthonormé, mais on ne demande pas les courbes) et situé entre les droites d’équations x = 2 et x = 4.

II - Étude du cas 0< a < 1

1. Dresser le tableau des variations de la fonction fa ga .

2. En déduire que l’équation (Ea) n’a pas d’autre solution que la solution a.

III - Etude du cas a > 1 et a = 1= e

1. Dresser le tableau des variations de la fonction ha .

2. Déduire de 1. et de la question (I - 1. c.) que ha admet un minimum stricte- ment négatif.

3. En déduire que l’équation (Ea) admet exactement deux solutions a et b.

4. Démontrer que l’on a toujours b > 1 et que l’on a b < a si et seulement si a > e.

IV - Étude des solutions entières de (Ea) lorsque a ∈N⋆− {1} Le cas a = 2 ayant été traité au I, on suppose ici que a est un naturel strictement supérieur à 2. Dans ce cas l’étude faite au III prouve l’existence d’un réel b vérifiant ab = ba et 1< b < a. On se propose de chercher si b est aussi un naturel.

1. Pour quelle valeur de a peut-on avoir b = 2 ?

On suppose désormais b ∈N et b> 3.

2. a. Prouver que a et b ont les mêmes diviseurs premiers.

b. Soit p undiviseur premier communà a etb ,α etβ ses exposants dans les décompositions respectives de a et b en facteurs premiers. Démontrer que ab =βa.

c. Déduire de a. et b. que a est un multiple de b et que si a = kb, alors bk−1 = k.

d. Démontrer que l’on a bn−1 > n pour tout naturel n> 2.

e. Conclure.

Lyon 2 juin 1979

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