Algèbre - exercitation 7, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 7 sur la solution particulière de l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelles sont les valeurs possibles de d ? Quelles sont les solutions pour lesquelles x ...
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[ Baccalauréat C Lille juin 1979 \

EXERCICE 1 3 points

On considère l’équation :

36x−25y = 5 (x ; y) ∈Z×Z

1. Montrer que pour toute solution (x ; y), x est multiple de 5.

2. Déterminer une solution particulière de l’équation. Puis la résoudre.

3. Soit d le plus grand commun diviseur de x et de y lorsque (x ; y) est solution de l’équation.

Quelles sont les valeurs possibles de d ?

Quelles sont les solutions pour lesquelles x tel y sont premiers entre eux ?

EXERCICE 2 4 points

Résoudre dans C l’équation :

z ∈C, z3+ (−7+5i)z2+ (29−16i)z−3(17− i)= 0

après avoir démontré qu’elle admet une racine réelle.

PROBLÈME 13 points

A

On considère les applications f1, f2, f3 de ]−1 ; +1[ dans R définies par :

x ∈]−1 ; +1[ f1(x)= 1

1+ x , f2(x)=

1

1− x , f3(x)=

1

1+ x log

1+ x

1− x .

Soit F l’espace vectoriel sur R engendré par le système {

f1, f2, f3 }

.

1. Démontrer que (

f1, f2, f3 )

est une base de F .

2. Soit f un élément de F , de coordonnées (a, b, c) dans la base (

f1, f2, f3 )

.

On appelle f l’application de ]−1 ; +1[ dans R définie par :

x ∈]−1 ; +1[, f (x)= (

1− x2 )

f ′(x)− x f (x).

Calculer f (x) en fonction de f1(x), f2(x), f3(x).

En déduire que f est élément de F ,

3. On désigne par ϕ l’endomorphisme de F qui à f , associe f .

a. Déterminer f3 =ϕ (

f3 )

par ses coordonnées dans la base (

f1, f2, f3 )

b. Pour tout entier naturel n non nul, on pose ϕn+1 =ϕn ϕ.

Démontrer que les coordonnées de ϕn (

f3 )

sont : n (

2n.(−1)n+1 ; 0 ; (−1)n )

4. On considère l’ensemble des applications gn (n ∈N) de ]−1 ; +1[ dans R défi- nies par :

g0 = f3

f1 et ∀n ∈N⋆, gn =

ϕn (

f3 )

f1 .

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Démontrer que :

n ∈N, ∀x ∈]−1 ; +1[, gn(x)= (−1) n

[

−2n+ ln 1+ x

1− x

]

.

b. Étudier suivant la parité den, les variations de gn . Préciser gn(0) et g n(0).

c. On appelle (Cn) la courbe représentative de gn dans un plan affine (P)

muni d’un repère orthonormé R = (

O, −→ ı ,

−→ )

, d’axes x′Ox, y ′Oy .

Démontrer que pour tout entier naturel n, (C2n) est l’image de (C0) par une translation T2n de (P) dans (P) que l’on précisera et que (C2n+1) est l’image de (C1) par une translation T2n+1 de (P) dans (P) que l’on préci- sera également.

d. Tracer dans le plan (P) les courbes (C0) et (C1).

En utilisant le 4. c, tracer (C2) et (C3).

Montrer que, pour tout entier natureln le point d’intersectionωn de (Cn) avec l’axe y ′Oy est un centre de symétrie pour (Cn). Tracer la tangente à (C0) enω0 et à (C1) en ω1.

e. Déterminer les coordonnées x0, y0 du poinl M0 de (P) commun à (C0) et (C1).

Calculer l’aire du sous-ensemble de (P) délimité par (C0), (C1),les droites d’équation x = 0 et x = x0.

B

Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 3, muni d’une base B = (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

α etβ étant deux réels, on considère l’endomorphismeΨα,β deEdéfini par les équa- tions :

x′ = (α−1)x+ 2βz y ′ = αx+ βy

z ′ = −βz

1. Si −→ u est un élément de E, calculer les coordonnées de

(

Ψαβ ◦Ψαβ

)

(

−→ u )

.

2. Existe-t-il un couple (α, β) tel queΨαβ soit une projection vectorielle ?

Dans l’affirmative, la caractériser.

3. Existe-t-il un couple (α, β) tel queΨαβ soit une symétrie vectorielle ?

Dans l’affirmative, la caractériser.

4. Dans le cas particulier où E est l’espace vectorielF de la partie A, montrer que pour un choix convenable de B, il existe un couple (α, β) tel queΨαβ =ϕ.

Lille 2 juin 1979

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