Calcul avancé - exercice 4, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la matrice.
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[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1973 \

EXERCICE 1

Un nombre entier naturel N s’écrit abc0 en base 5, et abc en base 12, où a, b et c sont des entiers tels que

0< a < 5, 06 b < 5, 06 c < 5

Déterminer les entiers a, b, c et N . (On pourra utiliser la congruence modulo 4).

EXERCICE 2

Résoudre dans C l’équation :

(−4−2i)z2+ (7− i)z+1+3i= 0

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque racine.

PROBLÈME

Soit E l’ensemble des fonctions numériques définies sur l’intervalle ]−2 ; +2[. On rappelle que E, muni de l’addition, et de la multiplication externe par les réels, ainsi définies :

f + g : x 7−→ f (x)+ g (x) pour tout ( f , g )∈ E×E λ f : x 7−→ λ(x) pour tout (λ, f ) ∈R×E

est un espace vectoriel sur R.

1. Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par les deux fonctions f1, f2, ainsi définies :

f1(x) = x

p 4− x2

f2(x) = 1

p 4− x2

pour tout x ∈]−2 ; +2[

Montrez que (

f1 ; f2 )

est une base de F .

2. Soit P le plan vectoriel euclidien orienté et soit (−→ ı ,

−→ )

une base orthonormée

directe de P. On désigne par T l’ensemble des transformations orthogonales

de P, dont lamatrice

(

a c

b d

)

, relativement à la base (−→ ı ,

−→ )

, vérifie (ab)2 = 1.

Déterminer tous les éléments de T (préciser les angles de rotation, et les axes de symétries).

3. Soitϕ l’endomorphisme de F , dont lamatrice par rapport à la base (

f1 ; f2 )

est

une base de F est la matrice A, représentant la rotation vectorielle d’angle + π

2 dans P, par rapport à la base

(−→ ı ,

−→ )

. Déterminer l’image par ϕ de la fonction

g = 2 f1+ f

Étudier la fonction numérique : x 7−→ f (x)=

2− x

2+ x .

Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. En déduire le tracé de la courbe (C) d’équation x

(

y2+1 )

+2 (

y2−1 )

= 0.

Etudier la limite de f (x)

x−2 lorsque x tend vers 2. La courbe (C) possède-t-elle

une tangente au point (2 ; 0) ?

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

4. Écrire l’équation de la tangente D à la courbe (C), au point d’abscisse x = 1, et d’ordonnée y > 0. Déterminer l’intersection de (C) et de la droite D. Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la droite D.

Antilles–Guyane 2 juin 1973

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