Calcul avancé - exercice 6, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les intégrer par parties, les couples.
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1973 \

EXERCICE 1

Calculer :

π 2

0 x cos2 x dx (intégrer par parties).

EXERCICE 2

Deux personnes, A et B, écrivent chacune, au hasard, un nombre entier de deux

chiffres (en numération décimale).

Soit x le nombre écrit par A, y le nombre écrit par B. Tous les couples d’entiers (m ; n)

(106m6 99, 106 n6 99) sont supposés équiprobables.

En d’autres termes, on considère l’espace probabilisé (Ω, Ω, p), oùΩ est l’ensemble

des couples d’entiers (m ; n) tels que 106m6 99, 106 n6 99, et p est la probabilité

pour laquelle toutes les parties à un élément ont la même probabilité.

1. Quelle est la probabilité pour queA et B écrivent lemêmenombre ? End’autres termes, calculer la probabilité de l’ensemble∆ des couples (m ; n) ∈Ω tels que

m =n.

2. Soit E l’ensemble des couples (m ; n) ∈Ω tels que 106m < 50 et 106 n < 50. Calculer p(E) .

3. Soit F l’ensemble des couples (m ; n) ∈Ω tels que 106m < 50 ou 106 n < 50. Calculer p(F).

4. Soit G l’ensemble des couples (m ; n) ∈ Ω tels que m < n. Soit G′ l’ensemble des couples (m ; n) ∈Ω, tels quem >n. Calculer p(G) et p(G′).

PROBLÈME

Soient E le plan vectoriel, et B = (

−→ ı ,

−→

)

une base de E. On désigne par E le plan

affine associé à E, et on considère un repèreR = (

O, −→ ı ,

−→

)

de E.

On appellera ϕ l’endomorphisme de E dont la matrice, relativement à B, est :

(

4 −3

7 −5

)

Soit f l’application affine de E dans E , dont l’application linéaire associée est ϕ,

et qui, au point O, de coordonnées (0 ; 0) par rapport à R, associe le point A, de

coordonnées (3 ; 4), par rapport à R.

Si M est un point de E , de coordonnées (x ; y), on notera M1 = f (M), M2 = f (M1),

et M3 = f (M2), et on désignera par (

x1 ; y1 )

, (

x2 ; y2 )

, (

x3 ; y3 )

respectivement, les

coordonnées des points M1, M2, M3.

1. Montrer que f est bijective, et que :

{

x1 = 4x−3y +3

y1 = 7x−5y +4

2. Montrer que l’image de toute droite vectorielle ∆ de E, par l’application li- néaire ϕ, est une droite vectorielle ∆′ de E. Si ∆ a pour équation dans la base

B : ux + vy = 0 ((u ; v) 6= (0 ; 0)), quelle est l’équation de ∆′ ? (Désigner par (

x′ ; y ′ )

les coordonnées, dansB, de l’image parϕ du vecteur de coordonnées

(x ; y) dans B).

Peut-on avoir ∆=∆′ ? En déduire que si D est une droite affine du plan, D1 =

f (D) est une droite affine, non parallèle àD.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Calculer les coordonnées (α ; β) dubarycentreGdes pointsM ,M1 ,M2 affectés du même coefficient 1. Vérifier que G est indépendant de M , et montrer que

G est invariant par f .

En déduire que f 3 est l’identité sur E. (

f 3 = f f f )

.

4. a. Montrer que pour toutM ∈ E , distinct de G, les pointsM ,M1 ,M2 ne sont pas alignés.

b. Soit P un point de E , distinct de G. On pose −→ I =

−−→ PP1 et

−→ J =

−−→ PP2 (où

P1 = f (P) et P2 = f (P1)).

Montrer que (

−→ I ,

−→ J

)

est une base de E. Quelle est la matrice deϕ dans la

base (

−→ I ,

−→ J

)

?

Soient (a ; b) et (a1 ; b1) respectivement les coordonnées de M et de M1

dans le repère (

P, −→ I ,

−→ J

)

de E . Calculer (a1 ; b1) en fonction de (a ; b).

Bordeaux 2 juin 1973

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