Calcul avancé - exercice 18, Exercices de Calcul avancé

Calcul avancé - exercice 18, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 18. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des classes d’entiers, le système, la construction de la courbe, les trois éléments de F.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1973 \

EXERCICE 1

Soit Z/4Z l’ensemble des classes d’entiers modulo 4 :

Z/4Z= {0̇, 1̇, 2̇, 3̇}

1. Rappeler la structure de Z/4Z

2. Résoudre dans cet ensemble le système

{

3̇x + y = 3̇ x + y = 1̇

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique définie sur R par :

{

f (0) = 0

f (x) = e− 1

x2 six 6= 0

1. Montrer que f est continue sur R.

2. Montrer que f est dérivable en tout point x non nul. Calculer f ′(x).

3. À l’aide de la définition, montrer que f est dérivable au point x = 0.

4. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

N.B. : Pour la construction de la courbe, on utilisera le tableau des valeurs appro- chées suivantes :

x 14 4 9 1

3 2 4

e−x 0,78 0,60 0,37 0,22 0,02

PROBLÈME

Soit F l’ensemble des fonctions numériques f définies pour tout x réel par :

f (x)= a cos2x +b sin2x +c a,b, etcdécriventR.

Partie A

1. a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R.

b. Soient f1, f2, f3 les trois éléments de F définis par :

f1(x)= cos2x; f2(x)= sin2x; f3(x)= 1.

Montrer que {

f1, f2, f3 }

constitue une base de F , notée B.

2. a. Montrer que tout élément f de F est intégrable sur [0 ; π].

Calculer ∫

π

0 fi (x) f j (x)dx pour i ∈ {1;2;3} et j ∈ {1;2;3}.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

b. Soient f et g deux éléments deF de composantes respectives (a, b, c) et (

a′, b′, c ′ )

dans la base B.

On considère l’application I de F ×F dans R définie par :

I ( f ; g )= 2

π

π

0 f (x)g (x)dx.

Exprimer I ( f ; g ) puis I ( f ; f ) en fonction des composantes de f et de g dans la base B.

c. Déduire des résultats précédents que l’application I définit sur F un produit scalaire (c’est-à-dire une forme bilinéaire symétrique positive).

Montrer que B est une base orthogonale de F . Est-elle orthonormée ?

Partie B

1. Montrer par récurrence que, quel que soit n élément de N, tout élément f de F possède une dérivée d’ordre n, notée f (n), qui appartient aussi à F ; (par convention f (0) = f ). Montrer que l’application qui à tout élément f de F associe f (n) est un endomorphisme de F .

Est-ce un automorphisme de F ?

2. F muni du produit scalaire I est un espace vectoriel euclidien.

Soit F ′ le plan vectoriel engendré par f1 et f2 qui en constituent une base orthonormée B′.

On considère l’endomorphisme ϕ de F défini par :

ϕ( f )= f (2) = f ′′

Montrer que ϕ est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une projec- tion vectorielle orthogonale sur F ′.

Partie C

Soit ϕn l’endomorphisme de F ′ défini par ϕn( f )= 1

2n f (n).

On pose Φ= {

ϕ0, ϕ1, ϕ2, ϕ3 }

.

1. Montrer que ϕn est un automorphisme de F ′ pour n = 0, 1, 2 ou 3.

2. Écrire les matrices respectives de ϕ0, ϕ1, ϕ2, ϕ3 dans la base B′. Reconnaître ces automorphismes.

3. Montrer que Φ muni de la composition des applications est un sous-groupe du groupe des automorphismes de F ′ isomorphe à Z/4Zmuni de l’addition.

Orléans–Tours 2 juin 1973

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