Calcul avancé - exercice 5, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de R dans R, le plan vectoriel euclidien, la définition de T.
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Besancon juin 1973.dvi

[ Baccalauréat C Besançon juin 1973 \

EXERCICE 1

Soit f la restriction à ]

π

2 ; +

π

2

[

de la fonction de R dans R définie par

x 7−→ tanx x.

Définir la fonction dérivée de f , en déduire le sens de variation de f et montrer que

f est une bijection de ]

π

2 ; +

π

2

[

sur R.

Soit F la fonction réciproque de f . Construire, dans un repère orthonormé, les re-

présentation graphiques de f et F .

EXERCICE 2

Soit S l’ensemble de tous les entiers relatifs vérifiant simultanément les deux congruences

x ≡ 1 [3] et x ≡ 2 [5].

Trouver un entier relatif plus petit que 10 appartenant à S.

Montrer, en précisant les théorèmes utilisés, que ∀(a, b) ∈ S ×S, a ab [15].

En déduire l’expression générale des éléments de l’ensemble S.

PROBLÈME

Partie A

Soit E le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormée (

−→ e1 ,

−→ e2

)

et T l’ap-

plication linéaire de E dans E définie par

T (

−→ e1

)

= −→ e2 et T

(

−→ e2

)

=λ −→ e1 +µ

−→ e2 .

(λ et µ sont deux réels).

1. Donner la matrice de T dans la base (

−→ e1 ,

−→ e2

)

. Déterminer les couples (λ, µ)

de réels pour lesquels T est bijective.

Trouver tous les couples (λ, µ) tels que T soit une isométrie vectorielle de E ;

préciser alors si T est une rotation ou une symétrie vectorielle par rapport à

un droite vectorielle (dont on précisera une base).

2. λ et µ qui interviennent dans la définition de T étant quelconques, on consi- dère la suite

−→ e1 ,

−→ e2 ,

−→ e3 = T

(

−→ e2

)

, . . . , −→ en = T

(

−−−→ en−1

)

, . . .

−→ en étant le transformé de

−−−→ en−1 par T .

On pose

−→ en = xn

−→ e1 + yn

−→ e2 .

Donner (

x1, y1 )

, ainsi que (

x2, y2 )

et montrer que ∀n > 2, xn =λyn−1 et

n > 2, yn =µyn−1+λyn−2.

3. α et β désignent les racines distinctes, réelles ou complexes, de l’équation :

x2−µx λ= 0,

avec

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

µ2+4λ 6= 0 et λ 6= 0.

Exprimer k et k?, tels que y1 = k +k ′ et y2 = +k

β en fonction de α et β.

Montrer alors par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul, on a

yn = kα n−1

+k βn−1.

Vérifier que si α et β sont complexes, k et k ′ sont complexes conjugués et que

kαn−1+k βn−1 est réel pour tout entier naturel non nul.

Calculer alors yn et xn en fonction de α,β,n (n entier naturel non nul), puis

établir que xn +αyn =α n−1.

Partie B

E est le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

. Mn désigne

le point unique de E tel que −−−−→ OMn =

−→ en .

1. a. On suppose que α = 1. Montrer que les points M1,M2, . . . ,Mn , . . . sont tous situés sur une droite dont on donnera l’équation.

b. On suppose que α = −1. Montrer que les points M1,M2, . . . ,Mn , . . . sont tous situés sur la réunion de deux droites dont on donnera les équations.

2. On prend maintenant λ=−1 et µ= 2cos 2π

p , , p entier naturel supérieur à 2.

Calculer α et β, ainsi que xn et yn . Montrer que la suite de points n 7−→ Mn est

périodique et que p est l’une de ses périodes

Besançon 2 juin 1973

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