Algèbre - exercitation 5, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 5 sur les entiers relatifs x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Etudier la fonction f définie, Démontrer que D est un sous-espace vectoriel de C.
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[ Baccalauréat C La Réunion juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer les entiers relatifs x congrus à −1 modulo 5 et à 0 modulo 3 :

x ≡−1 [5] et x ≡ 0 [3].

2. Déterminer les entiers relatifs x tels que :

x ≡ 2 [5]et x ≡−1 [3]

3. Résoudre dans l’anneau Z/15Z l’équation :

x2+ 4̇x + 3̇= 0

EXERCICE 2 4 POINTS

Etudier la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

{

f (x) = x −|x log x| six > 0 f (0) = 0.

1. La fonction f est-elle continue sur [0 ; +∞[ ?

Est-elle dérivable sur [0 ; +∞[ ?

2. Construire la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé. Préciser en particulier les tangentes à la courbe aux points d’in- tersection avec l’axe des abscisses.

PROBLÈME 12 POINTS

Rappels : L’ensembleC desnombres complexes est un espace vectoriel sur R. z désigne le conjugué de z. L’application p : C2 → R qui au couple

(

z, z ′ )

, associe la partie réelle de zz ′ est un produit sca- laire ; une base orthonormée de C munie de ce produit scalaire est (1, i).

1. On donne un nombre complexe u et l’on considère l’ensemble D des com- plexes z tels que

z +uz = 0.

a. Démontrer que D est un sous-espace vectoriel de C.

b. Démontrer que si |u| 6= 1, D est de dimension O.

c. Démontrer que si |u| = 1 etu 6= 1,D est la droite vectorielle de base (1−u).

Etudier le cas u = 1.

2. a est un réel non nul, b est un élément de C−R .

On considère l’application ϕ de C dans C définie par :

ϕ(z)= az +bz.

a. Montrer que ϕ est linéaire.

b. Étudier le noyau de ϕ. En déduire que ϕ est bijective si et seulement si |a| 6= |b|.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

3. Dans cette question on suppose que ϕ est bijective.

Étudier suivant les valeurs du réel λ l’ensemble des nombres z tels que ϕ(z)=λz.

Montrer qu’il existe dans C deux droites vectorielles globalement invariantes par ϕ et que ces deux droites sont orthogonales.

4. On suppose dans cette question que a = |b|.

a. Déterminer l’image de ϕ.

b. Montrer que suivant les valeurs de a,ϕ est soit une projection vectorielle, soit la composée d’une projection vectorielle et d’une homothétie vecto- rielle.

5. Onconsidère le plan affine euclidienP,muni d’un repère orthonormé (

O, −→ e1 ,

−→ e1

)

.

À tout point m de coordonnées (x ; y) on associe son affixe z = x + iy .

a. Définir avec précision l’application f de P dans P dans laquelle m d’af- fixe z a pour image m′ d’affixe

z ′ =

(

cos 2π

3 − isin

2π

3

)

z.

m étant donné, construire m′ puis M tel que −−−→ OM =

1

2

(

−−→ Om +

−−−→ Om

)

.

Quelle est la nature de l’application g de P dans P telle que M = g (m) ?

Quelle application de C dans C peut-on lui associer ?

b. Utiliser les résultats de la troisième question pour étudier l’application h de P dans P qui, à tout point m d’affixe z, associe le point M d’affixe Z =−z +2i z.

Dessiner l’image du cercle de centre 0 et de rayon 1 dans cette transfor- mation.

La Réunion 2 juin 1979

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