Calcul avancé - exercice 11, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les vecteurs, les valeurs du paramètre réel, Lamatrice de l’application linéaire associée.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1973 \

EXERCICE 1

1. −→ U et

−→ W désignant deux vecteurs quelconques de l’espace vectoriel euclidien

E3 de dimension 3, on demande de vérifier la relation

(−→ U

−→ W

)

∧ −→ W =

(−→ U ·

−→ W

)−→ W

−→ W

2−→ U (1)

On pourra pour cela supposer qu’une base orthonormée directe (−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

de

E3 est choisie de façon que, dans cette base, −→ U ait pour coordonnées (a ; 0 ; 0)

et −→ W (b ; c ; 0).

2. On suppose que −→ V et

−→ W sont deux vecteurs données et orthogonaux de E3.

a. Démontrer en utilisant la relation (1) qu’il existe un seul vecteur −→ U0 or-

thogonal à −→ W tel que

−→ U0 ∧

−→ W =

−→ V .

b. En déduire que l’ensemble des vecteurs −→ U tels que :

−→ U

−→ W =

−→ V , est

défini par −→ U =

−→ U0 +λ

−→ W , λ décrivant R.

EXERCICE 2

Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel a, l’existence de solutions pour le système :

{

ex ×e2y = a 2xy = 1

(x ; y)∈R2

Résoudre complètement dans le cas a = p e5.

PROBLÈME

Leplan affine euclidienP est rapporté au repère cartésien orthonorméB (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On note α et β deux paramètres réels, et f toute application affine de P dansP qui à tout M(x ; y) donne pour image le point M

(

x′ ; y ′ )

déterminé par :

{

x′ = αx+βy y ′ = −2βx+ (α+2β)y

La matrice de l’application linéaire associée à f est donc :

A =

(

α β

−2β α+2β

)

On appelle A l’ensemble des matrices A, lorsque α et β décrivent R.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Étude de l’application f1 correspondant à α=−1 et β=+1.

1. Écrire les équations de f1, et sa matrice A1. Démontrer que f1 est bijective et que 0 est le seul point invariant. Écrire les équations définissant dans B l’ap- plication réciproque. Quelle est l’image par f1, des droites ayant pour équa- tions xy = 0 et x = 0 ?

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

2. Reconnaître l’application f1 = f1 ◦ f1, et écrire sa matrice.

Que peut-on dire des applications f 31 = f1 ◦ f1 ◦ f1 et f 4 1 = f1 ◦ f1 ◦ f1 ◦ f1 ?

Le pointM ayant respectivement pour imagesM1 ,M2,M3 etM4 dans f1, f 21 , f 3 1

et f 41 , quelle particularité présente l’ensemble de ces points ? (on ne cherchera pas la relation géométrique entreM et M1).

3. a,b,c étant trois réels donnés quelconques, on appelle E l’ensemble des points de P défini dans le repèreB par l’équation

ax2+2bxy +cy2 = 1

a. Écrire l’équation de l’ensemble f1(E), image de E par l’application f1.

b. Montrer que, si a, b, c peuvent être choisis tels que l’image f1(E) ait pour équation

λ (

ax2+2bxy +cy2 )

= 1

λ est nécessairement égal à l’une ou l’autre de deux valeurs que l’on dé- terminera.

c. À λ = 1 correspond une famille de courbes E dont l’équation dépend d’un seul paramètre. On appelle E′ celle de ces courbes pour laquelle a est égal à 2. Montrer qu’elle est la réunion de deux courbes E′1 et E

′ 2

admettant respectivement pour équations relativement à B :

{

y = g1(x) = x+ p 1− x2 pour E′1

y = g2(x) = x− p 1− x2 pour E′2

Étudier les variations des fonctions g1, et g2 et construire E′. Quelle est l’image f1

(

E′ )

?

SiM est un point quelconque de E′, que peut-on dire de ses images suc- cessives M1,M2,M3,M4 ?

d. Àλ=−1 correspond une famille de courbes E dont l’équation dépend de deux paramètres. On appelle E′′ celle de ces courbes qui est associée aux valeurs b = 1 et c = 0. Montrer que E′′ admet pour équation relativement

à B, y = x+ 1

2x : construire E′′ et son image f1

(

E′′ )

.

Si M est un point quelconque de E′′, que peut-on dire de ses images M1,M2,M3 et M4 ?

Partie B

1. A et A′ désignant deux matrices quelconques de A , et correspondant aux couples (α ; β) et

(

α′ ; β′ )

, démontrer que :

la matrice somme A+ A′ et la matrice produit A× A′ sont des éléments de A .

2. On appelle ϕ l’application de A dans le corps C des complexes définie par

ϕ(A)= (α+β)+ iβ.

a. Démontrer queϕ est un isomorphisme de l’ensemble A muni des lois + et × sur le corps C.

b. En utilisant l’isomorphisme précédent, déterminer les matrices A solu- tions de A4 = I, I désignant la matrice de A correspondant à α = 1 et β= 0.

Lille 2 juin 1973

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