Calcul avancé - exercice 1, Exercices de Calcul avancé. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique, la relation de récurrence.
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1973 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Linéariser cos7θ.

2. Calculer : I = ∫ π

2

0 cos7θdθ.

EXERCICE 2 4 POINTS

Construire relativement à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’un plan affine l’en-

semble des points M(x ; y) tels que :

16x |x|+36y

y

∣= 576.

PROBLÈME 12 POINTS

On étudie la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

f (x)= (mx−1)(2− x)

x2− x ,

m est un paramètre réel. À chaque valeur du paramètre m correspond une fonction et une courbe représen-

tative (Cm) relativement à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axe x′Ox et y ′Oy .

1. Montrer que, quel que soit m, les courbes (Cm) passent par un point fixe que l’on déterminera.

Vérifier que pour la valeur (−1) de m la courbe (C−1) présente une axe de sy-

métrie parallèle à y ′Oy d’équation x = 1

2 .

2. Trouver l’équation Y = g (X ) de le courbe C−1 dans un repère orthonormé (

ω, −→ ı ,

−→

)

ω étant le point de coordonnées x = 1

2 et y = 0 ; les nouveaux axes

seront notés X ωX , Y ωY .

Construire (C−1).

Calculer les nombres réels A et B tels que :

1

4X 2−1 =

A

2X −1 +

B

2X +1 .

En déduire, d’une part une primitive de X 7−→ 1

4X 2−1 et d’autre part, l’aire de

l’ensemble E des points M(X ; Y ) du plan tels que :

3

2 6 X 6 X0,

(

X0 > 3

2

)

et g (X )6 Y 6 1.

Cette aire admet-elle une limite quand X tend vers +∞ ? 3. On considère la suite u définie par la relation de récurrence

Un+1 = Un

2 +1 (n ∈N)

et par son premier termeU0.

ExprimerUn en fonction deU0. (On pourra raisonner par récurrence.) Trouver la limite de la suite n 7−→Un lorsque n→+∞.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

4. a. Construire, par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox, y ′Oy , la courbe

(C1). (On vérifiera que (C1) est portée par une hyperbole équilatère.)

b. L’hyperbole équilatère précédente passe par le point A de coordonnées x = 1, y = 1. Écrire une équation de la droite AM0, M0 étant le point de l’hyperbole d’abscisse x0 (x0 > 1). Calculer l’abscisse x, du point où cette droite ren- contre l’axe x′Ox. Soit M1 le point d’abscisse x1 et appartenant à l’hy- perbole. Calculer l’abscisse x2 du point d’intersection de AM1 avec l’axe x′Ox.

Cette opération étant répétée n fois donner une interprétation géomé- trique de la suite étudiée au 3. (On distinguera les cas où x0 6 2 et x0 > 2.)

c. On considère la parabole d’équation y = x2−3. En s’inspirant de la mé- thode précédente, déterminer un encadrement de

p 3 à 10−4 près.

On prendra le point A de la parabole de coordonnées (x = 2 ; y = 1) et

pour M0 on choisira x0 = 3

2 , puis x0 =

5

2 .

Aix–Marseille 2 juin 1973

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