Algèbre - exercitation 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 9 sur la fonction numérique f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base des logarithmes, la continuité de f sur R.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1979 \

EXERCICE 1 3 points

Montrer que pour tout n élément deN, 3n+3−44n+2 est divisible par 11.

EXERCICE 2 5 points

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

• pour x 6− 1

2 f (x) =

1

x2 e

1 x

• pour − 1

2 6 x < 1 f (x) =

4

e2

• pour x > 1 f (x) = 4

e2 + logx

e étant la base des logarithmes.

1. Étudier la continuité de f sur R.

Déterminer l’ensemble des réels pour lesquels f est dérivable

2. Etudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative (C )

dans un repère orthonormal (

O, −→

ı , −→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy . (unité : 2 cm). :1.

Calculer l’aire du domaine limité par (C ), l’axe x′Ox et les droites d’équations x =−2 et x = 2. En donner une valeur approchée avec 2 décimales.

On donne :

x ex e−x e 1 x e−

1 x logx

2 7,3891 0,1353 1,6487 0,6065 0,6931

PROBLÈME 12 points

Partie A

On considère l’ensemble 0 : dl’s nornbn’s ("ompll’xI’s, un plan affine euclidien ->-> oril’nll’ P muni d’un repère orlhonormé, direct (0, i,j) el un n :el arbitraire m. :- ; ;oit l’application ’" dl’ 0 : dans 4 : qui, à tout l’ornpll’Xl’ ?, associe Il’ com-mpl(’xe ?’ ddini par ?’ ri ! i a +] l’l l’application fm dl’ l’ dans P qui, à lout point M d’a l’fixe ?, associe Il : point M’ d’affixe ?’ = rn i ? + 1 Dist’uter suivant la valeur du n :I’1 m la natun : dl’ fm. ·l’n :(·ist’r dans chaque cas ses l,ll ;mellts géomlétriques l’araetlTistiqut’s. :2. Soit la t :Oniquc (C) du plan P d’l’quation x2 + 2) 2 - 2x = 0 . Soit (< :’ ) l’irnagl’ dl’ (C) par f , rn (-tant dans el’ltt’ qUl’stion Url fI"l’llIon m m nul. DOrlnl’r l’l’qualion dl’ (C’m)’ Préciser la nature dl’ (C) el dl’ (C’m) . ’l’rac(T sur UIII’ rnt nw fïgurt· (C) el (< :’2) . Démontrer que les foyers dt, (Cm) sont les images par fm des fo) ers de (C) . :1. Soil wm le point de P invariant par fm (m réel quelconque). On pose 1T 1T -«P<- 2 2 tg <p avec Montrer que les coordonnées de w s’expriment sous la forme : . m 1 + cos 2 <p x 2 sin 2 <p Y 2 Déterminer l’ensemble des points wm quand <p varie dans l’intervalle ] - ;, i [ . Préciser la natun’. de cd ensemble. ->-> 4, On considère dans le plan P muni du fI père orthonormé (0, i, j) un point mobile N. Ses coordonnées sont données en fonction du temps t par x et y . 1+ t2 avec tE [ -1 , 1] . En utilisant les résultats de la

Terminale C A. P. M. E. P.

question précédente, préciser la trajectoire de N et la construire. Construire sur la même figure les vecteurs vitesse et accélération aux dates t = 1 et t = - 1 . Décrire le mouvement entre les dates t = - 1 et t = 1 d préciser les intervalles de temps pendant lesquels le mouvement est accéléré ou retardé.

Partie B

Eest un espace affine euclidiendedimension 3muni d’un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

.

Le plan P de la partie A est le plan (

O, −→

ı , −→

)

.

Soit gm l’application de E dans E qui, à tout point M de E de coordonnées (x ; y ; z), associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

définies par • Fm(x+ iy)=

(

x′+ iy ′ )

(Fm étant l’application de C dans C définie au début de la partie A).

• et par z ′ =mz. Dans toute cette partiem est un réel non nul.

1. Donner la définition analytique de gm .

2. Déterminer l’image par g de l’hyperbole (H) du plan de repère (

O, −→

, −→

k )

qui

a pour equation dans ce repère y2− z2 = 1.

Tracer l’hyperbole (H) et son image gm(H) chacune dans un repère conve- nable à préciser.

3. Démontrer que gm est la composée dans un ordre quelconque de l’homothé- tie de centreωm et de rapportm et d’une rotation que l’on précisera (ωm étant le point de P défini au 3. A).

Limoges 2 juin 1979

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