Calcul avancé - exercice 14, Exercices de Calcul avancé

Calcul avancé - exercice 14, Exercices de Calcul avancé

PDF (32.0 KB)
2 pages
204Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique sur le calcul avancé 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, les variations de la fonction f, lamultiplication externe par les nombres réels.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
MarocCjuin1973.dvi

[ Baccalauréat C Maroc juin 1973 \

EXERCICE 1

Résoudre dans C l’équation :

z3+2(i−1)z2−3iz + i+1= 0.

(Donner les racines sous la forme a + ib, avec a ∈ R,b ∈ R. Remarquer une racine évidente). Le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormé, montrer que les points ayant pour affixes les racines de cette équation, sont les sommets d’un tri- angle rectangle.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique, définie sur R, par :

{

f (x) = Log x si x > e2

f (x) = ax +b si x < e2

a et b sont des nombres réels.

1. Déterminer a et b pour que la fonction f soit continue et dérivable sur R.

2. On suppose maintenant a = e−2 et b = 1.

Étudier les variations de la fonction f , et la représenter graphiquement dans un repère orthonormé.

3. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1, définie sur R.

Pour tout nombre réel y , expliciter l’expression de x = f −1(y), en fonction de y , (distinguer selon les valeurs de y).

Montrer que la fonction f −1 est dérivable, et donner l’expression de sa dérivée au point y , en fonction de y .

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble F des fonctions numériques définies sur R, muni de l’addition :

f + g : x 7−→ f (x)+ g (x)pour tout ( f , g )∈F ×F

et de la multiplication externe par les nombres réels :

λ f : x 7−→λ f (x)pour tout (λ, f ) ∈R×F

est un espace vectoriel sur R. Soient A, B, C , les fonctions numériques définies sur R par :

A(x)= xex , B(x)= ex , C (x)= e−x pour tout x ∈R.

Soit E le sous-espace vectoriel de F engendré par A,B,C , c’est-à-dire l’espace vec- toriel des fonctions f , de la forme f = a A+bB +cC a,b,c sont des nombres réels quelconques.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

1. Montrer que toute fonction f appartenant à E est dérivable, et que sa dérivée appartient à E.

Soient α, β, γ des nombres réels. Déterminer les fonctions f ∈ E telles que f (0)=α, f ′(0)=β, f ′′(0)= γ.

En déduire que les fonctions A,B,C , sont linéairement indépendantes. Quelle est la dimension de E ?

2. Pour tout nombre réel λ, soit la fonction : (x)= xe x +λe−x . Étudier, selon

les valeurs de λ, les limites à l’infini de la fonction ainsi que de la fonction x 7−→ (x). (Distinguer λ< 0, λ= 0, λ> 0).

Étudier les variations de la fonction f0 et tracer sa courbe représentative.

Quelles sont les variations de la fonction g définie par :

g (x)= 1

2e2 f0(2(x +1))?

En s’aidant de la fonction g , étudier les variations de la fonction selon les

valeurs de λ. Tracer la courbe représentative de la fonction pour λ=− 1

2e3 et pour λ= 1.

3. Montrer que l’application D de E dans E, définie par D( f ) = f ′, pour toute f EE , est une application linéaire bijective. Déterminer les coefficients réels a,b,c de façon que la fonction f = a A+bB +cC ait pour dérivée une fonction donnée h = r A+ sB + tC , appartenant à E.

4. Montrer que si ac = 0, la fonction f = a A +bB + cC , et les fonctions f ′ et f ′′, sont linéairement indépendantes. Exprimer dans ce cas f ′′′ commecombinai- son linéaire de f , f ′, f ′′, et vérifier que la relation ainsi obtenue entre f , f ′, f ′′

et f ′′′, reste valable pour toute f ∈ E.

Maroc 2 juin 1973

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome