Calcul avancé - exercice 10, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace affine euclidien, L’entier naturel n.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I 1 septembre 1972 \

EXERCICE 1

Dans l’espace affine euclidien orienté E de dimension trois, on désigne par T la

translation de vecteur −→ V , non nul, par∆ un déplacement quelconque, par ◦ la loi de

composition des transformations ponctuelles. Démontrer qu’une condition, nécessaire et suffisante, pour que l’on ait ∆=T ◦∆◦T , est que∆ soit un déplacement hélicoïdal d’angleπ et d’axe orthogonal

à −→ V .

EXERCICE 2

Le plan affine euclidien orienté P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On note M(z) le point M , image du nombre complexe z, les nombres j et j2 étant les

nombres complexes cos 2π

3 + i sin

2π

3 et cos

4π

3 + i sin

4π

3 .

Aux trois points A(a), B(b) et C(c) on associe les nombres

u = a+bj+cj2 et v = a+bj2+cj.

Demême, aux trois points A′(a′), B′(b′) et C′(c ′) sont associés

u′ = a′+b′j+c ′j2 et v = a′+b′j2+c ′j.

1. Montrer que u reste invariant quand on change l’origine du repère, la base (f, i) étant conservée.

2. Montrer qu’une condition, nécessaire et suffisante, d’existence d’une simili- tude directe, dans laquelle A′, B′ et C′ sont respectivement les images de A, B et C, s’écrit

uv ′− vu′ = 0.

PROBLÈME

L’entier naturel n étant au moins égal à 1, on note gn la fonction qui, à tout réel x strictement supérieur à n, associe

gn(x)= (xn)Log xxLog (xn),

où Log désigne le logarithme népérien.

1. Résoudre, dans R, l’inéquation (x+1)2 < 2x2.

En déduire à l’aide d’un raisonnement par récurrence que l’inégalité p2 < 2p est vérifiée pour toute valeur de l’entier naturel p supérieure ou égale à 5.

Déterminer les signes de gn(n+1) et de gn(n+2) selon les valeurs de n.

2. Calculer les dérivées première et seconde, g n(x) et g (x), de gn(x) par rapport à la variable x. En déduire le sens de variation de ′n et le signe de g

′′

n(x), puis le sens de variation de gn .

1. Centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique Noire.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Trouver les limites de gn(x) lorsque x tend vers n et lorsque x tend vers +∞.

Il pourra être commode d’écrire

gn(x)=−nLog xxLog (

1− n

x

)

.

Tracer la courbe représentative de la fonction gn dans un repère orthonormé.

4. Démontrer que l’équation gn(x)= 0 a une racine, et une seule, notée xn et que xn n tend vers 1, lorsque l’entier n tend vers +∞.

Quelle est la limite dans les mêmes conditions de xn+1− xn ?

5. Calculer l’intégrale

F (a)= ∫x2

a g2(x)dx, pour a ∈ ]2 ; x2] ,

et trouver la limite de F (a), lorsque a tend vers 2.

Étranger groupe I 2 septembre 1972

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