Algèbre - exercitation 3, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Algèbre - exercitation 3, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 3 sur le repère orthonormé direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelle est la nature de la transformation F ? Étudier les variations de la fonction.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Grenoble juin 1979 \

PREMIER EXERCICE 3,5 points

Leplan affine euclidienorienté est rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit a un réel strictement positif, A le point de cordonées (a ; 0) et B le point de cordonées (a ; a). On désigne par R la rotation de centre O et d’angle droit direct, par S la symétrie par rapport au point B, et par R′ la rotation de centre A et d’angle droit rétrograde. On pose F = R′ ◦S◦R.

1. Quelle est la nature de la transformation F ?

Préciser ses éléments caractéristiques (on pourra construire l’image par F du point C défini par C = R−1(B)).

2. Soit D la droite d’équation x+ y = a et SD la symétrie orthogonale par rapport à D. Déterminer la transformation composée SD◦ F.

DEUXIÈME EXERCICE 3,5 points

1. Soit p un entier naturel premier. Trouver tous les entiers relatifs α vérifiant la congruence α2 ≡ 0

(

modp2 )

.

En déduire la résolution dans l’ensemble Z/p2Z de l’équation x2 = 0̇.

(a étant un entier la notation désigne la classe de a, élément de Z/p2Z).

2. Résoudre dans Z/49Z l’équation :

x2+ 1̇6x+ 1̇5= 0̇.

PROBLÈME 13 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment, sauf indication contraire du texte.

Il sera tenu compte de la précision de la rédaction.

Soit E l’ensemble des nombres complexes différents de −1 ; 0 et 1.

A.

1. On pose :

e(z)= z f (z)=− 1

z

g (z)= z−1

z+1 = 1−

2

z+1 h(z)=

z+1

1− z =−1+

2

1− z Montrer que ces relations définissent des applications bijectives e, f , g , h de E dans E.

2. Soit G l’ensemble de ces quatre applications. Démontrer que G est un groupe commutatif pour la composition des applications.

3. On définit l’application ϕ de E dans C par ϕ = e + f + g +h. Quelles sont les applications composées :ϕf ; ϕg ; ϕh ? L’application ϕ est-elle bijective ?

4. Étant donné un élément a de E, on veut résoudre dans E l’équation

ϕ(z)=ϕ(a) (1)

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Indiquer sans calcul quatre solutions, distinctes ou non, de l’équation (1).

b. Montrer que l’équation (1) ne peut pas avoir plus de quatre solutions (on pourra admettre qu’un polynôme de degré n à coefficients complexes a au plus n racines distinctes dans C).

c. Montrer que suivant la valeur de a, l’équation (1) admet, soit quatre so- lutions distinctes, soit une seule solution.

B.

On désigne parΨ la restriction à l’ensemble R∩ E de l’application ϕ définie en A 3.

1. Étudier les variations de la fonctionΨ.

2. Dessiner avec soin sa représentation graphique Γ relativement à un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Dans le cas où a est réel, retrouver le résultat obtenu à la question A 4. c.

Dans le cas particulier a = 2, vérifier graphiquement les valeurs des solutions de l’équation (1).

4. Calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe Γ et par les droites y = x ; x = 3 ; x = 5.

C

Étant donné un nombre complexe z, on définit les nombres complexes :

z1 = f (z) ; z2 = g (z) ; z3 = h(z) ; z4 =ϕ(z)

f , g , h, ϕ sont les fonctions définies dans la partie A. On désigne respectivement par M ,M1, M2, M3, M4 les images de z, dans un plan affine euclidien orienté, rap-

porté à un repère orthonormé direct (

Ω, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Soit F l’ensemble des éléments de E qui ont pour module 1. Si z est un élé- ment de F, on désigne par θ la détermination de son argument appartenant à l’ensemble ]0 ; π[∪]π ; 2π[.

Exprimer, en fonction de θ , les nombres complexes z1, z2,z3,z4 et donner pour chacun d’eux le module, et une détermination de l’argument.

2. Endéduire les ensembles décrits respectivement par les pointsM1 ,M2,M3,M4 quand M décrit le cercle de centre Ω et de rayon 1, privé des points d’affixes -1 et 1.

Grenoble 2 juin 1979

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