Calcul avancé - exercice 7, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les expressions des coordonnées de M, les nombres complexes, l'isométrie vectorielle.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1973 \

EXERCICE 1

Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Un point

M se déplace dans ce plan. À la date t = 0, où commence le mouvement, le point M est en O et son vecteur vitesse est nul. À toute date t positive le vecteur accélérationdupointM a pour coordonnées (6t ; 2).

1. Donner, en fonction de t , les expressions des coordonnées deM à la date t .

2. Tracer la trajectoire de M et discuter l’existence d’une tangente à cette trajec- toire ayant une direction donnée.

EXERCICE 2

1. Soit X1, X2, . . . , Xn , n variables aléatoires réelles définissant un même espace probabilisé (Ω, B, P ). On les suppose indépendantes et de même loi donnée explicitement par :

i ∈ {1, 2, . . . , ,n} : P ({Xi = 1})= p, P ({Xi = 0})= 1−p

On définit alors une variable aléatoire S telle que :

{

S= 0 si toute variableXi est nulle S= 1 si l’une au moins desnvariables aléatoiresXi est non nulle.

Déterminer les valeurs de n telles que : P ({S= 0})6 10−3.

2. Un texte comporte une erreur. On relit ce texte n fois ; à chaque lecture, la pro- babilité de remarquer cette erreur est 1/2. Déterminer n de telle sorte qu’on ait une probabilité inférieure à 1/1000 de ne pas avoir remarqué cette erreur après n relectures.

PROBLÈME

SoitC l’ensemble des nombres complexes. On rappelle que C est un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps R des nombres réels et que 1 et i forment une base de cet espace vectoriel. Soit α et β deux nombres complexes, on désigne par , β l’application de C dans C définie par :

z 7−→ , β(z)=αz+βz

z désigne le complexe conjugué de z.

1. a. Montrer que , β est une application linéaire. Soit x et y deux nombres réels, calculer F 1

2 , 1 2 (x+ iy) et F 1

2 , − 1 2 (x+ iy).

b. Soit L (C) l’ensemble des endomorphismes de C. On désigne parΦ l’ap- plication de C2 dans L (C) définie par :

(α, β) 7−→ , β

Montrer que Φ est injective.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

c. On se propose dans cette question demontrer queΦ est aussi surjective. ϕ étant un endomorphisme de C dont la matrice dans la base (1, i) est

(

a c

b d

)

Montrer, en calculant 2ϕ(z) en fonctionde z et de z, qu’il existe un couple de nombres complexes (α, β) tel que :

ϕ= , β

Calculer les nombres réels a, b, c et d en fonction des parties réelles et imaginaires de α+β et de αβ.

2. On définit une application de C2 dans R par :

(z1, z2) 7−→< z1, z2 >= x1x2+ y1y2.

où on a posé

z1 = x1+ i y1 et z2 = x2+ iy2

x1, x2, y1 et y2 étant des nombres réels.

a. Montrer que pour tout nombre complexe z on a :

< z, z >= zz = |z|2

où |z| désigne lemodule de z. Montrer que pour tout couple de nombres (z1 ; z2) de complexes on a :

< z1, z2 >= 1

2

(

z1z2+ z1z2 )

.

b. Montrer que <, > est un produit scalaire. Quelle interprétation peut-on donner de la norme associée à ce produit scalaire ? Montrer que Cmuni de ce produit scalaire est un plan vectoriel euclidien dont 1 et i forment une base orthonormée.

c. On désigne par m et n les images respectives de 1 et i par l’application , β.

Montrer quem et n sont orthogonaux si et seulement si :

αβαβ= 0.

Montrer quem et n sont tous les deux unitaires si et seulement si :

{

|α|2+|β|2 = 1

αβ+αβ = 0

En déduire que , β est une isométrie vectorielle si et seulement si

|α| = 1 et β= 0 ou α= 0 et |β| = 1

Écrire dans· chacun de ces cas les matrices associées à , β dans la base (1, i) ; (on rappelle qu’un nombre complexe de module 1 peut s’écrire sous la forme cosθ+ i sinθ θ est un nombre réel). Définir géométri- quement les isométries obtenues en précisant leurs éléments. Étudier en particulier Fi, 0 et F0, −1.

Caen 2 juin 1973

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Soit P un espace affine euclidien associé au plan vectoriel euclidien précédent. P est rapporté au repère d’origine O, de base (1, i). Soit M un point de P, on appelle affixe deM le vecteur z, élément de C, défini par :

z = −−−→ OM

a. Soit f l’application affine de P dans P telle que le point I d’affixe z0 soit invariant par f et telle que l’endomorphisme associé , β soit tel que :

|α| = 1 et β= 0

z ′ étant l’affixe de M ′ = f (M), montrer que :

z ′ =αz+ (1−α)z0.

Vérifier que I est le seul point invariant de f excepté pour une valeur de α.

Préciser alors l’application f correspondante.

b. f1 étant l’application affine de P dans P associée à 1, 0 avec |αi | = 1, et de point invariant I1 ; f2 étant l’application affine de P dans P associée à 2, 0 avec |α2| = 1, et de point invariant I2, à quel endomorphisme , β est associé f2 ◦ f1 ? Déterminer les points invariants de f2 ◦ f1.

Caen 3 juin 1973

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