Algèbre - exercitation 13, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 13 sur les nombres complexes z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: dèfinir le plan affine de E d’équation, dèfinir la droite affine passant par le point A de coordonnée...
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[ Baccalauréat C Metz–Nancy juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Trouver les nombres complexes z tels que

z2+ (1+ i)z+ i= 0.

2. Déduire du 1 les solutions dans C des trois équations suivantes :

a. z2+ (1− i)zi = 0 ;

b. 1+ (1+ i)z+ iz2 = 0 ;

c. z4+ (1+ i)z2+ i= 0.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, et soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère

orthonormé de E.

On désigne par P le plan affine de E d’équation

x+ y + z = 3,

et par D la droite affine passant par le point A de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et dirigée par −→

−→ k .

1. Montrer que D est située dans P.

2. Montrer qu’il existe un unique plan affine P1 tel que la symétrie sD orthogo- nale d’axe D soit la composée de la symétrie sP orthogonale par rapport à P

par la symétrie sP1 orthogonale par rapport à P1.

Donner une équation cartésienne de P1.

3. Soit P2 le plan parallèle à P1 passant par O.

a. Donner une équation cartésienne de P2.

b. Déterminer les coordonnées de l’image de A par la projection orthogo- nale sur P2.

c. Déterminer sans nouveaux calculs sP2 ◦ sP1 où l’on désigne par sP2 la sy- métrie par rapport à P2.

PROBLÈME 4 POINTS

Partie A

Pour tout x > 0, on pose

f (x)= x−1− log x,

où la notation logx désigne le logarithme népérien de x.

1. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère ortho- normé Oxy , en précisant notamment les branches infinies.

2. Soit h un nombre réel donné tel que 0< h6 1.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

a. Calculer l’aire A (h) du domaine Dh formé des points dont les coordon- nées (x ; y) vérifient les inégalités

h6 x6 1 et 06 y 6 f (x).

b. Calculer la limite de A (h) quand h > 0 tend vers 0.

3. De l’étude de f , déduire que pour tout x > 0, on a l’inégalité

logx 6 x−1. (1)

Partie B

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On donne n nombres réels strictement positifs

a1, a2, . . . , an et on pose

u = 1

n (a1+a2+·· ·+an) ;

v = n p a1a2 . . .an ;

n

w =

1

a1 +

1

a2 +·· ·+

1

an

Les nombres u, v et w sont respectivement les moyennes arithmétique, géomé-

trique et harmonique des n nombres a1, a2, · · · ,an .

1. a. En appliquant l’inégalité (1) successivement pour

x = a1

u , x =

a2

u , . . . , x =

an

u

et en combinant les n inégalités obtenues, montrer que

v 6u. (2)

b. Dans quel cas a-t-on v =u ?

2. a. En remplaçant dans (2) les n nombres a1, a2, . . . , an par leurs inverses, prouver que

w 6 v. (3)

b. Dans quel cas a-t-on w = v ?

N.B. - les parties C et D ci-après sont indépendantes.

Partie C

Soit x un nombre réel supérieur à zéro. On prend n = 2, a1 = 1 et a2 = x. Dans ce cas les inégalités (2) et (3) donnent

2x

1+ x 6

p x 6

1+ x

2 .

On se propose prendre comme valeur approchée de p x la moyenne arithmétique

m(x) des nombres 2x

1+ x et

1+ x

2 .

1. Pour étudier la précision de cette approximation, tracer la courbe représenta- tive de la fonction g définie par

g (x)= x2+6x+1

4(x+1) − p x,

pour x réel supérieur à zéro.

N.B. -Pour discuter du signe de la dérivée de g , on pourra poser p x = 1+ t et

constater que g (x) passe par unminimum pour x = 1.

Metz–Nancy 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. En déduire que, pour 1

2 6 x 6 2, on a

06m(x)− p x6

3

1000 .

Partie D

1. En appliquant l’inégalité (2), montrer que, pour tout entier n > 0, on a l’inéga- lité

n p n!6

n+1

2 .

2. a. Par des considérations d’aires, montrer que

n

k=1

1

k 6 1+

n

1

1

x dx.

b. En déduire que, pour tout entier n > 0, on a l’inégalité

n

1+ logn 6

n p n!.

Metz–Nancy 3 juin 1979

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