Calcul avancé - exercice 16, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le Logarithme népérien, l’ensemble des points M de coordonnées, les images des solutions.
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[ Baccalauréat C Nancy juin 1973 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction de ]−1 ; +1[ dans R définie par :

f (x)=−x+Log

(

1+ x

1− x

)

où Log désigne le Logarithme népérien.

1. Étudier cette fonction et construire sa courbe représentative dans un plan rap-

porté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Soit g la fonction définie sur ]−1 ; +1[ par :

g (x)=− x2

2 + (1+ x)Log (1+ x)+ (1− x)Log (1− x)

Calculer g ′(x) pour x appartenant à ]−1 ; +1[.

3. Calculer l’aire A de l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant

06 x6 1

2 et 06 y 6 f (x)

EXERCICE 2

Calculer le nombre complexe (3−2i)4. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z :

z4 = 4(119+120i)

et représenter les images des solutions.

PROBLÈME

L’espace vectoriel V3 euclidien, orienté, de dimension 3 sur R, estmuni de la base or-

thonormée directe B = (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. L’espace affine euclidien E3 est muni du repère

R = (O, B) et orienté par B. On donne les vecteurs

−→ I =

1

3

(

2 −→ ı +2

−→

−→ k )

, −→ J =

1

3

(

− −→ ı +2

−→ +2

−→ k )

, −→ K =

1

3

(

2 −→ ı

−→ +2

−→ k )

Partie A

1. Vérifier que (−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

est une base orthonormée.

2. Quelles sont, dans la base B, les formules analytiques de l’endomorphisme ρ

qui transforme B en (−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

.

3. Montrer que ρ est une rotation dont l’axe est engendré par le vecteur −→ ı +

−→ +

−→ k .

Soit P le plan vectoriel orthogonal au vecteur −→ ı +

−→ +

−→ k et orienté par le vec-

teur unitaire 1 p 3

(−→ ı +

−→ +

−→ k )

; calculer lamesure de la restriction de ρ à P. (On

pourra calculer ρ (−→ ı

−→

)

.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

Partie B

On donne l’endomorphisme ϕ de V3 défini dans la base (B) par les formules :

x′ = 6y +3z y ′ = x−2y −2z z ′ = 2x+8y +2z

On appelle N1 et U1 les noyau et image de ϕ,N2 et U2 les noyau et image de ϕ2 = ϕϕ.

1. Trouver en fonction de −→ I ,

−→ J ,

−→ K

a. une base de N1 .

b. une base deU1 après avoir calculé les composantes des vecteurs ϕ (−→ I )

,

ϕ

(−→ J )

, ϕ (−→ K

)

dans la base orthonormée (−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

. Vérifier que N1 est

contenu dansU1.

c. Déterminer N2 etU2 et les comparer à N1 etU1. En déduire que ϕ3 =ω, où ω est l’endomorphisme nul.

Partie C

Soit f l’application affine de E3 qui admet O comme point invariant, et ϕ comme endomorphisme associé.

Soit R le plan affine passant par O et de direction le plan vectoriel engendré par −→ I et

−→ J . Soit Q le plan affine passant par O et de direction le plan vectorielU1.

1. Montrer que la restriction h de f à R est une bijection de R sur Q. Soit M

un point de R, trouver les coordonnées dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

du point

h(M), en fonction de celles deM .

2. On donne dans le plan (R) la parabole (Γ) de sommet O et de foyer F tel que −−→ OF =

−→ J .

Montrer que la transformée de (Γ) par h est une parabole (

Γ ′ )

du plan (Q) dont on déterminera le sommet, le foyer et le paramètre.

3. Soit (γ) la parabole représentée dans le repère (O, B) par les équations :

{

x2 = 4y z = 0

Soit r la rotation de 3, laissant O invariant et dont l’endomorphisme associé est ρ. Quelle est l’image de (γ) par l’application affine f r ?

Nancy 2 juin 1973

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