Calcul avancé - exercice 13, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme à variable complexe, le système, les endomorphismes, l’isobarycentre.
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[ Baccalauréat C Lyon juin 1973 \

EXERCICE 1

On considère le polynôme à variable complexe :

f (z)= z4−4(1+ i)z3+12iz2−8i(1+ i)z−5

1. Calculer f (z) pour les valeurs z = 1 et z = i puis factoriser le polynome f (z).

2. Résoudre l’équation f (z) = 0 ; on notera z1, z2, z3, z4 les solutions de cette équation et on construira les imagesm1,m2,m3,m4 de ces complexes dans le

plan affine muni d’un repère (

O, −→

ı , −→

)

orthonormé.

EXERCICE 2

Résoudre dans R2 le système

{

2logx y +2logy x = −5

xy = e

dont l’inconnue est le couple de réels (x ; y).

PROBLÈME

a et b désignent deux nombres réels. V est un espace vectoriel de dimension 2muni

d’une base B = {

−→

ı , −→

}

.

Soit E un espace affine admettant V pour espace vectoriel associé. O est un point de

E . On munit E du repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

Pour chaque valeur du couple (a ; b), on considère l’endomorphisme de V noté

ϕ(a, b) dont la matrice dans la base B est :

(

a−1 −2a

2ab b(a−1)

)

1. Quels sont tous les endomorphismes ϕ(a, b) bijectifs ? Déterminer le noyau de ϕ(a, b). On discutera suivant les valeurs du couple (a ; b).

Préciser enparticulier le noyaudeϕ(1, 0) et donner unebase de ce sous-espace.

2. b est supposé non nul dans cette question. Quel est l’ensemble des vecteurs −→ u de V pour lesquels il existe un réel λ tel que ϕ(0, b)

(

−→ u

)

=λ −→ u ?

3. On suppose dans cette question V euclidien et la base B orthonormée.

Déterminer tous les endomorphismes ϕ(a, b) qui sont des isométries vecto-

rielles et en préciser la nature.

Partie B

On se place maintenant dans l’espace affine E et on considère toutes les applica-

tions affines notées f(a, b) dont l’endomorphisme associé est ϕ(a, b) et admettant O

pour point invariant.

1. a est un réel donné. Déterminer toutes les droites de b dont l’image par f(a, 0) n’est pas une droite.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

2. b est un réel non nul. Déterminer toutes les droites de b transformées par f(0, b) en droites parallèles à elles-mêmes.

3. a. Soit l’application f(1, − 14 ) . Montrer qu’elle est involutive.

Soit les points A de coordonnées 2 et−1 ; B de coordonnées−2 et 1 ; C de

coordonnées 2 et 1.

Déterminer les images de ces trois points par f(1, − 14 ) .

Préciser alors la nature de f(1, − 14 ) .

b. Soit H l’homothétie de centre O et de rapport 1

2 . On pose :

g =H f(1, − 14 )

On note C1 l’image de C par g , et pour tout entier n supérieur ou égal à

2, on note Cn l’image de Cn−1 par g .

C1 = g (C), C2 = g (C1) , C3 = g (C2) , . . . , Cn = g (Cn−1) .

Soit αn et βn les coordonnées de Cn . Calculer αn et βn en fonction de n.

Soit M l’isobarycentre (ou centre de gravité) du triangle ABC. M1 est

l’image deM par g et pour tout n> 2 : Mn est l’image deMn−1 par g .

Calculer en fonction de n les coordonnées xn et yn deMn puis lim n→∞

xn et

lim n→∞

yn . Une figure est vivement conseillée.

Partie C

On suppose maintenant V euclidien et la base B orthonormée. ER est alors un es-

pace métrique orienté par B.

1. Déterminer toutes les applications f(a, b) qui sont des isométries affines.

2. Montrer que toutes les applications f(a, b) avec b 2 = 1 sont des similitudes,

éventuellement réduites à des isométries.

Déterminer le centre, le rapport et l’angle de similitude f(−1, 1).

Lyon 2 juin 1973

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