Calcul avancé - exercice 3, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, l’ensemble des matrices carrés, le noyau et l’image de F.
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[ Baccalauréat C Amiens juin 1973 \

EXERCICE 1

Résoudre dans C l’équation :

z4+ (3−6i)z2+2(16−63i)= 0

EXERCICE 2

On considère la fonction f de R dans R définie par :

f (x)=−x+ xLog x

(Log x désigne le logarithme népérien de x).

1. Déterminer le domaine de définition de f .

Étudier f (x) et f (x)

x aux bornes du domaine de définition ; ces quantités ont-

elles des limites finies et, dans ce cas, quelles sont ces limites ?

2. Étudier les variations de la fonction f .

Construire avec précision la courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthonormé, l’unité de longueur étant 2 cm.

On précisera l’allure de la courbe aux bornes du domaine de définition.

3. Soit α ∈]0 ; e[.

En utilisant une intégration par parties, trouver l’aire de la partie du plan com- prise entre x′Ox, (C ) et les droites d’équations x =α et x = e.

Quelle est la limite de cette aire lorsque α tend vers zéro ?

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble des matrices carrés d’ordre 2, à coefficients réels, est un espace vectoriel sur R, et que ce même ensemble, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau non commutatif unitaire. 1 1) ( 1 -1)

Partie A

On donne les matrices A =

(

1 1 1 1

)

et B =

(

1 −1 −1 1

)

.

Soit M l’ensemble des matricesM = aA+bB avec (a ; b) ∈R2.

1. Montrer que M est un espace vectoriel sur R, de base (A, B).

2. Montrer que (M , +, ×) est un anneau commutatif unitaire.

Déterminer l’ensemble des matrices inversibles de M , et montrer que leurs inverses sont éléments de M .

3. On pose :M1 =M et pour tout n entier supérieur à 1 :Mn =Mn−1×M .

Démontrer, par recurrence, que pour tout n élément deN⋆ :

Mn = 2n−1anA+2n−1bnB.

Partie B

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

On considère l’endomorphisme Fa, b d’un plan vectoriel E ayant pour matrice M =

aA+bB par rapport à une base orthonormée (−→ ı ,

−→

)

de E.

1. Déterminer le noyau et l’image de Fa, b suivant les valeurs de a et de b.

2. On considère les vecteurs :

−→ u =

p 2

2

−→ ı

p 2

2

−→ et

−→ v =

p 2

2

−→ ı +

p 2

2

−→ .

Déterminer les matrices des applications F0, b et Fa, 0 par rapport à la base

orthonormée (−→ u ,

−→ v )

.

Montrer que chacune de ces applications est, lorsque a et b ne sont pas nuls, la composée d’une projection et d’une homothétie qu’on précisera.

3. Déterminer la matrice de Fa, b par rapport à la base (−→ u ,

−→ v )

.

Dans quels cas Fa, b est-elle une rotation, une symétrie, une homothétie ?

Donner, avec précision, les éléments définissant ces applications.

Partie C

Soit E un espace affine associé à E. E est muni du repère (

O, −→ u ,

−→ v )

. On appelle

f l’application affine de E, transformant O en ω

(

1

2 ; 1

2

)

et dont l’endomorphisme

associé est F 3 2 ,

1 2 .

1. Montrer que les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point f (m) s’expriment à l’aide des coordonnées (x ; y) du pointm par :

x′ = x+ 1

2

y ′ = 3y + 1

2

2. Soit (C ) le cercle de centreω, et passant par O.

Trouver l’équation de la courbe (

C ′ )

transformée de (C ) par l’application f . Montrer que

(

C ′ )

est une conique à centre. Soit ω′ son centre.

Écrire une équation de (

C ′ )

par rapport au repère (

ω ′, −→ u ,

−→ v )

.

Calculer les coordonnées des sommets de cette coniquedans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Amiens 2 juin 1973

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