Calcul avancé - exercice 15, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère cartésien orthonormé, l’application T , Les tangentes.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1973 \

EXERCICE 1

Résoudre l’équation x3 = x :

1. Dans l’ensemble Z/12Z ;

2. Dans l’ensemble Z/11Z.

EXERCICE 2

Soit unplan affine euclidienP, rapporté à un repère cartésien orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère dans l’ensemble C des nombres complexes la suite de terme général zn définie par son premier terme z0 = 1 et la relation de récurrence :

2zn+1 = zn + i.

1. Démontrer que pour tout entier naturel n, non nul, le module rn de zn est inférieur à 1.

2. On pose zn = xn + iyn (où xn et yn sont des nombres réels) et un = zn − i.

Trouver une relation entreun+1 etun . En déduire que la suite de terme général xn est une suite géométrique qui converge vers 0 et que les suites de termes généraux yn et rn convergent vers 1.

3. Calculer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n supérieur ou égal à n0 on ait

|zn − i| < 10 −5

PROBLÈME

Partie A

On considère l’application T , de P vers P, qui, au pointm de coordonnées (x ; y) fait correspondre le point M dont les coordonnées (X ; Y ) sont définies par :

{

X = x

Y = −2x+ y

1. Démontrer que T est une application affine bijective et déterminer par sama-

trice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

l’application linéaire (ou endomorphisme) asso-

ciée.

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par T .

3. Quelle est la transforméed’une droite quelconque deP ? Existe-t-i1 des droites invariantes ? Existe-t-il des droites orthogonales à leurs transformées ?

4. Soit (γ) la courbe de P d’équation y = ex dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Donner une équation cartésienne de la courbe (Γ) transformée de (γ) par T , que l’on mettra sous la forme Y = g (X ).

b. Étudier la fonction g , et représenter (γ) et (Γ) sur un même graphique.

c. Soitm un point de (γ), M son image par T . Calculer l’aire S du domaine compris entre les courbes (γ), (Γ) et la droitemM .

d. Les tangentes à (γ) enm et à (Γ) enM se coupent en J. Calculer l’abscisse de J. Comparer S à l’aire du triangle JmM .

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

5. Soit (h) la courbe de P d’équation 4x2− y2 = 4 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Dé-

terminer la nature de (h) et ses éléments remarquables.

Montrer que [H ], transformée de (h) par T a une équation cartésienne qui peut s’écrire X = u(Y ). Étudier la fonction u. Construire [H ] et (h) sur un même graphique.

Partie B

À tout réel k on associe l’application Tk de P dans P qui àm(x ; y) fait correspondre le point M(X ; Y ) tel que :

{

X = x

Y = kx+ y

1. Montrer que l’ensemble T des transformations Tk quand k décrit R, muni de la loi de composition des applications, est un groupe commutatif.

2. Déterminer l’ensemble A des applications affines f de P vers P telles que, pour tout k,

f Tk = Tk f

Soit A′ le sous-ensemble de A formé des applications f bijectives, qui laissent O invariant.

Démontrer que tout élément de A′ est le produit d’une transformation Tk et d’une transformation simple que l’on déterminera, et que,

(

A′, ◦ )

est un groupe commutatif.

3. On donne d’une part une transformation Tk d’autre part trois réels α, β, γ de somme non nulle. Soit ϕ l’application de P dans P qui associe au point m le barycentre G du système

{(O, α), (m, β), (

Tk (m), γ )

}

Montrer que ϕ est un élément de A ; est-ce un élément de A′ ?

N.B. : Les parties A et B du problème sont indépendantes.

Montpellier 2 juin 1973

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