Algèbre - exercitation 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Mathématique - exercitation d'algèbre 8 sur les valeurs de l’entier naturel n. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer l’intégrale, Linéariser sin. x.
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Étudier, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne par 5 de 12n .

2. Les chiffres du système de numération à base douze sont notés 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β.

Quel est le reste de la division euclidienne par 5 de l’entier naturel qui s’écrit 4β32α5 dans ce système ?

EXERCICE 2 4 POINTS

1. n étant un entier naturel non nul, calculer l’intégrale :

In =

π

0 x cos2nx dx.

2. Linéariser sin6 x.

3. Utiliser les questions précédentes pour calculer l’intégrale :

I =

π

0 x sin6 x dx.

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

On rappelle que l’ensemble M desmatrices carrées d’ordre deuxmuni de l’addition des matrices et de leur multiplication par les réels, possède une structure d’espace vectoriel, et que, muni en plus de la multiplication interne des matrices, il possède une structure d’anneau unitaire. On notera

O=

(

0 0 0 0

)

et I =

(

1 0 0 1

)

On considère l’ensemble E des matrices A =

(

a+b 2b b a

)

où (a ; b) décrit R2.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M et qu’il admet pour base

(I ; J ), avec J =

(

1 2 1 0

)

.

2. Calculer J2, et l’exprimer à l’aide de I et J . En déduire que J2 appartient à E, que J est inversible, et que J−1 appartient aussi à E.

3. Montrer que si A et B sont éléments de E, leur produit A · B appartient à E.

Montrer que E, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, pos- sède une structure d’anneau unitaire commutatif.

4. Déterminer les éléments inversibles dans l’anneauE. Onappelle E1 l’ensemble de ces éléments. Montrer que E1 est stable pour la multiplication. Quelle est la structure de E1 muni de la multiplication ?

5. Résoudre dans E l’équation suivante où A est l’inconnue : A2 = I .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Partie B

Le plan affine (P ) est muni d’un repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

. On considère l’appli-

cation affine fa, b qui laisse O invariant et dont l’endomorphisme associé a pour

matrice A =

(

a+b 2b b a

)

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

. Tout point M de coordonnées (x, y)

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

a pour image M ′ = fa, b(M) de coordonnées (

x′ ; y ′ )

.

1. a. Calculer x′ et y ′ à l’aide de x et y ; fa, b peut-elle être une translation ? une homothétie ?

b. Pour cette questiononpose a = 0,b = 1

4 . SoitM0 le point de coordonnées

(1 ; 0). On pose :

n ∈N, Mn+1 = f0, 14 (Mn) .

On appelle (

xn ; yn )

les coordonnées deMn .

On pose un = xn kyn (k ∈ R). Montrer qu’il existe deux valeurs de k (notées k ′ et k ′′) telles que la suite (un )n∈N soit géométrique.

Calculer xn k yn et xn k ′′yn à l’aide de n. En déduire xn et yn .

Calculer les limites de xn et yn quand n tend vers +∞. Calculer la limite

de yn

xn quand n tend vers +∞ (on vérifiera xn 6= 0).

On appelleGn l’isobarycentre deM0,Ml ′1, · · · ,Mn . Calculer les coordon- nées deGn .

Quelle est leur limite quand n tend vers +∞ ?

2. a. a et b sont à nouveau quelconques.

Déterminer l’ensemble des points M tels que O, M etM ′ soient alignés.

Montrer que, pour b 6= 0, cet ensemble est la réunion de deux droites D1 et D2 sécantes en O, D1 étant dirigée par

−→ e1 =

−→ ı

−→ et D2 par

−→ e2 = 2

−→ ı +

−→ .

Quelle est la restriction de fa, b à D1 ? à D2 ?

b. On prend le nouveau repère (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

. Montrer que dans ce repère,

l’expression analytique de fa, b est

{

X ′ = (ab)X Y ′ = (a+2b)Y .

c. Pour quelles valeurs de a et b fa,b est-elle involutive ? Dans chaque cas trouvé indiquer la nature de fa,b et préciser ses éléments caractéristiques.

Partie C

Le plan (P ) est maintenant euclidien et le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est orthonormé (unité

de longueur pour les graphiques : 2 cm sur chaque axe).

1. Soit la fonction g de R vers R définie par

g x = 4x2−8x+7

4(2x−1)

Étudier les variations de g et tracer sa courbe représentative (C) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer qu’elle admet un centre de symétrie et une asymptote oblique

(il pourra être utile d’écrire g (x) sous la formeαx+β+ γ

2x−1

)

.

Lille 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. On considère l’application f1,−1 (obtenue par a = 1, b =−1).

a. En posant M ′ = f1,−1(M), donner une construction de M ′ à partir de M en utilisant D1 et D2.

b. Soit (C′) l’image de (C) par f1,−1. Écrire l’équation de (C′) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Quelle est la nature de (C′) ?

Lille 3 septembre 1979

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