Calcul avancé - exercice 2, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers naturels, la courbe représentative.
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[ Baccalauréat C Alger–Tunis juin 1973 \

EXERCICE 1

On considère les entiers naturels n vérifiant la condition : n est le produit de trois naturels premiers a, b, c, (a < b < c), dont l’un est la somme des deux autres ; par exemple 286 est un tel nombre : 286= 2×11×13.

1. Déterminer a ; encadrer b de sorte que N1 6 n 6 N2, N1 et N2 étant deux na- turels donnés.

2. En déduire les naturels n pour lesquels N1 = 6 ·104 et N2 = 8 ·104 .

N. B. - L’emploi de tables numériques est autorisé (circulaire du 1er mars 1972) ; aussi les candidats peuvent, mais ce n’est nullement nécessaire, utiliser une table de nombres premiers ; ils affirmeront donc, sans avoir à le justifier, que tel naturel envisagé est premier ou non.

EXERCICE 2

Soit f la fonction définie par :

x ∈R, x 7−→ f (x)= x −2+ (x +2)e−x .

et soit C sa courbe représentative (repère orthonormé, unité 1 cm).

1. Calculer f ′(x) et f ′′(x) ; noter dans un même tableau le signe de f ′′(x), puis le sens de variation de f ′(x) et son signe, enfin le sens de. variation de f et ses valeurs aux limites.

2. Tracer C , donner sans calcul son asymptote ∆. Soit λ un réel positif ; ∆, C et la droite x = λ limitent une région fermée duplan, dont on calculera l’aireA (λ) ; trouver la limite de A (λ) pour λ infini.

PROBLÈME

Un espace vectoriel euclidien orienté E est rapporté à la base orthonormée directe (−→

I , −→ J ,

−→ K

)

.

R1, R2, R3 sont des rotations vectorielles, dont les axes respectifs ont pour vecteurs

unitaires −→ I ,

−→ J ,

−→ K et dont l’angle commun a une mesure donnée α (radians).

On pose R = R3 ◦R2 ◦R1.

1. Soit −→ V (x ; y ; z) un vecteur de E ; calculer les coordonnées de :

R1

(−→ V

)

, R2 (−→ V

)

, R3 (−→ V

)

, R−11

(−→ V

)

le calcul des coordonnees de R (−→ V

)

est exclu.

Calculer les coordonnées de −→ A = R−11 (

−→ J ) et de

−→ A′ = R

(−→ A

)

.

En déduire les cas où R est l’identité de E ; ces cas dorénavant écartés, R est une rotation vectorielle déterminée.

2. On pose u = α

2 + π

4 ; soitΩ(cosu ; sinu ; cosu), vérifier que :

R (Ω) .

L’axe de R porte −→ Ω , on l’oriente dans le sens de

−→ Ω ; l’angle de R ayant alors

pour mesure ϕ, ce qui suit vise à calculer ϕ en utilisant −→ A et

−→ A′ .

Reconnaître d’abord −→ Ω et ϕ pour α=

π

2 , puis pour α=−

π

2

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Calculer en fonction de u les coordonnées de −→ A et

−→ A′ , puis celles des produits

vectoriels −→ B =

−→ Ω ∧

−→ A et

−→ B ′ =

−→ Ω ∧

−→ A′ .

Vérifier que −→ B et

−→ B ′ sont unitaires.

(−→ Ω ,

−→ A ,

−→ B

)

est unebase deE, étudier sans calcul sa transformée parR, conclure

à l’égalité −→ B ′ = R

(−→ B

)

.

Établir les formules (voir N. B.) :

−→ B ·

−→ B ′ = cos2 u

(

3−4cos4 u )

, −→ B

−→ B ′ =

−→ Ω sinu

(

1−4cos4u )

.

4. Déduire des formules précédentes cosϕ et sinϕ ?

On définit v par − π

2 6 v 6

π

2 , cosv = cos2 u, sinu · sinu > 0 ; démontrer la

relation ϕ= 3v +π [mod.2π].

On change α en α+2π ; en quoi −→ Ω et ϕ sont-ils changés ? Trouver l’ensemble

des valeurs de α qui donnent ϕ= π

2 [mod.2π], puis sans nouveau calcul ϕ=

π

2 [mod.2π] ; on posera

p 3−1= sinθ, 0< θ <

π

2 (θ ≈ 0,82133)

N. B. - Il ne sera tenu compte au 3. que des calculs entièrement explicités ; le candi- dat peut traiter le 4. en admettant ces formules.

Alger–Tunis 2 juin 1973

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