Calcul avancé - exercice 19, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 19. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, la transformation de P, les variations de la fonction numérique.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1973 \

EXERCICE 1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé. Soit z = x + iy l’affixe d’un point M(x ; y) de ce plan.

1. Déterminer l’ensemble des points M du plan P tels que

|(1+ i)z −2i| = 2.

2. Étudier la transformation de P qui, à chaque point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M ′ d’affixe z ′ = (1+ i)z −2i.

Trouver en particulier le point qui coincide avec son transformé.

3. En utilisant la transformation précédente, retrouver le résultat de la première question.

EXERCICE 2

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs −2, −1, 3, 4. avec les probabi- lités 0,10, 0,65, 0,15, 0,10.

1. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type σ de X.

2. Déterminer suivant les valeurs de h la probabilité P (h) de l’inégalité |X|> h, où h est un nombre positif donné.

3. Tracer dansunmême repère orthonormé les courbes représentatives des fonc- tions

h 7−→P (h) et h 7−→ σ2

h2

Comparer P (h) et σ2

h2 .

PROBLÈME

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction numérique g définie par

g (x)= xe2x

Tracer la courbe Γ représentative de g dans un repère orthonormé R (unité de longueur : 5 cm).

2. Soit µ un paramètre réel. Étudier les variations de la fonction définie par

(x)= (x +µ)e 2x

Montrer que, pour µ 6= 0, la courbe Γµ représentative de dans le repère R se déduit de la courbe Γ par une transformation, composée de deux transfor- mations géométriques simples. (On ne demande pas de tracer Γµ).

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Soient λ et µ deux paramètres réels. On considère l’ensemble E des fonctions numériques , µ définies par

, µ(x)= (λx +µ)e 2x

Montrer que, relativement aux opérations usuelles d’addition des fonctions et de multiplication des fonctions par un nombre réel, E est un espace vectoriel sur R, qui contient les fonctions définies précédemment. L’ensemble des fonctions est·il un sous·espace vectoriel de E ?

Montrer que les fonctions f1, 0 (λ = 1 ; µ = 0) et f0, 1(λ = 0 ; µ = 1) constituent une base B de E . Quelles sont les coordonnées de , µ dans cette base ?

Partie B

On se propose de construire une suite de fonctions dérivables

G0, G2, G2, , . . . , Gn , . . .

appartenant toutes à l’espace vectoriel E défini en A - 3. et telles que

G0 = g et G n = Gn−1 pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

(G n désigne la fonction dérivée de Gn). À cet effet, on pose, pour n > 0 :

Gn(x)= (

λn +µn )

e2x

1. Pour n > 1, exprimer λn et µn en fonction de λn−1 et µn−1. Déduire de ce résultat qu’il existe une application linéaireΦ de l’espace vectoriel E dans lui- même telle que

Gn =Φ (Gn−1)

Écrire la matrice M deΦ relativement à la base B de E définie en A - 3.

2. On considère la matrice

P = 1

2

(

1 0 a 1

)

a est un nombre réel donné.

Calculer P2 et P3. Calculer ensuite P n (on rappelle que P n = P ×P n−1).

Écrire alors l’expression de la matrice Mn .

En déduire les expressions de λn et de µn à l’aide des coordonnées λ0 et µ0 de G0.

Compte tenu des valeurs numériques deλ0 et µ0 donner enfin l’expression de Gn(x).

3. Démontrer que

Gn(x)= ∫x

n 2

Gn−1(t)dt

Vérifier cette formule en calculant l’intégrale

x

n 2

Gn−1(t)dt

à l’aide d’une intégration par parties.

Paris 2 juin 1973

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