Calcul avancé - exercice 8, Exercices de Calcul avancé

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de la variable réelle, l'endomorphisme, la matrice de f.
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[ Baccalauréat C Cameroun juin 1973 \

EXERCICE

Soit f la fonction de la variable réelle définie par :

f (x)= (x+2)e 1 x

où e est la base de logarithmes népériens.

1. Étudier cette fonction.

2. Tracer la courbe représentative dansun repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Onpren-

dra comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et un centimètre sur l’axe des ordonnées.

On prendra e ≈ 2,72 et e 1 2 ≈ 1,65.

PROBLÈME

Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension 2 et E l’espace affine associé à E . L’objet du problème est d’étudier les applications linéaires f de E dans E (resp. af- fines g de E dans E) telles que : f 3 = f f f = idE (application identique de E ) (resp. g 3 = g g g = idE (application identique de E))

Partie A

Soit f un endomorphisme de E , tel que f 3 = idE .

1. Calculer le déterminant de f . En déduire que f est un automorphisme de E .

2. Soit −→ u un vecteur non nul de E , tel que f

(

−→ u

)

= −→ u .

a. Etant donné un vecteur −→ v tel que

(

−→ u ,

−→ v

)

soit une base de E , on pose

f (

−→ v

)

=λ −→ u +µ

−→ v .

Écrire f 2 (

−→ v

)

sur la base (

−→ u ,

−→ v

)

.

b. Montrer que s’il existe un vecteur −→ u non nul tel que :

f (

−→ u

)

= −→ u

alors f = idE .

3. On suppose f 6= idE .

a. Montrer que si −→ u est un vecteur non nul, alors

−→ v et f

(

−→ u

)

sont linéaire-

ment indépendants.

b. En déduire que si −→ i est non nul,

(

−→ i , f

(

−→ i

))

est une base de E .

c. Montrer que dans cette base de E ,la matrice de f est de la forme :

M( f )=

(

0 a 1 b

)

et montrer qu’on a nécessairement a = b =−1.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

4. Application : soit

(

−1 −1 1 0

)

la matrice de f dans une base (

−→ ı ,

−→

)

de E .

a. Vérifier que f 3 = idE .

b. Écrire la matrice de f dans la base (

−→ ı , f

(

−→ ı

))

et vérifier ainsi le résultat

de 3. c.

Partie B

Soit g une application affine de E dans E, et f l’application linéaire associée à g . On supposera que :

g 3 = idE .

1. Montrer que f 3 = idE .

2. Montrer que g ne peut être une translation de vecteur non nul.

3. On suppose g 6= idE .

a. Montrer que f 6= idE .

b. M étant un point de E tel que g (M) 6=M , montrer que (

M , g (M), g 2(M) )

est un repère affine de E.

c. Soit O le barycentre des points :M , g (M), g 2(M), chacun étant affecté du coefficient 1. Montrer que O est le seul point de E invariant par g .

Partie C

On suppose que E et E sont euclidiens. Soit (

−→ ı , f

(

−→ ı

))

une base orthonormée di-

recte de E , et soit f un endomorphisme orthogonal de E , tel que :

f 3 = idE .

1. Montrer que f est une rotation.

2. Soit t , 06 t < 2π, le réel mesurant l’angle associé à la rotation f .

a. Écrire la matrice de f dans (

−→ ı , f

(

−→ ı

))

.

b. Quelles valeurs peut prendre t ?

Cameroun 2 juin 1973

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